1、2222( , )u x taut22, , ,uauf x y z tt),()(zyxfu一、典型数理方程一、典型数理方程1 1、弦振动方程、弦振动方程2 2、热传方程、热传方程3 3、LaplaceLaplace方程方程v 许多物理力学问题都可以归结为偏微分方程的定解问题。许多物理力学问题都可以归结为偏微分方程的定解问题。v 怎么求解？怎么求解？建立方程及相应的定解条件，利用几种基本的方法。偏微分方程常微分方程转化第二章 分离变量法02xxttuau边界条件：)(0 xut).(0 xutt0),(0 xtxu0),(lxtxu初始条件：（泛定方程）波动方程：A2.1 有界弦的自由振动有
2、界弦的自由振动v 定解问题的特点：定解问题的特点： 偏微分方程是线性齐次的，边界条件也是齐次的，求解此类问题可以采用叠加原理。v 定解问题的方法：定解问题的方法： 找出偏微分方程满足边界条件的多个特解，再利用它们的线性组合，使满足初始条件。2468-1-0.50.510 x固定固定lx 自由自由345678-1-0.50.510 x自由自由lx 自由自由468-1-0.50.510 x自由自由lx 固定固定2.557.51012.515-1-0.50.510 x固定固定lx 固定固定 对于确定的频率，振动过程中有不动的对于确定的频率，振动过程中有不动的节点，这类节点，这类振动波振动波为为驻波：
3、驻波：振动过程中不动的点称为振动过程中不动的点称为节点。节点。振动过程中驻波的振幅达到最大值，称为振动过程中驻波的振幅达到最大值，称为腹点。腹点。 为求定解问题，选择物理模型：乐器发出的声音可以分解为不同频率的单音，每种单音振动时为正弦曲线，其振幅不依赖时间( , )( )sinu x tc tx注：注：u(x,t)中含变量中含变量x的函数与含的函数与含t的函数的乘积，有变量分离的函数的乘积，有变量分离的形式的形式波腹波节2.557.51012.515-1-0.50.51每一点绕平衡位置振动)(tT振幅随位置变化)(xX驻波解：)()(),(tTxXtxu将U=X(x)T(t)代入波动方程：0
4、 2TXaXT这是解的这是解的分离变量分离变量0)()0(tTX0)()(tTlX0)0(X和0)(lX2TXa TX0 2TXaXT将U=X(x)T(t)代入边界条件：和T(t)为任意值，要使上式成立，则：)()( )()( 2xXxXtTatTClearly x, t 是相互独立的变量，这个方程的两边互不统属，而各自是相互独立的变量，这个方程的两边互不统属，而各自独立变化。故独立变化。故比值比值只能为一只能为一常数常数！)()( )()( 2xXxXtTatT由由分离变量分离变量，波动方程（偏微分方程）变为常微分方程组：，波动方程（偏微分方程）变为常微分方程组：; 0 2TaT; 0 XX
5、0)0(X和. 0)(lX(1) 00 XXxxeCeCxX21)(0)0(X021CC(A).;0 XX的解：的解：; 0 XX0)0(X和. 0)(lX对于某些 值，方程的解存在，则称 的值为固有值固有值。相应的X(x)的解为固有函数固有函数。对于对于 分三种情况加以讨论：分三种情况加以讨论：( )0X l 021lleCeC021 CC 0X x (2)021)(CxCxX02C021CC0)0(X( )0X l 0X x (3)0 xCxCxXsincos)(210)0(X01C. 0)(lX0sin2lC2( )sinnn xXxCl222ln：固有值：固有值lxnCxXsin)(2
6、：特征函数：特征函数( (固有函数固有函数) ); 0 XX本征值方程本征值方程C2是积分常数222ln3 , 2 , 1n0sin2lC对于方程 ，因为X(x)不恒等于零。0sinl02C只有超越方程B.; 0 2222TlanT( )cossin,nn atn atT tABllA、B 是积分常数。( , )(cossin)sinnnnn atn atn xux tABlll3,2,1n222ln：固有值代入T的方程; 0 2TaT; 0 XX0)0(X和. 0)(lXAn=A*C2是是积分常数合并积分常数合并, 线性齐次，线性齐次，可采用叠加原理可采用叠加原理1( , )(cossin)
