1、2020-2021学年天津市东丽区高一（下）期末数学试卷一、选择题（共9小题，每小题5分，共45分）.1复数z23i的虚部为（）A3B3C2D3i2抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A“第一枚出现奇数点”，事件B“第二枚出现偶数点”，则A与B的关系是（）A互斥B互为对立C相互独立D相等3已知向量，是两个不共线的向量，若2与+共线，则（）A2B2CD4在ABC中，已知a，b4，c3，则cosA（）ABCD5有一个三位数字的密码锁，每位上的数字在0到9这十个数字中任选，某人忘记了密码最后一个号码，那么此人在开锁时，在对好前两位数字后随意拨动最后一个数字恰好能开锁的概率为（）ABCD6若样本数据x1，x
2、2，x10标准差为8，则数据2x11，2x21，2x101的标准差为（）A8B64C32D167在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60，E为CD的中点若，则AB的长为（）A1BCD28在空间中，下列命题正确的是（）平行于同一条直线的两条直线平行；垂直于同一条直线的两条直线平行；平行于同一个平面的两条直线平行；垂直于同一个平面的两条直线平行ABCD9如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为棱AD、BC的中点，则平面C1D1EF与底面ABCD所成的二面角的余弦值为（）ABCD二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）10若i为虚数单位，复数，则|z| 11若正方体的表面
3、积为6，则它的外接球的表面积为 12已知向量，其中|，|2，且（+），则向量与的夹角是 13样本容量为10的一组样本数据依次为：3，9，0，4，1，6，6，8，2，7，该组数据的第50百分位数是 ，第75百分位数是 14小明爸爸开车以80km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，小明坐在车里向外观察，在点A处望见电视塔P在北偏东30方向上，15分钟后到点B处望见电视塔在北偏东75方向上，则汽车在点B时与电视塔P的距离是 km15如图，若正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则异面直线AC与A1B所成的角的大小是 ；直线A1B和底面ABCD所成的角的大小是 三、解答题（共5小题，满分45分）16
4、甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和（1）求2个人都译出密码的概率；（2）求2个人都译不出密码的概率；（3）求至多1个人译出密码的概率；（4）求至少1个人译出密码的概率17已知向量，（0，1），（）若，求k的值；（）当k1时，与共线，求的值；（）若|，且与的夹角为150，求|+2|182020年开始，山东推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科满分10
5、0分，2020年初受疫情影响，全国各地推迟开学，开展线上教学为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：160，180），180，200），200，220），220，240），240，260），260，280），280，300，画出频率分布直方图如图所示（1）求频率分布直方图中a的值；（2）由频率分布直方图；（i）求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；（ii）估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）为了进一步了解选科情况，由频率分布直方图，
6、在物理、化学、生物三科总分成绩在220，240）和260，280）的两组中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率19在ABC中，acosBbsinA（）求B；（）若b2，c2a，求ABC的面积20如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，且ABC为正三角形，AA1AB6，D为AC的中点（1）求证：直线AB1平面BC1D；（2）求证：平面BC1D平面ACC1A；（3）求三棱锥CBC1D的体积参考答案一、选择题（共9小题，每小题5分，共45分）.1复数z23i的虚部为（）A3B3C2D3i解：复数z23i的虚
7、部为3故选：A2抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A“第一枚出现奇数点”，事件B“第二枚出现偶数点”，则A与B的关系是（）A互斥B互为对立C相互独立D相等解：由题可知，抛掷两枚质地均匀的骰子，第一枚和第二枚出现点数的分类情况如下，（奇数，奇数），（奇数，偶数），（偶数，奇数），（偶数，偶数），事件A“第一枚出现奇数点”，事件B“第二枚出现偶数点”，两个事件不相等，排除D，AB，所以不是互斥事件，排除A，B，C选项，事件A“第一枚出现奇数点”，P（A），事件B“第二枚出现偶数点”，P（B），事件AB“第一枚出现奇数点，第二枚出现偶数点”，P（AB），满足P（AB）P（A）P（B），所以事件A和事件B
8、是相互独立事件，故选：C3已知向量，是两个不共线的向量，若2与+共线，则（）A2B2CD解：2与+共线，k，k0，k（2）+，向量，是两个不共线的向量，解得故选：C4在ABC中，已知a，b4，c3，则cosA（）ABCD解：在ABC中，已知a，b4，c3，所以：cosA故选：A5有一个三位数字的密码锁，每位上的数字在0到9这十个数字中任选，某人忘记了密码最后一个号码，那么此人在开锁时，在对好前两位数字后随意拨动最后一个数字恰好能开锁的概率为（）ABCD解：所求只有最后的一位需要确定，这个位置上的数字在0到9这十个数字中任选，共有10种方法，能开锁的只有1个，所以概率为故选：C6若样本数据x1，
9、x2，x10标准差为8，则数据2x11，2x21，2x101的标准差为（）A8B64C32D16解：设样本数据x1，x2，x10标准差为，则，即方差DX64，数据2x11，2x21，2x101的方差为D（2x1）22DX2264256，数据2x11，2x21，2x101的标准差为故选：D7在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60，E为CD的中点若，则AB的长为（）A1BCD2解：在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60，E为CD的中点则，因为，所以（）（）1，即1，11，解得故选：C8在空间中，下列命题正确的是（）平行于同一条直线的两条直线平行；垂直于同一条直线的两条直线平行；平行于同一个
