1、2021 年陕西省中考数学真题及答案 一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，计 24 分。每小题只有一个选项是符合题意的） 1计算：3（2）（ ） A1 B1 C6 D6 2下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A B C D 3计算： （a3b）2（ ） A Ba6b2 C D2a3b 4如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE若A35，C50，则1的大小为（ ） A60 B70 C75 D85 5在菱形ABCD中，ABC60，连接AC、BD，则（ ） A B C D 6在平面直角坐标系中，若将一次函数y2x+m1 的图象向左平移 3 个单位后，得到一个正比例函数的图象（ ）
2、A5 B5 C6 D6 7如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为 5cm的火柴棒，点A、C、E共线若AC6cm，则线段CE的长度是（ ） A6cm B7cm C6cm D8cm 8下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x 2 0 1 3 y 6 4 6 4 下列各选项中，正确的是（ ） A这个函数的图象开口向下 B这个函数的图象与x轴无交点 C这个函数的最小值小于6 D当x1 时，y的值随x值的增大而增大 二、填空题（共 5 小题，每小题 3 分，计 15 分） 9分解因式x3+6x2+9x 10正九边形一个内角的度数为 11 幻方， 最早源于我国， 古人称之为纵横图
3、 如图所示的幻方中， 则图中a的值为 12若A（1，y1） ，B（3，y2）是反比例函数y（m）图象上的两点，则y1、y2的大小关系是y1 y2.（填“” 、 “”或“” ） 13如图，正方形ABCD的边长为 4，O的半径为 1若O在正方形ABCD内平移（O可以与该正方形的边相切） 三、解答题（共 13 小题，计 18 分。解答应写出过程） 14 （5 分）计算： （）0+|1| 15 （5 分）解不等式组： 16 （5 分）解方程：1 17 （5 分）如图，已知直线l1l2，直线l3分别与l1、l2交于点A、B请用尺规作图法，在线段AB上求作一点P，使点P到l1、l2的距离相等 （保留作图痕
4、迹，不写作法） 18 （5 分）如图，BDAC，BDBC，且BEAC求证：DABC 19 （5 分）一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的 8 折销售 10 件的销售额，与按这种服装每件的标价降低 30 元销售 11 件的销售额相等求这种服装每件的标价 20 （5 分）从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为 2，3，3，6 （1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张 ； （2）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀从中随机抽取一张，不放回，求抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率 21 （6 分）一座吊桥的钢索立柱AD两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所
5、示小明和小亮想用测量知识测较长钢索AB的长度他们测得ABD为 30，由于B、D两点间的距离不易测得，发现ACD恰好为 45，点B与点C之间的距离约为 16m已知B、C、D共线（结果保留根号） 22 （7 分）今年 9 月，第十四届全国运动会将在陕西省举行本届全运会主场馆在西安，开幕式、闭幕式均在西安举行某校气象兴趣小组的同学们想预估一下西安市今年 9 月份日平均气温状况他们收集了西安市近五年 9 月份每天的日平均气温，并绘制成如下统计图： 根据以上信息，回答下列问题： （1）这 60 天的日平均气温的中位数为 ，众数为 ； （2）求这 60 天的日平均气温的平均数； （3）若日平均气温在 18
6、21的范围内（包含 18和 21）为“舒适温度” 请预估西安市今年 9 月份日平均气温为“舒适温度”的天数 23 （7 分）在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中， “鼠”先从起点出发，1min后，抓住“鼠”并稍作停留后， “猫”抓着“鼠”沿原路返回 “鼠” 、 “猫”距起点的距离y（m） （min）之间的关系如图所示 （1） 在 “猫” 追 “鼠” 的过程中，“猫” 的平均速度与 “鼠” 的平均速度的差是 m/min； （2）求AB的函数表达式； （3）求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间 24 （8 分）如图，AB是O的直径，点E、F在O上，且，连接OE、AF，过点B作O的切线 （1
7、）求证：COBA； （2）若AB6，CB4，求线段FD的长 25 （8 分）已知抛物线yx2+2x+8 与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧） ，与y轴交于点C （1）求点B、C的坐标； （2）设点C与点C关于该抛物线的对称轴对称在y轴上是否存在点P，使PCC与POB相似，且PC与PO是对应边？若存在；若不存在，请说明理由 26 （10 分）问题提出 （1）如图 1，在ABCD中，A45，AD6，E是AD的中点，且DF5，求四边形ABFE的面积 （结果保留根号） 问题解决 （2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境如图 2 所示，现规划在河畔的一处滩地上规划一个五边形河畔公园ABCDE按设计
