1、灰色预测 我们将信息完全明确的系统称为白色系统，信息未知的系统称为黑色系统，部分信息明确、部分信息不明确的系统称为灰色系统。 系统信息不完全的情况有以下四种： （1）元素信息不完全。 （2）结构信息不完全。 （3）边界信息不完全。 （4）运行行为信息不完全。 灰色预测模型灰色预测模型灰色预测灰色系统理论的基本观点灰色系统理论的基本观点 1 1、灰色系统理论认为任何随机过程都是一定幅度值范围、灰色系统理论认为任何随机过程都是一定幅度值范围、一定时区内变化的灰色量，所以随机过程是一个灰色过程。一定时区内变化的灰色量，所以随机过程是一个灰色过程。 在处理手法上，灰色过程是通过对原始数据的整理来寻找在
2、处理手法上，灰色过程是通过对原始数据的整理来寻找数的规律，这叫数的生成。数的规律，这叫数的生成。 2 2、灰色系统理论认为：尽管客观系统表象复杂，数据离乱，、灰色系统理论认为：尽管客观系统表象复杂，数据离乱，但它总是有整体功能的，总是有序的，对原始数据作累加处理但它总是有整体功能的，总是有序的，对原始数据作累加处理后，便出现了明显的指数规律。这是由于大多数系统是广义的后，便出现了明显的指数规律。这是由于大多数系统是广义的能量系统，而指数规律便是能量变化的一种规律。能量系统，而指数规律便是能量变化的一种规律。灰色预测生成数的主法生成数的主法随机过程在灰色系统里被称为灰色量，灰色系统对灰色量随机过
3、程在灰色系统里被称为灰色量，灰色系统对灰色量的处理既不找概率分布，也不寻求统计特征，而是通过数据处的处理既不找概率分布，也不寻求统计特征，而是通过数据处理方法来寻找数据表现的规律，这种数据处理方法称为生成法，理方法来寻找数据表现的规律，这种数据处理方法称为生成法，灰色系统中主要有累加生成和累减生成。灰色系统中主要有累加生成和累减生成。一、累加生成一、累加生成记原始序列为：记原始序列为：n)(,2),(,1)(0000XXXX)(,2),(,1)(1)(1)1(1nXXXX生成序列为：生成序列为：其中：其中：)() 1()(011)0()1(KXKXiXXKi灰色预测例例10.6571.1229
4、.53)9()8()9(929.5315.1224.40)8()7()8(824.4085.1139.28)7()6()7(739.2864. 875.19)6()5()6(675.1986. 698.12)5()4()5(598.1224. 465. 8)4() 3()4(465. 839. 326. 5) 3()2() 3(326. 598. 228. 2)2() 1 ()2(228. 2) 1 () 1 (101101101101101101101101101XXXKXXXKXXXKXXXKXXXKXXXKXXXKXXXKXXK累计生成序列累计生成序列10.65,29.53,24.40,
5、39.28,75.19,89.12,65. 8 ,26. 5 ,28. 2)(1KX灰色预测累减生成累减生成例例10.65,29.53,24.40,39.28,75.19,89.12,65. 8 ,26. 5 ,28. 2)(0KX令令K0，X1(0)=071.1229.5310.65)9()9()9(915.1224.4039.52)7()8()8(885.1139.2824.40)6()7()7(764. 875.1939.28)5()6()6(686. 689.1275.19)4()5()5(524. 465. 889.12) 3()4()4(439. 326. 565. 8)2() 3
6、() 3(398. 228. 226. 5) 1 ()2()2(228. 2028. 2)0() 1 () 1 (1011011011011011011011011011XXXKXXXKXXXKXXXKXXXKXXXKXXXKXXXKXXXK累计生成序列累计生成序列71.12,15.12,85.11,64. 8 ,86. 6 ,24. 4 ,39. 3 ,98. 2 ,28. 2)(1KX灰色预测3.3.关联度关联度关联度分析是分析系统中各因素关联程度的方法。计算关联关需先计算关联度分析是分析系统中各因素关联程度的方法。计算关联关需先计算关联系数。关联系数。关联系数计算方法：关联系数计算方法：
