1、目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 求导公式求导公式 )(C0 )(x1x )(xalnxaa )(exex )(log xa1lnxa )(ln x1x()x 12 x1( )x 21x )(sin xcosx )(cosxxsin )(tan x2sec x )(cot xx2csc )(secxsec tanxx )(cscxxxcotcsc第二节 函数的求导法则 目录 上页 下页 返回 结束 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctan x211x )cot(arcx211x )(vuvu()cu cu )( vuvuvuvu2vvuvu( c为常数
2、)0( v二、有限次四则运算的求导法则二、有限次四则运算的求导法则推论推论(1)()uvwu vwuv wuvw(2)(3)21( )vvv 目录 上页 下页 返回 结束 三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则( ),( ),yf uuxxydd)()(xufuyddxudd则则 ( )yfx的导数的导数链式法则：链式法则：yux四、反函数的导数四、反函数的导数x=f (y)的反函数的反函数y=f1(x)的导数的导数1 ( )()fx ddxy或yxdd1( )fy1目录 上页 下页 返回 结束 0 3sin1ln2,.已已求求例例知知yxxy 3(sinln2)解解 yxx()()() 2
3、3cos .xx sin xln23x常数常数( )( )()v xv xu xu x 目录 上页 下页 返回 结束 cos2ln2sin.xxxxxxx (2) cos2(cos )xxxx221() lnxxxx ( )( )( )( )( )( )u xu xu xv xv xv x 常数常数()( vuxx 2ln2cos,.2例例已已知知求求yxxxxy 2(ln2cos)解解 yxxxx 2(ln)(2cos)()xxxx ()0 ln x2x2xcosx目录 上页 下页 返回 结束 21.2xyx12.lnyx2213.1yxx例例3 求下列函数的导数求下列函数的导数 解解：1、
4、222() 2(2 )(2 )xxxxxy 212.(ln )(ln )yxx 223.(1)1yx 22222 ln2(2 )xxxxx22ln22xxx21(ln )xx 2222(1)(1)xx224(1)xxQ. E. F.2( )uu vuvvv 21( )vvv 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.tan的导数的导数求求xy 解解sin(tan )()cosxyxx2(sin ) cossin (cos )cosxxxxx222cossincosxxx221seccosxx.sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得2( )uu vuvvv 目录 上页
5、 下页 返回 结束 1例例5. 求反三角函数求反三角函数y=arcsinx的导数的导数.解解: 设设,arcsin xy 则则,sin yx , )2,2(y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x0cosy, 则则反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.目录 上页 下页 返回 结束 复合函数求导法则是一个非常重要的法则复合函数求导法则是一个非常重要的法则目录 上页 下页 返回 结束 例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.推广推广：此法
6、则可推广到多个中间变量的情形.目录 上页 下页 返回 结束 sin , 解解yxuu (sin ) ()ddddddddxxuyuyu1coscos.22xuxxsin,.6例例求求yxy 1(sin )cos ,()2 uuxx yux目录 上页 下页 返回 结束 例例7.sinln的导数的导数求函数求函数xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot yux例例8.)1(102的导数的导数求函数求函数 xy解解)1(1029 xuxx2)1(1092 .)1(2092 xx. 1,210 xuuydxdududydxdy yux目录 上
7、页 下页 返回 结束 例例9ln.2xytg求函数的导数解解ln ,tan,2xyu uddddddyyuxux1 dduux1sin x21112cos22xxtgyuxuvx1 dduuxtan ,2xuv v1 dddduvuvx211sec2xu目录 上页 下页 返回 结束 例例10. 设设, )cos(elnxy 求求.ddxy解解:xydd)cos(e1x(cos(e )x)tan(eexx)cos(e1x( sin(e )x (e )x)cos(e1x( sin(e )x ex目录 上页 下页 返回 结束 例例11. 设设, )1(ln2xxy.y求解解:112xxy112x2(
8、1)xx211xx12(1) )x211xx11212x2(1)x211xx11212x2x目录 上页 下页 返回 结束 例例12231ln(2).2xyxx求函数的导数解解例例13解解211ln(1)ln(2),23yxx21112213(2)yxxx2113(2)xxx1sin.xye求函数的导数1sin1(sin)xyex1sin11cos( )xexx1sin211cos.xexx 目录 上页 下页 返回 结束 例例15. 设, )()()(xaxxf其中)(x在ax 因)()()()(xaxxxf故)()(aafaxafxfafax)()(lim)(axxaxax)()(lim)(l
