1、1第三章第三章 数字信号处理技术数字信号处理技术 1 1、数字信号处理的主要研究内容、数字信号处理的主要研究内容 数字信号处理主要研究用数字序列来表示测试数字信号处理主要研究用数字序列来表示测试信号，并用数学公式和运算来对这些数字序列进行信号，并用数学公式和运算来对这些数字序列进行处理。内容包括数字波形分析、幅值分析、频谱分处理。内容包括数字波形分析、幅值分析、频谱分析和数字滤波等。析和数字滤波等。0AtX(0)X(1)X(2)X(3)X(4)(1iXNE3.1 3.1 数字信号处理概述数字信号处理概述 2物理信号物理信号对象对象传传感感器器电信号电信号放放大大调调制制电信号电信号A/D转换转
2、换数字信号数字信号计计算算机机显显示示D/A转换转换电信号电信号控制控制物理信号物理信号2 2、测试信号数字化处理的基本步骤、测试信号数字化处理的基本步骤 33 3、数字信号处理的优势、数字信号处理的优势 1)1)用数学计算和计算机显示代替复杂的电路用数学计算和计算机显示代替复杂的电路 和机械结构和机械结构NnnxNtxE022)(1)(42)2)计算机软硬件技术发展的有力推动计算机软硬件技术发展的有力推动a)a)多种多样的工业用计算机。多种多样的工业用计算机。 5b)b)灵活、方便的计算机虚拟仪器开发系统灵活、方便的计算机虚拟仪器开发系统63.2 3.2 模数模数(A/D)(A/D)和数模和
3、数模(D/A) (D/A) 采样采样利用采样脉冲序列，从信号中抽取一系列离散值，利用采样脉冲序列，从信号中抽取一系列离散值，使之成为采样信号使之成为采样信号x(nTsx(nTs) )的过程。的过程。 编码编码将经过量化的值变为二进制数字的过程。将经过量化的值变为二进制数字的过程。 量化量化把采样信号经过舍入变为只有有限个有效数字的把采样信号经过舍入变为只有有限个有效数字的数，这一过程称为量化。数，这一过程称为量化。1 1、A/DA/D转换转换 74 4位位A/D: XXXXA/D: XXXXX(1) 0101X(2) 0011X(3) 000082) A/D2) A/D转换器的技术指标转换器的
4、技术指标 (1) (1) 分辨率分辨率; ; 用输出二进制数码的位数表示。位数越多，用输出二进制数码的位数表示。位数越多，量化误差越小，分辨力越高。常用有量化误差越小，分辨力越高。常用有8 8位、位、1010位、位、1212位、位、1616位等。位等。9(3) (3) 模拟信号的输入范围模拟信号的输入范围; ; 如，如，5V5V， +/-5V+/-5V，10V10V，+/-10V+/-10V等。等。 (2) (2) 转换速度转换速度; ; 指完成一次转换所用的时间，如指完成一次转换所用的时间，如:1ms(1KHz):1ms(1KHz)； 10us(100kHz) 10us(100kHz) 10
5、2 2、D/AD/A转换过程和原理转换过程和原理 D/A D/A转换器是把数字信号转换为电压或电流转换器是把数字信号转换为电压或电流信号的装置。信号的装置。 D/AD/A转换器的技术指标转换器的技术指标 分辨率分辨率; ; 转换速度转换速度; ; 模拟信号的输出范围模拟信号的输出范围; ;113.3 3.3 采样定理采样定理 采样是将采样脉冲序列采样是将采样脉冲序列p(t)p(t)与信号与信号x(t)x(t)相相乘，取离散点乘，取离散点x(ntx(nt) )的值的过程。的值的过程。12X(0), X(1), X(2), , X(n) 13每周期应该有多少采样点每周期应该有多少采样点 ？最少最少
6、2 2点点: :1415频域解释频域解释 0t0f0t0ft00f16采样定理采样定理 为保证采样后信号能真实地保留原始模拟信为保证采样后信号能真实地保留原始模拟信号信息，信号采样频率必须至少为原信号中最高号信息，信号采样频率必须至少为原信号中最高频率成分的频率成分的2 2倍。这是采样的基本法则，称为采倍。这是采样的基本法则，称为采样定理。样定理。Fs 2 Fmax 17 需注意，满足采样定理，只保证不发生频率需注意，满足采样定理，只保证不发生频率混叠，而不能保证此时的采样信号能真实地反映混叠，而不能保证此时的采样信号能真实地反映原信号原信号x(t)x(t)。工程实际中采样频率通常大于信号。工