7、设参考序列为设参考序列为)()3(),2(),1 ()(00000nXXXXKX被比较序列为被比较序列为)(),3(),2()(nXXXKXiiii关联系数定义为：关联系数定义为：)()(maxmaxp)()()()(maxmaxp)()(minmin)(0000KXKXKXKXKXKXKXKXKniiiii其中：其中：（1）为第）为第K点点X0与与Xi的绝对差。的绝对差。)()(0KXKXi（接下页）（接下页）灰色预测)()(minmin0KXKXi（3）是两级最大差，其含义与最小差相似。）是两级最大差，其含义与最小差相似。（4）p称为分辨率称为分辨率0p1，,P 越大，分辨率越大，一般采取
8、越大，分辨率越大，一般采取P0.5（5）对单位不一，初值不同的序列，在计算关联系数前应首选进行初值化，）对单位不一，初值不同的序列，在计算关联系数前应首选进行初值化，即将该序列所有数据分别除以第一个数据。即将该序列所有数据分别除以第一个数据。2、关联度、关联度被比较序列与参考序列的关联度是各类关联系数的平均值，即被比较序列与参考序列的关联度是各类关联系数的平均值，即（2）为两级最小差。其中是第）为两级最小差。其中是第一级最小差，表示在一级最小差，表示在Xi序列上找各点与序列上找各点与X0的最小差。的最小差。)()(minmin0KXKXini)()(min0KXKXi)()(minmin0KX
9、KXi为第二级最小差，表示在各序列找出的最小差基础上寻求所有序列中的最为第二级最小差，表示在各序列找出的最小差基础上寻求所有序列中的最小差。小差。nKiiKnr1)(1灰色预测例例设参考序列为设参考序列为Y0（8，8.88，16，18，24，32），），被比较序列为被比较序列为Y1（10，11.66，18.34，20，23.4，30）Y2（5，5.625，5.375，6.875，8.125，8.75）求其关联度：求其关联度：611111)(61)(1KnKKKnr7988. 0)5294. 06360. 08180. 08714. 09445. 01 (6449. 02rr1、r2表明表明X1
10、和和X0的关联程度大于的关联程度大于X2与与X0的关联程度。的关联程度。灰色预测4. . GM（1.1）预测模型预测模型一、一、GMGM（1.11.1）模型）模型设时间序列设时间序列X0有几个观察值，有几个观察值，n)(,2),(,1)(0000XXXX累加生成序列累加生成序列n)(,2),(,1)(0101XXXX，生成序列，生成序列X1满足：满足：UaxdtdX11式中式中a称发展灰数，称发展灰数，U称内生控制灰数。称内生控制灰数。设设为待估参数向量为待估参数向量ua，利用最小二乘法求解可得，利用最小二乘法求解可得1()TTnB BB Y其中其中1)() 1(2/11) 3()2(2/11
11、)2() 1 (2/1111111nXnXXXXXB)()4()3()2(0000nXXXXYnaueauXiXai) 1 () 1(01)() 1() 1(110iXiXiX灰色预测二、模型检验二、模型检验灰色预测模型检验一般有残差检验，关联度检验和后验差检验。灰色预测模型检验一般有残差检验，关联度检验和后验差检验。1.1.残差检验残差检验首先按模型计算首先按模型计算) 1(1iX，其次将，其次将) 1(1iX累减生成累减生成)(0iX，最后计算，最后计算原始序列原始序列)(0iX)(0iX与与的绝对残差的绝对残差），（niiXiXi,1,2,)()()(000及相对误差及相对误差), 2
12、, 1( ,/00ni%(i)X(i)2.2.关联度检验关联度检验按关联度计算方法算出按关联度计算方法算出 与原始序列与原始序列 的关联系数，然后算出关联的关联系数，然后算出关联度，根据经验，当度，根据经验，当p=0.5p=0.5时，关联度大于时，关联度大于0.60.6便是满意的。便是满意的。)(0iX)(0iX灰色预测3.3.后验差检验后验差检验（1 1）首先计算原始序列的平均值）首先计算原始序列的平均值（2 2）再计算原始序列的均方差）再计算原始序列的均方差（3 3）再次计算残差的均值）再次计算残差的均值（4 4）然后再求残差的均方差，式中）然后再求残差的均方差，式中（5 5）计算方差比）