9、imxax)(a正确解法:)(af 时, 下列做法是否正确?在求处连续,目录 上页 下页 返回 结束 例例16设2(),xdyyf edx求2()xdyf edx解：解：22() ()xxf ee22()( 2 )xxf eex 22()( 2)xxf ee 222()xxef e目录 上页 下页 返回 结束 31xy五、隐函数的导数五、隐函数的导数若由方程0),(yxF可确定 y 是 x 的函数 ,由)(xfy 表示的函数 , 称为显函数显函数 .例如例如,013 yx可确定显函数03275xxyy可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .函数为隐函数隐函数 .则称此隐函数求导方法
10、求导方法: 0),(yxF0),(ddyxFx两边对 x 求导( 注意 y = y(x) )(含导数 的方程)y目录 上页 下页 返回 结束 例例17. 求由方程03275xxyy)(xyy 在 x = 0 处的导数.0ddxxy解解: 方程两边对 x 求导)32(dd75xxyyx得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因 x = 0 时 y = 0 , 故210ddxxy0确定的隐函数目录 上页 下页 返回 结束 例例18. 求椭圆191622yx在点)3,2(23处的切线方程.解解: 椭圆方程两边对 x 求导8xyy920y2323xyyx1692323xy43故
11、切线方程为323y43)2( x即03843 yx目录 上页 下页 返回 结束 六、对数求导法 1) 对幂指函数),(),(,xvvxuuuyv其中可用对数uvylnlnyy1uv lnuvu)ln(uvuuvuyv求导法求导 :目录 上页 下页 返回 结束 例例19. 求)0(sinxxyx的导数 . 解解: 两边取对数 , 化为隐式xxylnsinln两边对 x 求导yy1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx目录 上页 下页 返回 结束 例例20. 求求 )4)(3()2)(1(xxxxy21lny对 x 求导21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy4
12、1312111xxxx两边取对数ln(1)ln(2)xxln(3)ln(4)xx11x21x31x41x2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .的导数 . 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义.若函数)(xfy 的导数)(xfy可导,或,dd22xy即)( yy或)dd(dddd22xyxxy类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,1n阶导数的导数称为 n 阶导数 ,y ,)4(y)(,ny或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(xf的二阶导数二阶导数 , 记作y )(xf 的导数为依次类推 ,分别记作则称( ),fx(4)( ),fx( ),( ),nfx七、高阶导数目录 上页
13、 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 【例【例21】求函数求函数 y=2x2+lnx 的二阶导数。的二阶导数。 解：解： 14,yxx 214yx 设,2210nnxaxaxaay求.)(ny解解:1ayxa221nnxan 212ayxa3232) 1(nnxann依次类推 ,nnany!)(233xa例例22.可得,e3xaay 例例23. 设求解解:,exay .)(ny,exaay ,e2xaay xannaye)(目录 上页 下页 返回 结束 ( )()(ln )xnnxaaa证明证明:xya(ln ),xyaa 2(ln ) ()(ln )xxyaaaa依次类推 ,(
14、)(ln )nnxyaa公式公式1.可得【特款特款】 当当a=e时时,( )().xnxee.目录 上页 下页 返回 结束 ( )(sin )sin()2nxxn证明证明:sinyx公式公式2.cosyx cos() 12yx ( )sin()2nyxnsin()2xsin(2)2x cos(2) 12yx sin(3)2x 同理, 可得( )(cos )cos()2nxxn.目录 上页 下页 返回 结束 ( )11!( 1)()nnnnxaxa 证明证明:1yxa公式公式3.2()11yxa 2( 1)()xa 21( )vvv 2 1( 1)( 2)(1)yxa 3( 1)( 2)()xa
15、 3 1( 1)( 2)( 3)()1yxa 4( 1)( 2)( 3)()xa .( )1( )!()nnnyn xa 1!( 1)()nnnxa (a为实数 )目录 上页 下页 返回 结束 解解:例例24. 设, )1(lnxy求.)(ny11yx ( )(1)()nnyy( )11!( 1)()nnnnxaxa (1)1()1nx1(1)!( 1).(1)nnnx 目录 上页 下页 返回 结束 21,32yxx1111( 1)!(2)(1)nnnnxx 例例25. 设求.)(ny解解:1(1)(2)yxx( )11!( 1)()nnnnxaxa 1121xx( )( )( )11()()21nnnyxx11!( 1)( 1)(2)(1)nnnnnnxx ( )( )( )()nnnuvuv目录 上页 下页 返回 结束