7、程实际中采样频率通常大于信号中最高频率成分的中最高频率成分的3 3到到5 5倍。倍。18频混计算：频混计算： FsFsFsFs频混频混Fs/2工程处理：工程处理：混迭频率混迭频率=Fs-=Fs-信号频率信号频率19A/DA/D采样前的抗混迭滤波：采样前的抗混迭滤波： 物理信号物理信号对象对象传传感感器器电信号电信号放放大大调调制制电信号电信号A/D转换转换数字信号数字信号展开展开低通滤波低通滤波(0-Fs/2)(0-Fs/2)放大放大203.4 3.4 信号的截断、能量泄漏信号的截断、能量泄漏 为便于数学处理，对截断信号做周期延拓，得为便于数学处理，对截断信号做周期延拓，得到虚拟的无限长信号。
8、到虚拟的无限长信号。 用计算机进行测试信号处理时，不可能对无用计算机进行测试信号处理时，不可能对无限长的信号进行测量和运算，而是取其有限的时限长的信号进行测量和运算，而是取其有限的时间片段进行分析，这个过程称信号截断。间片段进行分析，这个过程称信号截断。 21 周期延拓后的信号与真实信号是不同的，下周期延拓后的信号与真实信号是不同的，下面我们就从数学的角度来看这种处理带来的误差面我们就从数学的角度来看这种处理带来的误差情况。情况。 设有余弦信号设有余弦信号x(t), x(t), 用矩形窗函数用矩形窗函数w(t)w(t)与其相乘，得到与其相乘，得到截断信号截断信号: y: y(t) =x(t)w
9、(t) (t) =x(t)w(t) 将截断信号谱将截断信号谱 X XT T()()与原始信号谱与原始信号谱X()X()相相比较可知，它已不是原比较可知，它已不是原来的两条谱线，而是两来的两条谱线，而是两段振荡的连续谱段振荡的连续谱. . 原来原来集中在集中在f0f0处的能量被分处的能量被分散到两个较宽的频带中散到两个较宽的频带中去了，这种现象称之为去了，这种现象称之为频谱能量泄漏频谱能量泄漏。22周期延拓信号与真实信号是不同的：周期延拓信号与真实信号是不同的：能量泄漏误差能量泄漏误差23克服方法之一：信号整周期截断克服方法之一：信号整周期截断243.5 DFT3.5 DFT与与FFT FFT
10、251 1、离散傅立叶变换、离散傅立叶变换 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform）一词是为适应计算机作傅里叶变换运算而引出的一词是为适应计算机作傅里叶变换运算而引出的一个专用名词。一个专用名词。 x(t)截断、周期延拓截断、周期延拓xT(t)周期信号周期信号x xT T(t(t) )的傅里叶变换：的傅里叶变换：26 对周期信号对周期信号x xT T(t(t) )采样，得离散序列采样，得离散序列xT(n), ,将将积分转为集合：积分转为集合：展开，得连续傅立叶变换计算公式：展开，得连续傅立叶变换计算公式： 用计算机编程很容易计算出指定频率点值：用计
11、算机编程很容易计算出指定频率点值： 27f=？ /计算的频率点计算的频率点Fs=?N=1024dt=1.0/Fspi=3.1415926 XR=0XI=0 For n=0 To N-1 XR=XR+x(n)*cos(2*pi*f*n*dt)*dt XI=XI+x(n)*sin(2*pi*f*n*dt)*dtNextA=sqr(XR*XR+XI*XI) Q=atn(XI/XR)VBScript 样例样例28 采样信号频谱是一个连续频谱，不可能计算采样信号频谱是一个连续频谱，不可能计算出所有频率点值，设频率取样间隔为：出所有频率点值，设频率取样间隔为：f = fs / N 频率取样点为频率取样点为
12、0,f,2f,3f,.0,f,2f,3f,.，有：，有： 该公式就是离散傅立叶计算公式该公式就是离散傅立叶计算公式(DFT)(DFT)293031322 2、快速傅立叶变换、快速傅立叶变换 (FFT) 333435363738这里相位因子WkN = e-j2nk/N有三个重要性质：（1）周期性Wk+mNN= WkN；（2）对称性Wk+N/2N=- WkN；（3）换底公式： WmNN= WkN/m。正是利用这些性质，可以避免DFT计算式中很多不必要的重复计算，减少计算量，加快DFT的运算速度。394041 从上图可见，变换后的输出序列X（k）按正序排列，但在输入序列X（n）的排列次序不是原来的自