13、计算方差比（6 6）计算小误差概率）计算小误差概率niiXnX100)(111nSiS其中其中2001) 1 (XXS)(0i001( ) in 122nSS2002)(iS12SSC 1006745. 0)( SiP。01000,6745. 0,)(SePSSieii即即令令不不合合格格勉勉强强合合格格合合格格则则有有若若 好好195%65. 065. 050. 035. 0c70. 070. 080. 095. 00PSpi，小于若相关误差，关联度、后验差检验在允许范围之内，则可用所建模型进若相关误差，关联度、后验差检验在允许范围之内，则可用所建模型进行预测，否则应进行残差修正。行预测，否
14、则应进行残差修正。灰色预测例：某县皮棉产量如表，试建立例：某县皮棉产量如表，试建立GN(1.1)预测模型，并预测第预测模型，并预测第8期皮棉产量。期皮棉产量。序序 号号123456产量产量( (百万担百万担) )2.673.133.253.363.563.72解：令解：令X0(1)、 X0(2)、 X0(3)、 X0(4)、 X0(5)、 X0(6)对立于原始序列数据对立于原始序列数据第一步，构造累加生成序列：第一步，构造累加生成序列：生成序列生成序列X1=2.67，5.80，9.05，12.41，15.97，19.69第二步，构造数据矩阵第二步，构造数据矩阵B和数据向量和数据向量Yn：183
15、.17119.14173.101425.71235.41)69.1997.15(211)97.1541.12(211)41.1205.9(211)05.980.5(211)80.567.2(211)6()5(21)5()4(21)4()3(211)3()2(211)2()1 (211111111111XXXXXXXXXXBTTnXXY72. 356. 326. 325. 313. 3)6()2(00，灰色预测第三步，计算第三步，计算BTB，(BTB)-1Yn：541.5441.5446375.707183.17119.14173.101425. 71235. 41111183.1719.147
16、3.10425. 7235. 4BBT226382. 1094319. 0094319. 0008667. 0541.5441.5446375.707)(11BBT02.172836.19072. 356. 336. 325. 313. 31111183.1719.1473.10425. 7235. 4nTYB925663. 2043879. 002.172836.190226382. 1094319. 0094319. 0008667. 0)(1nTTYBBB即即a=-0.043879 u=2.925663灰色预测第四步，得出预测模型：第四步，得出预测模型：67576634576913457
17、96au66.5656942.67(1)925663. 2043879. 00438801(1)0011.e.)(iX.XauXXdtdxi.第五步：残差检验：第五步：残差检验：（1）计算：）计算：69.196757.663457.69)6(668.196757.663457.69)6(597.156757.663457.69)5(443.126757.663457.69)4(303. 96757.663457.69)3(278. 56757.663457.69)2(167. 26757.663457.69) 1 (0504388. 01504388. 01404388. 01304388.
18、01204388. 01104388. 0101eXieXieXieXieXieXieXi灰色预测（2 2）累减生成序列：）累减生成序列：)(0iX01(1)0110110110110110(1)2.67(2)(2)(1)5.782.673.11(3)(3)(2)9.035.783.25(4)(4)(3)12.439.033.40(5)(5)(4)15.97 12.433.54(6)(6)(5)19.68 15.973.71(1)2.67,3.10,XXXXXXXXXXXXXXXXXX3.25,3.40,3.54,3.71原始序列原始序列72. 3,56. 3,36. 3,25. 3,13.
