1、一、物体的重心一、物体的重心 物体的重力就是地物体的重力就是地球对它的吸引力。若把球对它的吸引力。若把物体视为由许多质点组物体视为由许多质点组成，由于地球比所研究成，由于地球比所研究的物体大得多，作用在的物体大得多，作用在这些质点上的重力形成这些质点上的重力形成的力系可以认为是一个的力系可以认为是一个铅垂的铅垂的平行力系平行力系。这个。这个空间平行力系的中心称空间平行力系的中心称为物体的重心。为物体的重心。 ),(111zyx 将物体分割成许多微单将物体分割成许多微单元，每一微单元的重力方向元，每一微单元的重力方向均指向地心，近似地看成一均指向地心，近似地看成一平行力系平行力系，大小分别为，大
2、小分别为G1 G2 Gn，作用点分别为，作用点分别为C1 C2 Cn 。物体重。物体重心心C的坐标的近似公式为的坐标的近似公式为 ),(222zyx),(nnnzyxniiniiiCniiniiiCniiniiiCGzGzGyGyGxGx111111;VVniiinCVVniiinCVVniiinCgdVgzdVGzGzgdVgydVGyGygdVgxdVGxGx111limlimlim重心的一般公式重心的一般公式 式中式中 为物体的密度，为物体的密度， g 为重力加速度，为重力加速度， g为单位体积所受的重力，为单位体积所受的重力，dV 是微单元的体积。是微单元的体积。 重心公式重心公式 对
3、于对于匀质匀质的物体来说，的物体来说， g 常数，其重心公式常数，其重心公式VzdVdVzdVzVydVdVydVyVxdVdVxdVxVVVCVVVCVVVC注意注意 匀质物体的重心，只决定于物体的几何形状，而匀质物体的重心，只决定于物体的几何形状，而 与物体的重度无关，因此又称为与物体的重度无关，因此又称为形心形心。 一个形体的一个形体的形心形心，不一定不一定在该形体在该形体上上。一个物体。一个物体 的重心，同样也的重心，同样也不一定不一定在该物体上。在该物体上。 匀质匀质、等厚度等厚度的薄板、簿壳结构的的薄板、簿壳结构的重心重心计算公式计算公式 对于匀质线段（如等截面匀质细长曲杆、细金属
4、对于匀质线段（如等截面匀质细长曲杆、细金属丝等）结构的丝等）结构的重心重心计算公式计算公式AzdAzAydAyAxdAxACACAC;LzdLzLydLyLxdLxLCLCLC二、确定物体重心的几种方法二、确定物体重心的几种方法 1、对称法、对称法 对于具有对于具有对称轴对称轴、对称面对称面或或对称中心对称中心的的匀质匀质物物体，可以利用其对称性确定重心位置。可以证明这体，可以利用其对称性确定重心位置。可以证明这种物体的种物体的重心必在重心必在对称轴、对称面或对称中心上。对称轴、对称面或对称中心上。 例例：圆球体或球面的重心在球心，圆柱体的重：圆球体或球面的重心在球心，圆柱体的重心在轴线中点，
5、圆周的重心在圆心，等腰三角形的心在轴线中点，圆周的重心在圆心，等腰三角形的重心在垂直于底边的中线上。重心在垂直于底边的中线上。2、积分法、积分法 对于具有某种规律的规则形体，可以根据对于具有某种规律的规则形体，可以根据重心重心计算公式计算公式，利用积分方法求出形体的重心。表，利用积分方法求出形体的重心。表2-13、组合法、组合法 工程中有些形体虽然比较复杂，但往往是由一工程中有些形体虽然比较复杂，但往往是由一些些简单形体组成简单形体组成的，而简单形体重心位置根据对称的，而简单形体重心位置根据对称性或查表很容易确定。因而可将组合形体分割为性或查表很容易确定。因而可将组合形体分割为n个简单几何形体