13、然顺序，而是变成了0，4，2，6，1，5，3，7。这是由于对原序列作了三次奇偶分解后得到的，如下图所示。掌握这一规律可对N为2的任意次幂的序列均能作出正确的抽取顺序。7243516（0，4）（2，6）（1，5）（3，7）（0，2，4，6）（1，3，5，7）数据整序方法（奇偶分解整序）0423.6 3.6 栅栏效应与窗函数栅栏效应与窗函数 1 1、栅栏效应、栅栏效应 为提高效率为提高效率, ,通常采用通常采用FFTFFT算法计算信号频谱，算法计算信号频谱，设数据点数为设数据点数为N，采样频率为，采样频率为Fs。则计算得到的。则计算得到的离散频率点为离散频率点为: : Xs(Fi) ， Fi =
14、i *Fs / N , i = 0，1，2，.，N/2 X(f)f0f 如果信号中的频如果信号中的频率分量与频率取样点率分量与频率取样点不重合，则只能按四不重合，则只能按四舍五入的原则，取相舍五入的原则，取相邻的频率取样点谱线邻的频率取样点谱线值代替。值代替。 43 可见在进行DFT的过程中，最后需对信号的频谱作采样，经过这种采样所能显示出来的频谱仅在各采样点上，而不在此类点上的频谱一律显示不出来，即使在其它点上有重要的峰值也会被忽略，这就是栅栏效应。442 2 能量泄漏与栅栏效应的关系能量泄漏与栅栏效应的关系 频谱的离散取样造成了栅栏效应，谱峰越频谱的离散取样造成了栅栏效应，谱峰越尖锐，产生
15、误差的可能性就越大。尖锐，产生误差的可能性就越大。 例如，余弦信号的频谱为线谱。当信号频率例如，余弦信号的频谱为线谱。当信号频率与频谱离散取样点不等时，栅栏效应的误差为无与频谱离散取样点不等时，栅栏效应的误差为无穷大。穷大。45 实际应用中，由于信号截断的原因，产生了实际应用中，由于信号截断的原因，产生了能量泄漏，即使信号频率与频谱离散取样点不相能量泄漏，即使信号频率与频谱离散取样点不相等，也能得到该频率分量的一个近似值。等，也能得到该频率分量的一个近似值。 从这个意义上说，能量泄漏误差不完全是有从这个意义上说，能量泄漏误差不完全是有害的。如果没有信号截断产生的能量泄漏，频谱害的。如果没有信号
16、截断产生的能量泄漏，频谱离散取样造成的栅栏效应误差将是不能接受的。离散取样造成的栅栏效应误差将是不能接受的。 46 能量泄漏分主瓣泄漏和旁瓣泄漏，主瓣泄能量泄漏分主瓣泄漏和旁瓣泄漏，主瓣泄漏可以减小因栅栏效应带来的谱峰幅值估计误差，漏可以减小因栅栏效应带来的谱峰幅值估计误差，有其好的一面，而旁瓣泄漏则是完全有害的。有其好的一面，而旁瓣泄漏则是完全有害的。473 3 常用的窗函数常用的窗函数 1 1）矩形窗）矩形窗 482 2）三角窗）三角窗 493 3）汉宁窗）汉宁窗50常用窗函数常用窗函数513.7 数字信号分析处理中存在的问题 及解决方法 1）量化误差 时间离散、幅值离散。量化误差的最大值
17、为数字编码最后位所代表值的一半。 途径：加大量化编码的位数。十二位、十六位。 2）混叠 措施： 提高采样频率， 降低信号的最高频率fmax。抗混叠滤波。 523）泄漏 措施： 增加截断长度。 采用不同的窗函数。目的使主瓣突出，二是使旁瓣尽快衰减。但实际上两者往往不可兼的得。 4）栅栏效应 措施： 整周期截取; 采用不同的窗函数。53图示周期信号作整周期截取的DFT54图示 周期函数作非周期截取的DFT55通过加窗控制能量泄漏，减小栅栏效应误差：通过加窗控制能量泄漏，减小栅栏效应误差：加矩形窗加矩形窗加汉宁窗加汉宁窗56说明： 对x（t）采一段样，相当于用一矩形窗去截取原信号，在矩形窗外的信号值
18、都假设为零，在矩形窗内同原信号。然后在作离散付里叶变换时，又相当于强迫原信号成为窗长度为周期的周期信号。当原信号不是周期信号，或者虽是周期信号，但截取长度不等于整周期时，就歪曲了原信号，如 图所示的正弦波（图中（a）当非整周期截断时，等价的周期函数将不再是正弦波（图中（b），这就改变了信号的频率结构。 又如图正弦波整周期截断时，其频谱图上有一根谱线，但若是非整周期截断，就出现了原来频率以外的许多频率成分，即出现了频率泄漏现象。为了克服这种现象因而采用了各种不同的窗函数。5758小结：小结：信号截断信号截断能量泄漏能量泄漏FFTFFT栅栏效应栅栏效应从克服栅栏效应误差角度看，能量泄漏是有利的。从
