1、6.4.3 6.4.3 余弦定理、正弦定理余弦定理、正弦定理 第第3 3课时课时 余弦定理、正弦定理的应用举例余弦定理、正弦定理的应用举例第六章第六章 平面向量及其平面向量及其应用1 1、正弦定理：、正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin（其中：（其中：R R为为ABCABC的外接圆半径）的外接圆半径）2 2、正弦定理的变形：、正弦定理的变形：CRcBRbARasin2,sin2,sin2RcCRbBRaA2sin,2sin,2sincbaCBA:sin:sin:sin复习巩固复习巩固CabbacBaccabAbccbacos2cos2cos2222222222abcbaCcabacBb
2、cacbA2cos2cos2cos2222222223.3.余弦定理：余弦定理：在在 中，以下的三角关系式，在解答有关三角形问题时，经常用到，中，以下的三角关系式，在解答有关三角形问题时，经常用到，要记熟并灵活地加以运用：要记熟并灵活地加以运用：ABC;CBACBACBAcos)cos(,sin)sin(2sin2cos,2cos2sinCBACBAv在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事. .明月高悬明月高悬, ,我们仰望夜空我们仰望夜空, ,会有会有无限遐想无限遐想, ,不禁会问不禁会问, , 遥不可及的月亮离地球有多远呢遥不可及的月亮离地球有多远呢? ?v167
3、11671年年, ,两个法国天文学家测出了地球与月球之间的距离大约为两个法国天文学家测出了地球与月球之间的距离大约为385 385 400km,400km,他们是怎样测出两者之间距离的呢？他们是怎样测出两者之间距离的呢？v在实际的航海生活中在实际的航海生活中, ,人们人们也也会遇到会遇到如下如下的问题的问题：在浩瀚的海面上如在浩瀚的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？情境引入情境引入正余弦定理应用一正余弦定理应用一测量距离测量距离1.1.如图如图1 1测量者在测量者在A A同侧，如何测定河不同岸两点同侧，如何测定河不同岸两点A A
4、、B B间的距离？间的距离？2.2.如图如图2 2测量者在测量者在A A，B B对侧，如何测定河不同岸两点对侧，如何测定河不同岸两点A A、B B间的距离？间的距离？一点不可到达一点不可到达测量距离问题测量距离问题两点不可到达两点不可到达测量距离问题测量距离问题AB图图1AB图图2例例1 1. .设设A A、B B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在A A的同测，在所在的河岸边选定一点的同测，在所在的河岸边选定一点C C，测出，测出ACAC的距离是的距离是55cm55cm，BACBAC5151o o， ACB ACB7575o o，求，求
5、A A、B B两点间的距离（精确到两点间的距离（精确到0.1m0.1m）分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形BACCABsinsin例题讲解例题讲解注意：在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的注意：在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做线段叫做基线基线。例如。例如ACAC就是基线就是基线解：根据正弦定理，得解：根据正弦定理，得ABCACACBABsinsin)(7 .6554sin75sin55)7551180sin(75sin55sinsin55sinsinmABCACBABCACBACAB答：答：A,B两点间的距离为两点间的距
6、离为65.7米。米。例例2. 如图， A，B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A，B两点间的距离的方法.并求出A，B间的距离。第一步：测量者可以在河岸边选定两点C，D，CD作为基线第三步：在ADC和BDC中，对照例1应用正弦定理得出AC,BC的长第二步：测得CD=a，并且在C，D两点分别测得BCA=，ACD=，CDB=， BDA=，第四步：在ABC中，应用余弦定理可得A，B两点间的距离解：在ADC和BDC中，应用正弦定理得sin()sin()sin()sin 180()aaAC；sinsin.sin()sin 180()aaBC于是，在ABC中，应用余弦定理可得A，B两点间的距离222
7、cos.ABACBCACBC）sin(sin(cossin)sin(2(sinsin(sin)(sin2222222aaa正余弦定理应用二正余弦定理应用二测量高度测量高度例1. 如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.并求出建筑物的高度。想一想？在图中我想一想？在图中我们选择哪条线段作们选择哪条线段作为基线？为基线？分析：由锐角三角函数知识可知，只要获得 一点C （点C到地面的距离可求）到建筑物的顶 部A的距离CA,并测出由点C观察A的仰角， 就可以计算出建筑物的高度.为此，应再选取一 点D,构造另一个含有CA的并进行相 关的长度和角度的测
8、量，然后通过解三角形的方 法计算出CA.解：选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上.由在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是,CD=a，测角仪器的高是h，那么，在ACD中，根据正弦定理可得asinasinAC =AC =sin（sin（-）AB = AE+h = ACsinAB = AE+h = ACsin+h+hasinasinsinsin=+h.=+h.sin（sin（-）例2. 如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角 =5440，在塔底C处测得A处的俯角=501 ,已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m). 根据已知条件根据已知条件, ,大家
9、能设计出解题方案吗？大家能设计出解题方案吗？分析分析: :若在若在ABDABD中求中求BDBD，则关键需要求出哪条边呢？，则关键需要求出哪条边呢？那又如何求那又如何求BDBD边呢？边呢？想一想？在图中我想一想？在图中我们选择哪条线段作们选择哪条线段作为基线？为基线？解：解：在在ABCABC中，中，BCA=90BCA=90+ +, ,ABC=90ABC=90- -, , BAC=BAC=- -, , BAD=BAD=根据正弦定根据正弦定理，理，B BC CA AB B= =，s si in n（- -） s si in n（9 90 0）B BC Cs si in n（9 90 0）B BC C
10、c co os s所所以以A AB B = = =s si in n（- -）s si in n（- -）解解R Rt tA AB BD D，得得B BC Cc c + + + +o os ss si in nB BD D = = A AB Bs si in nB BA AD D = =. .s si in n（- -）正余弦定理应用正余弦定理应用二二角度问题角度问题三.角度问题问题例3.位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救。甲船立即前往营救，同时把消息告知位于甲船南偏西 且与甲船相距7 n mile的C处的乙船，那么乙船前往营救遇险渔
11、船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度（精确到 ）？需要航行的距离是多少海里（精确到1 n mile）？301解：根据题意，画出示意图，如图。由余弦定理，得120cos2222ACABACABBC)21(720272022589由于由于由正弦定理，得由正弦定理，得因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东 大约需要航行大约需要航行24n mile.24n mile.于是于是于是于是所以所以)(24 nmileBC 900C1235242320sinC 46C24120sin20sinC7630461、在海岸A处，发现北偏东45方向，距离A处(1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 n mile的速度追截走私船此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？随堂练习随堂练习小小结结
