1、上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回1第七章第七章 参数估计参数估计 7.3 正态总体参数的区间估计正态总体参数的区间估计上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回2N(0, 1)求参数求参数的置信度为的置信度为1- -的置信区间的置信区间. . 二、置信区间的求法二、置信区间的求法解：解： 寻找一个待估参数和寻找一个待估参数和估计量的函数估计量的函数 ，要求，要求其分布为已知其分布为已知. .有了分布，就可以求出有了分布，就可以求出U取值于任意区间的概率取值于任意
2、区间的概率. .例例1 设设X1,Xn是取自是取自 的样本，的样本， 2,已已知知 2( ,)N 选选的点估计为的点估计为XXUn 取取 明确问题明确问题, ,是求什么参数的置信区间是求什么参数的置信区间? ?置信水平是多少？置信水平是多少？ 寻找未知参数的寻找未知参数的一个良好估计一个良好估计. .上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回3,1 对给定的置信水平对给定的置信水平查正态分布表得查正态分布表得,2 u对于给定的置信水平对于给定的置信水平( (大概率大概率),),根据根据U的分布，的分布，确定一个区间确定一个区间, ,
3、 使得使得U取值于该区间的概率为取值于该区间的概率为置信水平置信水平. . 1|2unXP使使为什么为什么这样取？这样取？上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回4,1 对给定的置信水平对给定的置信水平查正态分布表得查正态分布表得,2 u 122unXunXP 1|2unXP使使从中解得从中解得上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回5,22 unXunX也可简记为也可简记为2 unX 122unXunXP于是所求于是所求 的的 置信区间为置信区间为 上一页上一页下一
4、页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回6从例从例1解题的过程，我们归纳出求置信区间的解题的过程，我们归纳出求置信区间的一般步骤如下一般步骤如下:1. 明确问题明确问题, 是求什么参数的置信区间是求什么参数的置信区间? 置信水平置信水平 1- -是多少是多少?2. 寻找参数寻找参数的一个良好的点估计的一个良好的点估计3. 寻找一个待估参数寻找一个待估参数和估计量和估计量T的样本函数的样本函数 S(T, ),且其分布为已知且其分布为已知. T (X1,X2,Xn)上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目
5、录结束结束返回返回74. 对于给定的置信水平对于给定的置信水平1-1-，根据根据S(T, )的分布，的分布， 确定常数确定常数a, b，使得使得 1P(a S(T, )b)= 5. 对对“aS(T, )b”作等价变形作等价变形,得到如下形式得到如下形式:121P则则 就是就是的的100(1- -)的置信区间的置信区间. 12, 上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回8 可见，确定区间估计很关键的是可见，确定区间估计很关键的是要寻找一个待估参数要寻找一个待估参数和和估计量估计量T 的样本函数的样本函数S(T, ), 且且S(T,
6、)的分布为已知的分布为已知, ,不依赖于任何未知参数不依赖于任何未知参数( (这样我们才能确定一个大概率区间这样我们才能确定一个大概率区间).).而这与总体分布有关而这与总体分布有关, , 所以所以至关重要是至关重要是总体分布的形式是否已知，是怎样的类型。总体分布的形式是否已知，是怎样的类型。上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回9 这里，我们主要讨论总体分布为这里，我们主要讨论总体分布为正态正态的情的情形形. . 若样本容量很大，即使总体分布未知，应若样本容量很大，即使总体分布未知，应用中心极限定理，可得总体的近似分布，于是用
7、中心极限定理，可得总体的近似分布，于是也可以近似求得参数的区间估计也可以近似求得参数的区间估计. .上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回10教材上讨论了以下几种情形：教材上讨论了以下几种情形：单个正态总体均值单个正态总体均值 和方差和方差 的区间估计的区间估计. . 2 两个正态总体均值差两个正态总体均值差下面我们举几个例子下面我们举几个例子和方差比和方差比2212/的区间估计的区间估计.12 上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回11(1)、正态总体、正态总体
8、XN(,2)，方差，方差2已知：已知：给定给定,可查表得可查表得u/2，使，使P(|U|u/2)=1- -(0,1)/XUNn /2(|)1,XPnu /2|,Xnu 一、单个正态总体参数的区间估计一、单个正态总体参数的区间估计1、正态总体、正态总体均值均值的区间估计的区间估计上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回12/2|,Xnu /2/2,Xunu /2/2uXunn /2/2(,)XuXunn置信区间为：置信区间为：上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回例例