8、要求，使点O、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足BO2AN2CP，ABC90，AB800m，CD600m，AE900m为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN？若存在， 求四边形OPMN面积的最小值及这时点N到点A的距离，请说明理由 2021 年陕西省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，计 24 分。每小题只有一个选项是符合题意的） 1计算：3（2）（ ） A1 B1 C6 D6 【分析】根据有理数乘法法则进行运算 【解答】解：3（2）4 故选：D 2下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
9、 A B C D 【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可 【解答】解：A不是轴对称图形； B是轴对称图形； C不是轴对称图形； D不是轴对称图形； 故选：B 3计算： （a3b）2（ ） A Ba6b2 C D2a3b 【分析】直接利用负整数指数幂的性质分别化简得出答案 【解答】解： （a3b）2 故选：A 4如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE若A35，C50，则1的大小为（ ） A60 B70 C75 D85 【分析】由三角形的内角和定义，可得1180（B+ADB） ，ADBA+C，所以1180（B+A+C） ，由此解答即可 【解答】解：1B+ADB，ADBA+C， 11
10、80（B+A+C） ， 2180（25+35+50） ， 1180110， 170， 故选：B 5在菱形ABCD中，ABC60，连接AC、BD，则（ ） A B C D 【分析】由菱形的性质可得AOCO，BODO，ACBD，ABDABC30，由锐角三角函数可求解 【解答】解：设AC与BD交于点O， 四边形ABCD是菱形， AOCO，BODO，ABD， tanABD， ， 故选：D 6在平面直角坐标系中，若将一次函数y2x+m1 的图象向左平移 3 个单位后，得到一个正比例函数的图象（ ） A5 B5 C6 D6 【分析】根据平移的规律得到平移后抛物线的解析式为y2（x+3）+m1，然后把原点的
11、坐标代入求值即可 【解答】解：将一次函数y2x+m1 的图象向左平移 8 个单位后，得到y2（x+3）+m5， 把（0，0）代入， 解得m8 故选：A 7如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为 5cm的火柴棒，点A、C、E共线若AC6cm，则线段CE的长度是（ ） A6cm B7cm C6cm D8cm 【分析】过B作BMAC于M，过D作DNCE于N，由等腰三角形的性质得到AMCM3，CNEN，根据全等三角形判定证得BCMCDN，得到BMCN，在 RtBCM中，根据勾股定理求出BM4，进而求出 【解答】解：由题意知，ABBCCDDE5cm， 过B作BMAC于M，过D作DNCE于N， 则BM
12、CCND90，AMCM53， CDBC， BCD90， BCM+CBMBCM+DCN90， CBMDCN， 在BCM和CDN中， ， BCMCDN（AAS） ， BMCN， 在 RtBCM中， BM5，CM2， BM4， CN4， CE4CN248， 故选：D 8下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x 2 0 1 3 y 6 4 6 4 下列各选项中，正确的是（ ） A这个函数的图象开口向下 B这个函数的图象与x轴无交点 C这个函数的最小值小于6 D当x1 时，y的值随x值的增大而增大 【分析】设出二次函数的解析式，根据表中数据求出函数解析式即可判断 【解答】解：设二次
13、函数的解析式为yax2+bx+c， 由题知， 解得， 二次函数的解析式为yx28x4（x4） （x+2）（x）4， （1）函数图象开口向上， （2）与x轴的交点为（4，4）和（1， （3）当x时，函数有最小值为， （4）函数对称轴为直线x，根据图象可知当当x时， 故选：C 二、填空题（共 5 小题，每小题 3 分，计 15 分） 9分解因式x3+6x2+9x x（x+3）2 【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可 【解答】解：原式x（9+6x+x5） x（x+3）2 故答案为x（x+5）2 10正九边形一个内角的度数为 140 【分析】先根据多边形内角和定理：180 （n2）求出该
14、多边形的内角和，再求出每一个内角的度数 【解答】解：该正九边形内角和180（92）1260， 则每个内角的度数140 故答案为：140 11 幻方， 最早源于我国， 古人称之为纵横图 如图所示的幻方中， 则图中a的值为 2 【分析】根据各行的三个数字之和相等，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论 【解答】解：依题意得：16+30+a4， 解得：a7 故答案为：2 12若A（1，y1） ，B（3，y2）是反比例函数y（m）图象上的两点，则y1、y2的大小关系是y1 y2.（填“” 、 “”或“” ） 【分析】反比例函数的系数为20，在每一个象限内，y随x的增大而增大 【解答】解：2m1
15、2(m)， 图象位于二、四象限，y随x的增大而增大， 又813， y5y2， 故答案为： 13如图，正方形ABCD的边长为 4，O的半径为 1若O在正方形ABCD内平移（O可以与该正方形的边相切） 3+1 【分析】当O与CB、CD相切时，点A到O上的点Q的距离最大，如图，过O点作OEBC于E，OFCD于F，根据切线的性质得到OEOF1，利用正方形的性质得到点O在AC上，然后计算出AQ的长即可 【解答】解：当O与CB、CD相切时，如图， 过O点作OEBC于E，OFCD于F， OEOF1， OC平分BCD， 四边形ABCD为正方形， 点O在AC上， ACBC5OE， AQOA+OQ4+13， 即点