7、sin.nnnn atn atn xu x tABlllC.)(0 xut由初始条件：由初始条件：),(sin1xlxnAnn;sin)(20dlnlAln0( )ttux).(sin1xlxnBlannn.sin)(20dlnanBlnFourier展开式的系数：Fourier展开式的系数：小结小结分离变量：分离变量：)()(),(tTxXtxu0 2TXaXT0)()0(tTX0)()(tTlX.sin)sincos(),(1lxnlatnBlatnAtxunnn边值确定本征值函数：边值确定本征值函数：.sin)sincos(),(lxnlatnBlatnAtxunnn初值确定叠加系数：初
8、值确定叠加系数：;sin)(20dlnlAln.sin)(20dlnanBln注意：边界值等于零（注意：边界值等于零（齐次边界条件齐次边界条件）是确定本征函数的）是确定本征函数的根本根本。（二）例例1磁致伸缩换能器两端自由的均匀细杆。自由：振动传递给外界0lxA.)()(),(tTxXtxu0 2TXaXT0)()0( tTX0)()( tTlX分离变量：; 0 2TaT; 0 XX0)0( X和. 0)( lXxCxCxXsincos)(21B., 02C0)cossin(21lClC222ln3 , 2 , 1 , 0n02xxttuau0),(lxxtxu0),(lxxtxu)(0 xu
9、t)()(0 xxuttlxnCxXcos)(1C.; 0 2222TlanT,sincos)(latnBlatnAtTnnn.cos)sincos(),(lxnlatnBlatnAtxunnn3 , 2 , 1ntBAtT000)(0ntBAtxu000),(.cos)sincos(),(100lxnlatnBlatnAtBAtxunnnD.)(0 xut由初始条件：),(sin10 xlxnAAnn,)(100dlAl).(0 xutt).(sin10 xlxnBlantBnn.cos)(20dlnanBln;cos)(20dlnlAln,)(100dlBl例2:单簧管，均匀细管。研究管内
10、空气柱的声振动，纵振动。一端固定，另一端自由。02xxttuau0),(0 xtxu0),(lxxtxu求本征振动。不需要初始条件。A.)()(),(tTxXtxu0 2TXaXT0)()0(tTX0)()( tTlX分离变量：0)0(X和0)( lX)()( )()( 2xXxXtTatT; 0 2TaT; 0 XX0)0(X和. 0)( lX0lxxCxCxXsincos)(21B.0)0(X和. 0)( lX01C0cos2lC和2222224) 12()21(lklk3 , 2 , 1 , 0klxkCxX2) 12(sin)(2C.; 04) 12( 2222TlakT,2) 12(
11、sin2) 12(cos)(latkBlatkAtT.2) 12(sin)2) 12(sin2) 12(cos(),(lxklatkBlatkAtxukkk3 , 2 , 1 , 0kK=0：基频。K0：谐频2.2 有限杆的热传导0222xuatu边界条件：0),(lxtxu初始条件： 偏微分方程是线性齐次的，边界条件也是齐次的，求解此类问题可以采用叠加原理。0),(0 xtxu2.2.1 热传导问题的定解条件)(0 xut0)()0(tTX0)()(tTlX0)0(X和0)(lX2TXa TX将U=X(x)T(t)代入边界条件：和T(t)为任意值，要使上式成立，则：将U=X(x)T(t)代入
12、波动方程：驻波解：)()(),(tTxXtxu)()( )()( 2xXxXtTatT x, t 是相互独立的变量，这个方程的两边互不统属，而各自独立变化。故比值只能为一常数！)()( )()( 2xXxXtTatT由分离变量，波动方程（偏微分方程）变为常微分方程组：; 02TaT; 0 XX0)0(X和. 0)(lXA.;0 XX的解：; 0 XX0)0(X和. 0)(lXxCxCxXsincos)(210)0(X01C. 0)(lX0sin2lC0同弦振动问题只讨论 情问况：lxnCxXsin)(2C2是积分常数222ln3 , 2 , 1n0sin2lC对于方程 ，因为X(x)不恒等于零