19、3,67. 20X（3）计算绝对误差及相对误差序列：）计算绝对误差及相对误差序列：绝对误差序列绝对误差序列00，0.02，0.04，0.02，0.01相对误差序列相对误差序列0/2.67100%，0.02/3.13 100%，0/3.25 100%，0.04/ 3.36100%，0.02/3.56 100%，0.01/3.72 100%=0.064%,0,1.19%,0.56%,0.27%相对误差小于相对误差小于1.19%，模型精确度高。，模型精确度高。灰色预测第六步，进行关联度检验：第六步，进行关联度检验：（1）计算序列）计算序列X0与与X0的绝对误差的绝对误差(i)：00000000000
20、0(1)(1)(1)2.672.670(2)(2)(2)3.133.110.02(3)(3)(3)3.253.250(4)(4)(4)3.363.400.04(5)(5)(5)3.563.540.02(6)(6)(6)3.723.710.01min( )min 0,0XXXXXXXXXXXXi.02,0,0.04,0.02,0.010max( )max 0,0.02,0,0.04,0.02,0.010.04i灰色预测（2 2）计算关联系数）计算关联系数：由于只有两个序列，故不再寻第二级最小及最大：由于只有两个序列，故不再寻第二级最小及最大：15.004.0004.05.0)3(50.04.00
21、5.002.004.05.0)2(104.05.0004.05.00)1()5.0,2, 1()(max)()(max)(min)(piiPiiPii（3 3）计算关联度）计算关联度：67.05.004.001.004.05.0)6(50.05.004.002.004.05.0)5(33.05.004.004.004.05.0)4(niinr167.0)67.05.033.015.01(61)(1r=0.67 是满足是满足 p=0.5 时的检验准则时的检验准则 r0.6 的。的。灰色预测第六步，后验差检验：第六步，后验差检验：（1）计算）计算82. 372. 356. 336. 325. 31
22、3. 367. 2610X（2 2）计算）计算X0序列均方差：序列均方差：3671. 016)28. 372. 3()28. 313. 3()28. 367. 2(1)(2222001nXiXS（3 3）计算残差的均值：）计算残差的均值：015. 001. 002. 004. 0002. 00)(61i（4 4）计算残差的均方差：）计算残差的均方差：0252. 016)015. 001. 0()015. 002. 0()015. 00(1)(22222niS灰色预测（5 5）计算）计算C C：0414. 03671. 00152. 012SSC（6 6）计算小误差概率）计算小误差概率：S00.
23、67450.36710.247635. 01005. 0 ,005. 0 ,025. 0 ,015. 0 ,005. 0 ,15. 0)(01，CPSeie故故都小于都小于所有所有有有较较好好的的预预测测精精度度。故故模模型型6757.663457.691)(04388. 01ieiX第八步，模型经检验合格后可用于预测，预测公式为：第八步，模型经检验合格后可用于预测，预测公式为：)() 1() 1(1)1(0iXiXiX本例中本例中i i=7=7 23. 46757.66e3457.696757.663457.69)7()8()8(74388. 084388. 01)1(0eXXX即该县第八期
24、皮棉产量为即该县第八期皮棉产量为4.234.23百万担。百万担。灰色预测有关建模的问题说明有关建模的问题说明（1 1）给定原始序列）给定原始序列X X0 0中的数据不一定要全部用来建立模型，对中的数据不一定要全部用来建立模型，对原始序列的取舍不同，可得模型不同，即原始序列的取舍不同，可得模型不同，即a a、u u的值不同。的值不同。（2 2）建模的数据取舍应保证建模序列等时距、相连，不得有跳）建模的数据取舍应保证建模序列等时距、相连，不得有跳跃出现。跃出现。（3 3）一般建模数据序列应当由最新数据及其相邻数据构成，当）一般建模数据序列应当由最新数据及其相邻数据构成，当再出现新数据时，可采取两种
25、处理方法：一是将新信息加入原再出现新数据时，可采取两种处理方法：一是将新信息加入原始序列中，重估参数；二是去掉原始序列中最老的一个数据，始序列中，重估参数；二是去掉原始序列中最老的一个数据，再加上最新数据，所形成序列和原序列维数相等，再重估参数。再加上最新数据，所形成序列和原序列维数相等，再重估参数。灰色预测 GM GM（1.11.1）的区间预测）的区间预测设原始序列：设原始序列：母列：母列：子列：子列：)8(),2(),1(0000XXXX)8(),7(),6(),5()8(),5(),4()8(),4(),3()8(),3(),2(000040000300002000010XXXXXXXX