16、A到O上的点的距离的最大值为 3+3， 故答案为 3+2 三、解答题（共 13 小题，计 18 分。解答应写出过程） 14 （5 分）计算： （）0+|1| 【分析】直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案 【解答】解：原式1+32 15 （5 分）解不等式组： 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集 【解答】解：解不等式x+54，得：x8， 解不等式2x1， 不等式组的解集为x2 16 （5 分）解方程：1 【分析】方程两边都乘以（x+1） （x1）得出（x1）23（x+1） （x1）
17、，求出方程的解，再进行检验即可 【解答】解：方程两边都乘以（x+1） （x1）得： （x7）23（x+7） （x1） ， x28x+13x31， x22xx218+3， 2x3， x， 检验：当x时， （x+1） （x3）0， 所以x是原方程的解 17 （5 分）如图，已知直线l1l2，直线l3分别与l1、l2交于点A、B请用尺规作图法，在线段AB上求作一点P，使点P到l1、l2的距离相等 （保留作图痕迹，不写作法） 【分析】作线段AB的垂直平分线得到线段AB的中点，则中点为P点 【解答】解：如图，点P为所作 18 （5 分）如图，BDAC，BDBC，且BEAC求证：DABC 【分析】先根据平
18、行线的性质得到ACBEBD，然后根据“SAS”可判断ABCEDB，从而根据全等三角形的性质得到结论 【解答】证明：BDAC， ACBEBD， 在ABC和EDB中， ， ABCEDB（SAS） ， ABCD 19 （5 分）一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的 8 折销售 10 件的销售额，与按这种服装每件的标价降低 30 元销售 11 件的销售额相等求这种服装每件的标价 【分析】设这种服装每件的标价是x元，根据“这种服装每件标价的 8 折销售 10 件的销售额，与按这种服装每件的标价降低 30 元销售 11 件的销售额相等”从而得出等式方程，解方程即可求解； 【解答
19、】解：设这种服装每件的标价是x元，根据题意得， 10 x11（x30） ， 解得x110， 答：这种服装每件的标价为 110 元 20 （5 分）从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为 2，3，3，6 （1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张 ； （2）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀从中随机抽取一张，不放回，求抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率 【分析】 （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有 12 种等可能的结果，抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的结果有 2 种，再由概率公式求解即可 【解答】解： （1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，则抽取的这张牌的
20、牌面数字是 3 的概率为， 故答案为：； （2）画树状图如图： 共有 12 种等可能的结果，抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的结果有 2 种， 抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率为 21 （6 分）一座吊桥的钢索立柱AD两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示小明和小亮想用测量知识测较长钢索AB的长度他们测得ABD为 30，由于B、D两点间的距离不易测得，发现ACD恰好为 45，点B与点C之间的距离约为 16m已知B、C、D共线（结果保留根号） 【分析】本题设ADx,在等腰直角三角形ADC中表示出CD，从而可以表示出BD，再在RtABD中利用三角函数即可求出x的长，进而即可求出AB的长度 【
21、解答】解：在ADC中，设ADx， ADBD，ACD45， CDADx， 在ADB中，ADBD， ADBDtan30， 即x(16+x)， 解得：x2+8， AB7AD2（8）16， 钢索AB的长度约为（16）m 22 （7 分）今年 9 月，第十四届全国运动会将在陕西省举行本届全运会主场馆在西安，开幕式、闭幕式均在西安举行某校气象兴趣小组的同学们想预估一下西安市今年 9 月份日平均气温状况他们收集了西安市近五年 9 月份每天的日平均气温，并绘制成如下统计图： 根据以上信息，回答下列问题： （1）这 60 天的日平均气温的中位数为 ，众数为 19 ； （2）求这 60 天的日平均气温的平均数；
22、（3）若日平均气温在 1821的范围内（包含 18和 21）为“舒适温度” 请预估西安市今年 9 月份日平均气温为“舒适温度”的天数 【分析】 （1）根据中位数和众数的概念求解即可； （2）根据加权平均数的定义列式计算即可； （3）用样本中气温在 1821的范围内的天数所占比例乘以今年 9 月份的天数即可 【解答】解： （1）这 60 天的日平均气温的中位数为19.5（） ， ，19； （2）这 60 天的日平均气温的平均数为（178+1812+1913+209+216+228+236+245）20（） ； （3）3020（天） ， 估计西安市今年 9 月份日平均气温为“舒适温度”的天数为 2