9、2 已知幼儿身高服从正态分布，现从已知幼儿身高服从正态分布，现从56岁的幼岁的幼儿中随机地抽查了儿中随机地抽查了9人，其高度分别为：人，其高度分别为： 115, 120, 131, 115, 109, 115, 115, 105, 110cm;；试试求求总总体体均均值值，置置信信度度为为假假设设标标准准差差%9570 的的置置信信区区间间。 07,9,0.05.n已已知知可可得得.1159/ )110120115( x得得置置信信区区间间查查正正态态分分布布表表得得临临界界值值,96. 12/ u(1151.96 7/9 ,1151.96 7/9)解解 (110.43 ,119.57). 13
10、上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回14不能用不能用“(1)”中的方法中的方法，但，但(2) 、正态总体、正态总体XN(,2)，方差，方差2未未知：知： (1),XTnt nS 可可查查自自由由度度/21,ntt 的的 分分布布表表得得为为/2(|)1,P Tt /2|,XntS 上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回15/2|,XntS /2/2 ,XtntS 即即Sn同同乘乘以以得得：/2/2SStXtnn /2/2(,)SSxtxtnn置信区间为：置信区间
11、为：上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回解解 经计算得经计算得 04. 0,15.122 sx, 8 n查表可得查表可得 4995. 3)7()1(005. 02/ tnt 从而从而90.114995. 0804. 015.12)1(2/ ntnsx 40.124995. 0804. 015.12)1(2/ ntnsx 所以所以的置信度为的置信度为0.99置信区间是置信区间是 40.12,90.11例例3 设有一批配料粉，每袋净重设有一批配料粉，每袋净重X(单位：克单位：克)服从正服从正态分布态分布.从中任取袋，测得净重分别为
12、：从中任取袋，测得净重分别为：13.1,11.9,12.4,12.3,11.9,12.1,12.4,12.1. 试求试求的置信度为的置信度为0.99的置信区间的置信区间.16上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回例例4 用仪器测量温度，重复测量用仪器测量温度，重复测量7次，次， 测得温度测得温度分别为分别为: 115,120,131,115,109,115,115 C; 设温度设温度.,%95),(2值值所所在在范范围围试试求求温温度度的的真真时时在在置置信信度度为为 NX.是测量值是测量值是温度的真值，是温度的真值，设设x 由
13、样本值算得：由样本值算得：已知已知.05. 0, 7 n48.47, 1 .1172 Sx故故置置信信区区间间为为得得临临界界值值查查,447. 2)6(025. 0t(117.12.447 47.48/ 7,117.12.447 47.48/ 7)解解 (110.73,123.47). 17上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回182(1) 、正态总体、正态总体XN(,2)，均值均值已知：已知： 222211( ),niiXn 可可查查自自由由度度2n 的的分分布布表表使使得得为为2()1,P ab2ab 2211,niiaX
14、b 上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回19 22211nniiiiXXba 2ab 2211,niiaXb 2211,.nniiiiXXba置信区间为：置信区间为：上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回20)(22n )(221n )(xfx)(2nX 22122( )( )anbn ， 2211,nniiiiXXba特别取：特别取：上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回21(2)、正态总体正态
15、总体XN(,2)，均值均值未未知：知：2222(1)(1),nSn 可可查查自自由由度度21n 的的分分布布表表使使得得为为2()1,P ab2ab 22(1),nSab 上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回22222222(1),(1)(1)nSababnSnSba 置信区间为：置信区间为：22(1)(1)(,)nSnSba21222(1)(1)anbn ，特别取：特别取：)(xfx2(1)Xn 212(1)n 22(1)n 上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回