10、平面的两条直线平行；垂直于同一个平面的两条直线平行ABCD解：由平行公理可得，平行于同一条直线的两条直线平行，故正确；垂直于同一条直线的两条直线有三种位置关系，平行、相交或异面，故错误；平行于同一个平面的两条直线有三种位置关系，平行、相交或异面，故错误；由直线与平面垂直的性质可得，垂直于同一个平面的两条直线平行，故正确故选：D9如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为棱AD、BC的中点，则平面C1D1EF与底面ABCD所成的二面角的余弦值为（）ABCD解：根据题意，EF平面ADD1A1，ED1EF，EDEF，D1ED是平面C1D1EF与底面ABCD所成的二面角的平面角，在R
11、tD1ED中，故选：B二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）10若i为虚数单位，复数，则|z|5解：34i，则|z|5，故答案为：511若正方体的表面积为6，则它的外接球的表面积为3解：设正方体的棱长为a，则6a26，得a1正方体的对角线长为正方体外接球的半径为正方体外接球的表面积S故答案为：312已知向量，其中|，|2，且（+），则向量与的夹角是 150解：，且，+cos0，即3+cos0，解得cos，向量与的夹角是150，故答案为：15013样本容量为10的一组样本数据依次为：3，9，0，4，1，6，6，8，2，7，该组数据的第50百分位数是5，第75百分位数是7解：样本容量为10
12、的一组样本数据依次为：3，9，0，4，1，6，6，8，2，7，从小到大排列为：0，1，2，3，4，6，6，7，8，9，1050%5，该组数据的第50百分位数是，1075%7.5，第75百分位数是7故答案为：5，714小明爸爸开车以80km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，小明坐在车里向外观察，在点A处望见电视塔P在北偏东30方向上，15分钟后到点B处望见电视塔在北偏东75方向上，则汽车在点B时与电视塔P的距离是 10km解：如图，由已知可得，AB8020在ABS中，BAS30，AB20，ABS18075105，ASB45由正弦定理可得故答案为1015如图，若正方体ABCDA1B1C1D1的棱长
13、为1，则异面直线AC与A1B所成的角的大小是60；直线A1B和底面ABCD所成的角的大小是45解：如图，连接A1C1，AA1CC1，AA1CC1，四边形AA1C1C为平行四边形，可得A1C1AC，异面直线AC与A1B所成的角即为BA1C1，连接BC1，则BA1C1 为等边三角形，异面直线AC与A1B所成的角的大小是60；正方体ABCDA1B1C1D1的侧棱AA1底面ABCD，A1BA为直线A1B和底面ABCD所成的角，大小为45故答案为：60；45三、解答题（共5小题，满分45分）16甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和（1）求2个人都译出密码的概率；（2）求2个人都译
14、不出密码的概率；（3）求至多1个人译出密码的概率；（4）求至少1个人译出密码的概率解：记甲独立译出密码为事件A，乙独立译出密码为事件B，且A，B为相互独立事件，且P（A），P（B），则（1）P（AB）P（A）P（B），（2），（3），（4）17已知向量，（0，1），（）若，求k的值；（）当k1时，与共线，求的值；（）若|，且与的夹角为150，求|+2|解：（），解得k1；（）k1，又，与共线，解得2；（），又与的夹角为150，23，182020年开始，山东推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高
15、校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科满分100分，2020年初受疫情影响，全国各地推迟开学，开展线上教学为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：160，180），180，200），200，220），220，240），240，260），260，280），280，300，画出频率分布直方图如图所示（1）求频率分布直方图中a的值；（2）由频率分布直方图；（i）求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；（ii）估计这100名学生
16、的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）为了进一步了解选科情况，由频率分布直方图，在物理、化学、生物三科总分成绩在220，240）和260，280）的两组中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率解：（1）由（0.0025+0.0095+0.011+0.0125+0.0075+a+0.0025）201，解得a0.005（2）（i）（0.002+0.0095+0.011）200.450.5，三科总分成绩的中位数在220，240）内，设中位数为x，则（0.002+0.0095
17、+0.011）20+0.0125（x220）0.5，解得x224，即中位数为224（ii）三科总分成绩的平均数为：1700.04+1900.19+2100.22+2300.25+2500.15+2700.1+2900.05225.6（3）三科总分成绩在220，240），260，280）两组内的学生分别为25人，10人，抽样比为，三科总分成绩在220，240），260，280）两组内抽取的学生数量分别为：255人，102人，设事件A表示“抽取的这2名学生来自不同组”，从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，基本事件总数n，事件A包含的基本事件个数m10，抽取的这2名学生来自不同组的概率P（A
18、）19在ABC中，acosBbsinA（）求B；（）若b2，c2a，求ABC的面积解：（）在ABC中，由正弦定理，因为，所以，因为sinA0，所以，所以tanB，因为0B，所以，（）因为b2，c2a，由余弦定理b2a2+c22accosB，可得，所以a，c，所以20如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，且ABC为正三角形，AA1AB6，D为AC的中点（1）求证：直线AB1平面BC1D；（2）求证：平面BC1D平面ACC1A；（3）求三棱锥CBC1D的体积【解答】（1）证明：连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点D为AC中点，得DO为AB1C中位线，A1BODOD平面AB1C，A1B平面BC1D，直线AB1平面BC1D；（2）证明：AA1底面ABC，AA1BD，底面ABC正三角形，D是AC的中点BDACAA1ACA，BD平面ACC1A1，BD平面BC1D，平面BC1D平面ACC1A；（3）解：由（2）知，ABC中，BDAC，BDBCsin603，SBCD，VCBC1DVC1BCD69