19、克服栅栏效应误差角度看，能量泄漏是有利的。593.8 3.8 时域统计量的离散运算及平均时域统计量的离散运算及平均 采样后的信号是离散的，积分相应地要变为求和运算，所以上面的各运算公式均要按求和来运算。这里就不在赘述了。 由于数据处理设备的限制，采样后的数据点数N不可能非常大，常用的点数一般为1024、2048、4096等，只按一个样本的结果来分析信号，尤其对于平稳随机过程会产生较大的估计误差。解决的办法是，根据数据处理设备的特点，可每次采样 N点，进行处理并保存中间结果，再采样 N点，进行处理与前次中间结果平均，就能减少估计误差。这种方法称为集合平均的方法，它是算术平均的一种推广。6061式
20、中M为任意正整数，当nM时，可以证明前次的中间结果对当前平均值的影响随平均次数n的增加而减弱，M越大则减弱越慢。指数平均适合渐变的非平稳信号，如用于计算均值、均方值或方差等，可观察到其随时间渐变的过程。62另一种不同的平均方式称为时域同期平均，这种方式需要与有用信号同步的触发信号，例如需要分析齿轮的啮合频率信号，可在齿轮轴上设置光码盘，利用光码盘的信号启动采样，此时采到的有用信号相位可保持完全一致，对时间信号直接进行平均，就可消除那些相位与触发信号不同步的随机信号，平均后再求功率谱密度函数，可以提高信噪比。633.9 Zoom-FFT 信号分析和故障诊断中经常会遇到信号中有频率很密集的谐波成分
21、，用普通的谱分析方法就很难加以辩别。例如在10kHz范围内作1024点FFT，频率分辩率只有25Hz，即相邻两根谱线的间距为25Hz，如果有相邻5Hz的谐波成分就不能分辨它们了，为此要求有高分辨率的谱分析方法。照相技术中用局部放大的办法，或用变焦距镜头来观察景物的细部以提高分辨率。“频率细化”的英文名词Zoom就是从照相技术中借用过来的，其原意为变焦距。6465 从理论上讲，提高频率分辨率只有增加信号的采样长度T，如果要提高10倍分辨率就要采集10倍长的信号来作离散付里叶变换。但这样计算时间就要为原来的100倍（对 DFT方法，计算量与 N2成正比）或33.2倍(对FFT，计算量与NLog2N
22、成正比），而且对信号分析仪来讲还要受到计算FFT点数的限制，一般固定为512、1024或明或2048点。66 细化分析方法很多，这里以应用较为广泛的复调制细化方法为例说明其原理和步骤。 一般的FFT分析是一种基带的分析方法，在整个分析带宽内，频率是等分频率的，即6768假设原频率分析范围为fmax采样点数为N，采样频率fS2.56 fmax ，则频率分辨率f2.56 fmax N。现若要在f1- f2区间将频率分辨率提高M倍（Zoom Factor）， f2 - f1 fmaxM，则采样长度应为MN点。其分析步骤为：69 （1）以采样频率fS采集MN点，得离散数据Xt ，t0，1，2，MN1。
23、 （2）将信号序列Xt乘以单位旋转矢量e-j2f1t得到新的序列yt ，按傅氏变换的调制性质，相当对原信号进行频移，即将f1移到频率坐标的原点。 （3）用截止频率为f2- f1的数字低通滤波器对 yt进行数字滤波，得到Zt ，t0，1，2，MN-1。 （4）对Zt每隔M个抽选一个，组成Wt ，即Wt= ZMt，t0，1，2，N-1。 （5）对Wt进行N点FFT就得到了细化的频谱。即在f2- f1范围内的分辨率为f = f M。70 复调制法频率细化过程可用下图所示的框图表示，如果要改变分析范围f2- f1，则要重新按上述过程进行。目前信号分析仪可具有10400倍的频率细化能力。71Zoom-F
