1、电动力学第14讲第二章第二章 静电场静电场(6)2.6 静电势的多极展开教师姓名： 宗福建单位： 山东大学物理学院2015年10月30日山东大学物理学院 宗福建2Maxwell方程组00tt BEEBJEB 000山东大学物理学院 宗福建3Maxwell方程组00lslssddtdIdtQdQdVdId BElSEBlSESBSJS 000s山东大学物理学院 宗福建4静电场的标势静电场的标势 在静电情况下，电场与磁场无关，麦氏方程组的电场部分为 00/ EE山东大学物理学院 宗福建5静电场的标势静电场的标势 定义电势差 E2121()()PPPPd El因此，电场强度E E 等于电势的负梯度
2、山东大学物理学院 宗福建6标势标势 的Poisson方程0200/ EEE山东大学物理学院 宗福建7静电场的标势静电场的标势 若电荷连续分布，电荷密度为 ，设r为由源点xx 到场点x x的距离，则场点x x处的电势为 1()( )4dVr0 xx山东大学物理学院 宗福建8本讲主要内容电势的多极展开电多极矩电荷体系在外电场中的能量山东大学物理学院 宗福建9泰勒级数展开00200001()()( )( ).2!1()!x xx xnnnf xxf xx fxxfxdxf xndx山东大学物理学院 宗福建10泰勒级数展开0000000000,2222222,000(,)(,)( , )( , )1(
3、2) ( , ).2!1()(,)!x xy yx xy yx xy ynf xx yyf xyxf x yyf x yxyxxyyf x yxx yyxyf xynxy 山东大学物理学院 宗福建11泰勒级数展开0001()()()!nf xxxf xn山东大学物理学院 宗福建12电势的多极展开电势的多极展开 真空中给定电荷密度 (x ) 激发的电势 式中体积分遍及电荷分布区域，r为源点x 到场点x的距离。 01()( )4VdVrxx山东大学物理学院 宗福建13电势的多极展开电势的多极展开 在许多物理问题中，电荷只分布于一个小区域内，而需要求电场强度的地点x又距离电荷分布区域比较远，即r远大
4、于区域V的线度l 。在这种情况下，可以表示为 1/ r 的展开式，由此得出电势 的各级近似值。例如原子核的电荷分布于 10 15m 线度的范围内，而原子内电子到原子核的距离10 10m ，因此原子核作用到电子上的电场可以用本节方法求得各级近似值。 山东大学物理学院 宗福建14电势的多极展开电势的多极展开 在区域V内取一点O作为坐标原点，以R表示由原点到场点P的距离x 点在区域V内变动。由于区域线度远小于R，可以把 x 各分量看作小参量，把 x x 的函数对 x 展开。 山东大学物理学院 宗福建15电势的多极展开电势的多极展开 在区域V内取一点O作为坐标原点，以R表示由原点到场点P的距离，有 x
5、 点在区域V内变动。由于区域线度远小于R，可以把 x 各分量看作小参量，把 x x 的函数对 x 展开。 222222()()() .Rxyzrxxyyzzxx山东大学物理学院 宗福建16电势的多极展开电势的多极展开 设 f（x x）为 x x 的任一函数，在 x点附近 f（x x）的展开式为 000021()()()!1()()( )!1( )( )( )( ).2!nnf xxxf xnf xxxf xnf xxf xxf x 山东大学物理学院 宗福建17电势的多极展开电势的多极展开 211111( ).2!1111 :.2!rRRRRRRxxxx x11()frx-xx-xR x山东大学
6、物理学院 宗福建1820000(0)(1)(2)11111( )( )( ).42!1111( )( ) 44111( ) :.42!( )( )( ).VVVVdVRRRdVdVRRdVRxxxxxx xx x xxxx电势的多极展开电势的多极展开 山东大学物理学院 宗福建190(0)(1)(2)( )( ) 3 ( ) 11111( ):.46( )( )( ).VVVQdVdVDdVxQDRRRppxx xx x xxxx电势的多极展开电势的多极展开 山东大学物理学院 宗福建20(0)(1)(2)(0)0(1)0(2)0( )( )( )( ).11( )( )411( )( ) 411
7、1( ):3 ( ) 46VVVxQQdVRdVRDDdVR ppxxxxxxx xxx x x电势的多极展开电势的多极展开 山东大学物理学院 宗福建21电多极矩电多极矩 展开式的第一项(0)014QR是在原点的点电荷Q激发的电势。因此作为第0级近似，可以把电荷体系看作集中于原点上 。山东大学物理学院 宗福建22电多极矩电多极矩 展开式的第二项(1)3001144( ) VRRdV p Rppx x是电偶极矩p产生的电势。 山东大学物理学院 宗福建23电多极矩电多极矩 展开式的第三项(2)0111:463 ( ) VDRDdVx x x是电四极矩D产生的电势。 山东大学物理学院 宗福建24电偶
