1、机密启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试天津卷数学第I卷注意事项：1每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2.本卷共9小题，每小题5分，共45分参考公式：如果事件A、B互斥，那么如果事件A、B相互独立，那么球的体积公式，其中R表示球的半径圆锥的体积公式，其中S表示圆锥的底面面积，h表示圆锥的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合，则（ ）A B C D2已知，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3函数的图像大致为（ ）A BC D4从某
2、网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间内的影视作品数量是（ ）A20 B40 C64 D805设，则a，b，c的大小关系为（ ）A B C D6两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ）A B C D7若，则（ ）A B C1 D8已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲钱的渐近线于C、D两点，若则双曲线的离心率为（ ）A B C2 D39设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（
3、）A B C D.2021年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学第II卷注意事项1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上2本卷共11小题，共105分二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分10i是虚数单位，复数_11在的展开式中，的系数是_12若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆相切于点B，则_13若，则的最小值为_14甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，
4、甲获胜的概率为_；3次活动中，甲至少获胜2次的概率为_15在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E且交AC于点F,则的值为_；的最小值为_三、解答题，本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤16（本小题满分14分）在，角所对的边分别为，已知，（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值17（本小题满分15分）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点（I）求证：平面；（II）求直线与平面所成角的正弦值（III）求二面角的正弦值18（本小题满分15分）已知椭圆的右焦点为F,上顶点为B,离心率为，且（I）求椭圆的方程；（I
5、I）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P若，求直线l的方程19（本小题满分15分）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64是公比大于0的等比数列，（I）求和的通项公式；（II）记.（i）证明是等比数列；（ii）证明20（本小题满分16分）已知，函数（I）求曲线在点处的切线方程：（II）证明存在唯一的极值点（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围2021年普通高等学校招生全国统一考试天津卷数学参考答案一、选择题1.C 2.A 3.B 4.D 5.D 6.B 7.C 8. A 9. A 二、填空题10. 11. 160 12. 13
6、. 14. . . 15. . 1 . 三、解答题16. （I）；（II）；（III）17. （I）证明见解析；（II）；（III）（I）以为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系，则,，因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以，所以,设平面的一个法向量为，则，令，则，因为，所以，因为平面，所以平面；（II）由（1）得，设直线与平面所成角为，则；（III）由正方体的特征可得，平面的一个法向量为，则，所以二面角的正弦值为.18. （1）；（2）19. （I），；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64所以，所以，所以；设等比数列的公比为，所以，解得（负值舍去），所以；（II）（i）由题意，所以，所以，且，所以数列是等比数列；（ii）由题意知，所以，所以，设，则，两式相减得，所以，所以.20. （I）；（II）证明见解析；（III）（I），则，又，则切线方程为；（II）令，则，令，则，当时，单调递减；当时，单调递增，当时，当时，画出大致图像如下：所以当时，与仅有一个交点，令，则，且，当时，则，单调递增，当时，则，单调递减，为的极大值点，故存在唯一的极值点；（III）由（II）知，此时，所以，令，若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，故，所以实数b的取值范围.第 8 页 共 8 页