24、FT原理图72图中可以看出，在输出轴齿轮Z3、Z4的啮合频率处调制出以输出轴的旋转频率n*13.17HZ为间隔的一组边频带。 功率谱细化图(细化中心频率为Z3、Z4的啮合频率368HZ)7374为了改善谱分析的性能，扩大信号处理应用的范围而发展了一种适于短数据序列的分析处理方法，即时序分析方法。与 FFT谱分析相对应，时序谱分析方法称为现代谱分析方法。 1、时间序列与时间序列分析 所谓时间序列，是指按时间先后顺序排列的一组数据，在“时序分析”这一学科的研究范围内，时间序列则是广义地指一切有序的随机数据，包括时间上的先后有序和空间上的前后有序。75时间序列分析简称时序分析，它把依某一规律变化的信
25、号（数据）看成是依时间变化而变化的先后有序的数据，在一定的假设前提下，依据某一准则建立起数学模型，以此对原时间序列或对产生这一时间序列的系统进行分析辨识。时间序列分析方法从1927年产生至今，已在诸多工程技术领域获得了极为广泛的应用，已成为动态数据处理的一种极为重要的数学工具。将时间序列分析用于机械设备的故障诊断则是近十多年的事情，通过对有关数学模型的时域特性和频域特性分析，可识别机械设备所处的工况，但其更主要的应用则是对机械设备的剩余寿命或其未来发展趋势的预测。76772、 时间序列分析的数学模型2.1模型结构 时间序列分析中两类最基本的数学模型是ARMA模型和AR模型。（随机差分方程）78
26、 公式的含意是在时刻t的输出xt是此系统前n-1 个输出xt-1，xt-2，-，xt-n和由t到t-m时刻中的m个互相独立的白噪声输入的线性和。因此上式可改写为以下形式： xt=1xt-1+-+ nxt-n+ at+ 1at-1 +-+ mat-m 79综上，可将at 记为at NID（0，a2），意为均值为零，方差等于a2802.2模型定阶 建模的关键是把模型的阶数和参数全部估计出来，其过程是根据xt （t = l，2，N）和一定的准则，选择 n和 m，估计参数i和 j。很明显，如果阶数不同，参数的个数和数值也就不同。 对于合适的阶数和模型参数，模型残差序列应为白噪声。当模型阶数低于实际阶数
27、时，由于数据的动态结构尚未充分反映到模型中，一般残差2a较大。随着阶数的上升，逐步接近实际模型，2a值将下降。81 但是，若阶数过高，由于参数估计的误差增大，又会使2a值上升。一般用定阶准则来确定其阶数。 2.3模型的特性 自功率谱密度函数是时序模型的重要特性之一。它与信号的 FFT分析处理得到的自功率谱密度函数所不同的是，它不是由观察数据直接算出，而是通过模型参数估计得到的。时序法中的自功率谱密度函数，无加窗的影响，它的频率分辩率在数据较短时比传统的付里叶谱要高。82（利用Z变换与傅里叶变换关系ARMA模型导出自功率谱密度函数）但ARMA（n，m）在应用中主要困难是在参数估计时，观测值xt可
28、通过检测读出，而残差at-j则需要递推计算求出，因此参数估计时间长，往往不能满足在线建模的要求。另外，它们的好坏取决于模型的阶数是否正确和模型参数估计的精度。由此可见，ARMA 模型实质上是一种利用“历史资料”（即t时刻以前的数据）来分析现 在（t时刻的数据）并进一步预测未来的数学模型。从故障诊断的观点看，这种模型的优越性表现在：831）ARMA模型是一种动态模型，它不限于对序列中的N个数据是适用的，而有自动无限外延的特性y(k),y(k-j),x(k),x(k-j)的k，j为时间的流动坐标。因此进行频域功率分析时，就克服了传统方法由于加窗而带来的一系列缺点如谱线泄漏和分辨率降低等。此外，这种
29、方法也不必追求大样本数据，短样本数据参数估计照样能获得较好效果。2）ARMA模型能将数据中所含的信息集中凝聚在为数甚少的几个模型参数中（包括a0, a1,-, am，,b0, b1, -, bn，及a等n+m+2个参数）。在进行诊断时，便于充分利用其中的信息。8485时序谱如果能正确地建模及模型定阶准确，则比传统的傅立叶谱有明显的优点。如图（a）表示由三个正弦波（三根离散的谱线）和有色噪声（即有限带宽噪声）所组成的过程的真实功率谱。图（b）表示64个采样点经FFT求得的功率谱，可以看到三个正弦分量很难辨认，图（c）表示由64个采样点用最小二乘法建立AR（16）模型得到的自回归谱，可见三个正弦分量清晰可辨，高频段的形状接近于真实功率谱。86自回归谱与傅立叶谱比较878889诊断结论：对抖晃影响最大的是张紧轮部件，其次是飞轮部件，然后是电动机轮及压带轮，最后是带传动。