13、。0sinl02C只有B.Cn 是积分常数。21( , )sinn atlnnnn xux tC el3,2,1n222ln：固有值代入T的方程02TaT2n atlnTC e求解：温度U利用初始条件：dxlxnxlClnsin)(200222xuatu边界条件：初始条件： 偏微分方程是线性齐次的，考虑第二类或第三类边界条件，求解此类问题可以采用叠加原理。2.2.2 热传导问题的定解条件)(0 xut0( , )0 xxux t( , )0 xx lux t0)()0( tTX0)()( tTlX0)0( X和0)( lX2TXa TX将U=X(x)T(t)代入边界条件：和T(t)为任意值，要
14、使上式成立，则：将U=X(x)T(t)代入波动方程：驻波解：)()(),(tTxXtxu)()( )()( 2xXxXtTatT由分离变量，波动方程（偏微分方程）变为常微分方程组：; 02TaT; 0 XX0)0( X和. 0)( lX(1) 00 XXxxBeAexX)(0)0( X0BAA.; 0 XX的解：; 0 XX0)0(X和. 0)(lX对于对于 分三种情况加以讨论：分三种情况加以讨论：( )0X l 0llBeAe0 BA 0X x (2)000)(BxAxX00A0)0( X00001,2ux tB Ca没用没用( )0X l 0)(BxX将将 代入代入0 XX0代入代入02T
15、aT00CT (3)0 xBxAxXsincos)(0)0( X0B. 0)( lX0sinlAlxnAxXnncos)(An是积分常数222ln3 , 2 , 1nCn 是积分常数。21( , )cosn atlnnnn xux tD el3,2,1n222ln：固有值代入T的方程02TaT求解：温度U2n atlnnTD e 偏微分方程是线性齐次的，考虑第二类或第三类边界条件也是齐次，求解此类问题可以采用叠加原理。00和 可线性叠加2011( , )cos2n atlnnn xu x taa el由初始条件：;cos)(20dlnlalnFourier展开式的系数：2.3 二维拉谱拉斯方程
16、的定解求电场强度解：建立如右图坐标系，Z-轴沿导线。导线z 无限长导线的情况，可将电场看作沿z 方向不变。只需要研究 x-y 平面的状态 平面问题。2.3.1 矩形域内的二维拉谱拉斯方程的定解真空静电势在矩形域内满足拉普拉斯方程：02222yuxu边界条件方程 ( ,0);( , )u xf xu x bg x(0, )0;( , )0uyu a yXYXY 将U=X(x)Y(y)代入波动方程：)()(),(yYxXtxu; 0 YY; 0 XX0)0(X和. 0)(aXaxnxXnsin)(222an3 , 2 , 1n求解含X的方程再求解含Y的方程( )nnyyaannnY xa eb e
17、( , )sinnnyyaannn xu x ya eb ea上式满足边界条件 ( ,0);( , )u xf xu x bg x;sin)(20danabaannFourier展开式的系数：02( )sin;annbbaannna eb egdaa2.3.2 圆域内的二维拉谱拉斯方程的定解分离变量 考察一圆板内的温度分布，已知圆周边界上的温度为f，求温度分布。 02202221100r ruuurrrrrruf( , )( )( )u rR r2110RRRrr 2r RrRR 化简引入常量自然周期边界条件或( ,2 )( , )u ru r(2 )( ) 温度有界条件 0R 200r Rr
18、RR 分解两方程 200r RrRRR 0(2 )( ) 和分析第一个方组，讨论 大于等于零两种情况0 0 0012a0 cossinAB为2 的周期函数，所以 2(1,2.,3.)nn cossinnnnAnBn将 代入R的方程组，得到Euler方程，其解为2n nnnnnRrC rD r 0R 由于0nD nnnnnRrC rD r,cossinnnnnurAnBnr00对 和 的解叠加得到：01,cossin2nnnu raAnBnr 001,cossin2nnnu raAnBnrf 0r ruf利用边界条件Fourier展开式的系数：2001( )cosnnafn dr 2001( )sinnnbfn dr