6、，然后应用下式求出组合形体的重个简单几何形体，然后应用下式求出组合形体的重心位置：心位置：AzAzAyAyAxAxniiiCniiiCniiiC111; 式中式中A是整个面积体的面积。是整个面积体的面积。 解解 取取 Oxy 坐标系如图坐标系如图所示，角钢截面可分为两个所示，角钢截面可分为两个矩形。两矩形的形心位置矩形。两矩形的形心位置C1和和C2分别处于矩形对角线的分别处于矩形对角线的交点，坐标分别为：交点，坐标分别为： 例例4-11 角钢截面的尺寸如图所示，试求其形心角钢截面的尺寸如图所示，试求其形心的位置。的位置。mm150 mm1511yxmm)23022530(2xmm15 mm5
7、.12722yx21AAAmm3 .59148505 .12758501590001AxAxniiiCmm8 .961485015585015090000AyAyniiiC由组合形体的形心计算公式由组合形体的形心计算公式2mm1485030)30225(300304、负负面积法面积法 如果在规则形体上切去一部分，例如钻孔或开槽如果在规则形体上切去一部分，例如钻孔或开槽等。当求这类形体的形心时，首先认为原形体是完整等。当求这类形体的形心时，首先认为原形体是完整的形体，然后把的形体，然后把切去的部分切去的部分视为视为负负面积，运用公式求面积，运用公式求出形心。出形心。 例例2-12 已知振动器上用
8、已知振动器上用的偏心块为等厚度的匀质形的偏心块为等厚度的匀质形体，如图所示。其上有半径体，如图所示。其上有半径为为 r2 的圆孔。偏心块的几何的圆孔。偏心块的几何尺寸尺寸R=120mm，r1=35mm，r2=15mm。试求偏心块形心。试求偏心块形心的位置。的位置。形体组合法的推广形体组合法的推广 取坐标系取坐标系 Oxy，其中，其中 Oy 轴为对称轴。根据对称轴为对称轴。根据对称性，偏心块的形心性，偏心块的形心 C 必在对称轴必在对称轴 Oy 上，所以有：上，所以有： 解解 将偏心块挖空的圆孔将偏心块挖空的圆孔视为视为“负面积负面积”，于是偏心，于是偏心块的面积可以视为由半径为块的面积可以视为
9、由半径为 R的大半圆、半径为的大半圆、半径为 r1 的小的小半圆和半径为半圆和半径为 r2 的小圆（负的小圆（负面积）共三部分组成。面积）共三部分组成。mm0Cx半径为半径为 R 的大半圆的大半圆72002121RAmm160341Ry查表查表4-1 AyAyniiiC1mm1 .47r1 小半圆小半圆5 .61221212rAmm67.463412ry)225(5 .61272000)225()67.46(5 .6121607200225223rA03yr2 小半圆小半圆5、试验法、试验法 对于某些形状复杂的机械零部件，在工程实际对于某些形状复杂的机械零部件，在工程实际中常采用试验方法来测定
10、其重心。试验法往往比计中常采用试验方法来测定其重心。试验法往往比计算法算法直接直接、简便简便，并具有，并具有足够的准确性足够的准确性。常用的试。常用的试验方法有如下两种：验方法有如下两种： 悬挂法悬挂法：对于形状复杂：对于形状复杂的薄平板求形心时可以的薄平板求形心时可以采用悬挂法。采用悬挂法。 AD 与与 BE 的交点即的交点即为薄平板的形心为薄平板的形心 C。 称重法称重法：形状复杂或体积庞大的物体，可以采用：形状复杂或体积庞大的物体，可以采用称重法求重心。称重法求重心。 例例：内燃机的连杆，其重心必在对称中心线：内燃机的连杆，其重心必在对称中心线AB上。上。 将连杆的小端将连杆的小端 A 放在水平面上，大端放在水平面上，大端 B 放在台秤放在台秤上，使中心线上，使中心线 AB 处于水平位置。已知连杆重量为处于水平位置。已知连杆重量为G，小头支承点距重力小头支承点距重力G 的作用线的距离为的作用线的距离为 xC，由力矩平，由力矩平衡方程得：衡方程得： 0cBGxlFniiAM10)(FlGFxBC