26、XXXXXXXXX)()()()()()()()()()(4)1.1(403)1.1(302)1.1(201)1.1(10)1.1(0lkxhXlkxhXlkxhXlkxhXlkxhXGMGMGMGMGM)(),(minmaxlkXlkX预测区间预测区间灰色预测例：某地区年平均降雨量数据如下表：例：某地区年平均降雨量数据如下表：123456789X(0)(1)390.6X(0)(2)412X(0)(3)320X(0)(4)559.2X(0)(5)380.8X(0)(6)542.4X(0)(7)553X(0)(8)310X(0)(9)5611011121314151617X(0)(10)300X
27、(0)(11)632X(0)(12)540X(0)(13)406.2X(0)(14)313.8X(0)(15)576X(0)(16)587.6X(0)(17)318.5规定规定320，并认为，并认为x(0)(i) 为旱灾，试作灾变预测。为旱灾，试作灾变预测。解：给定数列为解：给定数列为),5 .318, 6 .587,576, 8 .313, 2 .406 ,540,632,300,561,310,553, 4 .542, 8 .380, 2 .559,320,412, 6 .390( )17(),16(),15(),14(),13(),12(),11(),10( ),9(),8(),7(),
28、6(),5(),4(),3(),2(),1 ()0()0()0()0()0()0()0()0()0()0()0()0()0()0()0()0()0()0(xxxxxxxxxxxxxxxxxx灰色预测按照按照x(0)(i)320为异常值，有为异常值，有x(0)为为x(0)=(320,310,300,313.8,318.5) =(x(0)(1)， x(0)(2)， x(0)(3)， x(0)(4)， x(0)(5) =(x(0) (3)， x(0) (8)， x(0) (10)， x(0) (14)， x(0) (17)。为此，有为此，有或者写为或者写为P=(p(1)，p(2)， p(3)， p(
29、4)， p(5)=(3，8，10，14，17)。将将P中数据作中数据作1次累加生成，得次累加生成，得P(1)有有41) 1 () 1 () 1 () 1 () 1 (31) 1 () 1 () 1 () 1 (21) 1 () 1 () 1 () 1 (,351421)()4()3()2()1 ()4(,211083)()3()2()1 () 3(,1183)()2()1 ()2(, 3) 1 (iiiippppppipppPpippppp,1714108354321P灰色预测， )52 35 21 11 3() 5(),4(),3(),2(),1 (,521735)()5()4()3()2(
30、)1 () 5() 1 () 1 () 1 () 1 () 1 () 1 (51) 1 () 1 () 1 () 1 () 1 () 1 (pppppPipppppppi按按P(1)建立建立GM(1,1)模型，得模型，得258339. 625361. 0uaa495 .1347 9955. 003156. 003151. 000135. 0)( 15 .43128116171NTTTYBBBB灰色预测检验上述模型检验上述模型。52) 5( ,662.51) 5(,35)4( ,553.34)4(, 12) 3( ,285.21) 3(,11)2( ,999.10)2() 1 () 1 () 1
31、 () 1 () 1 () 1 () 1 () 1 (ppppppppkkkeeeekP25361. 025361. 025361. 025361. 0)0(2 . 6677.27224. 0677.27)1 ()(生成模型检验：生成模型检验：,677.24)677.243() 1 () 1(25361. 0)0() 1 (eaueaupkpak灰色预测还原数据检验还原数据检验。%582. 0) 5( ,17) 5( ,099.17) 5(%,1 . 5)4( ,14)4( ,268.13)4(%,86. 2) 3( ,10) 3( ,286.10) 3(%,125. 0)2( , 8)2( ,999. 7)2()0()0()0()0()0()0()0()0(eppeppeppepp预测第预测第6 6个数与第个数与第7 7个数个数39.28)7(03.22)6()0()0(pp21.6821.68与与1717相差相差5 5左右，这表明下一次降雨量小于左右，这表明下一次降雨量小于320mm320mm的旱灾年将发生的旱灾年将发生在四年后。在四年后。