8、极矩如果一个体系的电荷分布对原点对称，它的电偶极矩为零。若 点x 和 x 点有相同的电荷密度，则积分值为零。因此，只有对原点不对称的电荷分布才有电偶极矩。总电荷为零而电偶极矩不为零的最简单的电荷体系是一对正负点电荷。设 x 点上有一点电荷 +Q ， x 点上有一点电荷 Q ，这体系的电偶极矩为 l为由负电荷到正电荷的距离。 2QQpxl山东大学物理学院 宗福建25电偶极矩右图具有偶极矩 pz = Ql的电偶极子，它产生的电势为 011()4Qrr山东大学物理学院 宗福建26电偶极矩由图，若 l R ，有 22cos ,cos2211111cos ,2cos1cos2211111cos2cos1
9、cos22llrRrRlllrRRRRRlllrRRRRR山东大学物理学院 宗福建27电偶极矩由图，若 l 0,DDD山东大学物理学院 宗福建45电四极矩电四极矩八极矩和更高的多极矩实际上较少用到，这里不详细讨论。 山东大学物理学院 宗福建46例题均匀带电的长形旋转椭球体半长轴为a，半短轴为b，带总电荷Q，求它的电四极矩和远处的电势。 解解 取z轴为旋转轴，椭球方程为 222221xyzba山东大学物理学院 宗福建47例题椭球所带电荷密度为 电四极矩为 203/4Qab20(3)ijijijx xrdVD山东大学物理学院 宗福建48例题由对称性 山东大学物理学院 宗福建49例题由对称性 因此
10、0 xydVyzdVzxdV1223310DDD山东大学物理学院 宗福建50例题令 x2 +y2 =s2 ，由对称性1222222(1)20432212122415415zabaax dVy dVs dVdzdrr raba bz dV山东大学物理学院 宗福建51例题因此 2233022022(3)(22)2()5zrdVzxdVab QD2211223311()25ab Q D D D 山东大学物理学院 宗福建52例题电四极矩产生的势为 222112233222011 24xyzRDDD222332220111 ()242xyzRD222223325001313 ()24240QzRabz
11、RRD山东大学物理学院 宗福建53例题椭球的电偶极矩为零，总电荷为Q 。在远处的势准确至四极项为 2223013cos1410QabRR山东大学物理学院 宗福建54分析山东大学物理学院 宗福建55分析山东大学物理学院 宗福建56分析山东大学物理学院 宗福建57分析电荷体系在外电场中的能量电荷在外电场中的静电势能,就是外场对电荷的静电作用能.若体积V内电荷密度为,外场对这带电体的静电作用能便为 当电荷分布于小区域,可将外场电势 对坐标原点(选在V内)展开为泰勒级数 eWdV2331,11( )(0)(0)(0).21(0)(0):(0).2eeieijeii jiijeeexxx xxx xxx
12、x 电荷体系在外电场中的能量则，1(0)(0):(0).21(0)(0)3:(0).61(0)(0):(0).61(0)(0):(0).6eeeeeeeeeeeeeeWdVxxxdVdVxdVxxdVQpDWdVQpD 电荷体系在外电场中的能量则，1(0)(0):(0).61(:.)(0)6111111111:.444461:.6eeeeeWdVQpDQpDdVQpDrRRRFEdVQEpEDE 电荷体系在外电场中的能量展开式中第一项，为点电荷在外场中的能量(0)eWQ电荷体系在外电场中的能量展开式中第二项，为电偶极子在外电场中的能量。电偶极子在外电场中受的力和力矩分别为：(0)(0)eeWp
13、p E (0)eFWpE (0)sin( )eeLWp ELpE 电荷体系在外电场中的能量展开式中第三项，为电四极子在外电场中的能量。许多介质分子除了有电偶极矩, 还有电四极矩, 原子核也有一定的四极矩，因此它们在非均匀电场中有一定的四极矩能量.11:(0):(0)66eeWDDE 山东大学物理学院 宗福建64本讲总结(0)(1)(2)(0)0(1)0(2)0( )( )( )( ).11( )411( )4111( ):46xQRRDR pxxxxxx山东大学物理学院 宗福建65本讲总结20(0)(1)(2)( )( ) ( )(3 1)11111( ):.46( )( )( ).VVVQdVdVDrdVxQDRRRppxx xxx xxxx课下作业 教材第73页，第17 题。山东大学物理学院 宗福建67谢谢谢谢