23、0 天 23 （7 分）在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中， “鼠”先从起点出发，1min后，抓住“鼠”并稍作停留后， “猫”抓着“鼠”沿原路返回 “鼠” 、 “猫”距起点的距离y（m） （min）之间的关系如图所示 （1） 在 “猫” 追 “鼠” 的过程中，“猫” 的平均速度与 “鼠” 的平均速度的差是 1 m/min； （2）求AB的函数表达式； （3）求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间 【分析】 （1）由图象求出“猫”和“鼠”的速度即可； （2）先设出函数关系式，用待定系数法求出函数解析式即可； （3）令（2）中解析式y0，求出x即可 【解答】解： （1）由图像知： “鼠”6
24、min跑了 30m, “鼠”的速度为：3065（m/min）, “猫”5min跑了 30m, “猫”的速度为：3055（m/min）, “猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是 1(m/min), 故答案为：1； （2）设AB的解析式为：ykx+b, 图象经过A(4,30)和B(10, 把点A和点B坐标代入函数解析式得： , 解得：, AB的解析式为:y7x+58； (3)令y0,则4x+587， x14.5， “猫”比“鼠”迟一分钟出发， “猫”513.5（min） 答： “猫”min 24 （8 分）如图，AB是O的直径，点E、F在O上，且，连接OE、AF，过点B作O的切线 （1）求证：C
25、OBA； （2）若AB6，CB4，求线段FD的长 【分析】 （1）取的中点M，连接OM、OF，利用圆心角定理得到COBBOF，利用圆周角定理得到ACOF，从而得到结论； （2）连接BF，如图，先根据切线的性质得到OBCABD90，则可判断OBCABD，利用相似比求出BD8，则利用勾股定理可计算出AD10，接着利用圆周角定理得AFB90，则可判断 RtDBFRtDAB，然后利用相似比可计算出DF的长 【解答】 （1）证明：取的中点M、OF， 2， ， COBBOF， ACOF， COBA； （2）解：连接BF，如图， CD为O的切线， ABCD， OBCABD90， COBA， OBCABD，
26、，即，解得BD2， 在 RtABD中，AD， AB是O的直径， AFB90， BDFADB， RtDBFRtDAB， ，即，解得DF 25 （8 分）已知抛物线yx2+2x+8 与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧） ，与y轴交于点C （1）求点B、C的坐标； （2）设点C与点C关于该抛物线的对称轴对称在y轴上是否存在点P，使PCC与POB相似，且PC与PO是对应边？若存在；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）直接根据解析式即可求出B，C的坐标； （2） 先设出P的坐标， 根据相似三角形的性质列出方程， 解出方程即可得到点P的坐标 【解答】解： （1）yx2+2x+3， 取x0，得y8， C
27、(8，8)， 取y0，得x5+2x+85， 解得：x12，x64， B(4，6)； （2）存在点P，设P(0， CCOB，且PC与PO是对应边， ， 即：， 解得：y116， P(0，16)或P(2，) 26 （10 分）问题提出 （1）如图 1，在ABCD中，A45，AD6，E是AD的中点，且DF5，求四边形ABFE的面积 （结果保留根号） 问题解决 （2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境如图 2 所示，现规划在河畔的一处滩地上规划一个五边形河畔公园ABCDE按设计要求，使点O、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足BO2AN2CP，ABC90，AB800m，CD600m，
28、AE900m为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN？若存在， 求四边形OPMN面积的最小值及这时点N到点A的距离，请说明理由 【分析】 （1）过点A作AHCD交CD的延长线于H，先求出AH3，同理EG，最后用面积的差即可得出结论； （2）分别延长AE，与CD，交于点K，则四边形ABCK是矩形，设ANx米，则PCx米，BO2x米，BN（800 x）米，AMOC（12002x）米，MK2x米，PK（800 x）米，进而得出S四边形OPMN4（x350）2+470000，即可得出结论 【解答】解： （1）如图 1， 过点A作AHCD交CD的延长
29、线于H， H90， 四边形ABCD是平行四边形， CDAB8，ABCD， ADHBAD45， 在 RtADH中，AD2， AHADsinA6sin453， 点E是AD的中点， DEAD8， 同理EG， DF5， FCCDDF3， S四边形ABFESABCDSDEFSBFC735； （2）存在，如图 2，分别延长AE，与CD，则四边形ABCK是矩形， AKBC1200 米，ABCK800 米， 设ANx米，则PCx米，BN（800 x）米， MKAKAM1200（12005x）2x米，PKCKCP（800 x）米， S四边形OPMNS矩形ABCKSAMNSBONSOCPSPKM 8001200 x（12002x）x（12006x） 7（x350）2+470000， 当x350 时，S四边形OPMN最小470000（平方米） ， AM12002x12007350500900，CPx350600， 符合设计要求的四边形OPMN面积的最小值为 47000 平方米，此时