16、返回解解 由题意得由题意得 1 . 0, 9 . 01, 5 n查表得查表得 ,4877. 9)4()4(205. 022/ 7107. 0)4()4(295. 022/1 算得算得 038. 04877. 909. 04)1()1()1(22/222/12 nsnnXXnii 506. 07107. 009. 04)1()1()1(22/1222/112 nsnnXXnii 所求置信区间为所求置信区间为 (0.038,0.506)上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回例例6 设某机床加工的零件长度设某机床加工的零件长度，),(
17、2NX今抽查今抽查16个零件，测得长度（单位：个零件，测得长度（单位：mm）如下：）如下：12.15, 12.12, 12.01, 12.08, 12.09, 12.16, 12.03, 12.01, 12.06, 12.13, 12.07, 12.11, 12.08, 12.01, 12.03, 12.06,在置信度为在置信度为95%时，试求总体方差时，试求总体方差 的置信区间的置信区间.2由样本值算得：由样本值算得：已知已知.05. 0,16 n.00244. 02 S区间：区间：由此得置信由此得置信查表得查表得. 5 .27)15(;26. 6)15(2025. 02975. 0 15
18、0.00244/ 27.5,15 0.00244/ 6.26解解 0.0013,0.0058 . 上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回25例例7 已知某地区新生婴儿的体重已知某地区新生婴儿的体重X随机抽查随机抽查100个婴儿个婴儿得得100个体重数据个体重数据X1, ,X2, ,X100 的区间估计的区间估计2 求求和和（置信水平为置信水平为1- -）.2( ,),N 2,未未知知 上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回26解解：这是单个正态总体均值和方差的估计
19、：这是单个正态总体均值和方差的估计先求均值先求均值的区间估计的区间估计. . 因方差未知，取样本函数因方差未知，取样本函数对给定的置信度对给定的置信度1- -, ,确定分位数确定分位数使使即即已知已知22( ,), ,XN未未知知 (1)tXnt nS 2(1),tn 2| |(1)1Pttn 2|(1)1XPtnSn 上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回27即为均值即为均值的置信水平为的置信水平为1-1-的区间估计的区间估计. .从中解得从中解得22(1)(1)1SSP XtnXtnnn22(1),(1)SSXtnXtnnn
20、2|(1)1XPtnSn 上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回28取枢轴量取枢轴量从中解得从中解得对给定的置信度对给定的置信度1- -, ,确定分位数确定分位数使使再求方差再求方差2的置信水平为的置信水平为1-1-的区间估计的区间估计. .222(1)(1)nSn 212(1) ,n 22(1) ,n 2212222(1)()(11)1nSnnP 22222122(1)(1)(1)(1)1nSnSnPn 上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回29于是于是2222
21、2122(1)(1)(1)(1)1nSnSnPn 即为所求即为所求. .2222212(1)(1),(1)(1)nSnSnn 上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回30需要指出的是，给定样本，给定置信水平，需要指出的是，给定样本，给定置信水平，置信区间也置信区间也不是唯一不是唯一的的. .对同一个参数，我们可以构造许多置信区间对同一个参数，我们可以构造许多置信区间. .上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回31N(0, 1)取枢轴量取枢轴量由标准正态分布表，对任意
22、由标准正态分布表，对任意a、b，我们可以求得我们可以求得例如，设例如，设X1,Xn是取自是取自 的样本，的样本，求均值求均值的置信水平为的置信水平为1-1-的置信区间的置信区间. .2( ,)N 2,已已知知 UXn P( aUb) .上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回32N(0, 1)nXU 例如，由例如，由P(- -1.96U1.96)=0.95)(ufu96. 196. 195. 0可得均值可得均值的置信水平为的置信水平为1-1-的置信区间为的置信区间为1.96,1.96Xn Xn上一页上一页下一页下一页概率论与数理统
23、计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回33由由 P(- -1.75U2.33)=0.95这个区间比前面一个要长一些这个区间比前面一个要长一些. .)(ufu33. 275. 11.75,2.33Xn Xn可得均值可得均值的置信水平为的置信水平为1-1-的置信区间为的置信区间为上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回34我们总是希望置信区间我们总是希望置信区间尽可能短尽可能短. .类似地，我们可得到若干个不同的置信区间类似地，我们可得到若干个不同的置信区间. . 任意两个数任意两个数a和和b，只要它们的纵
24、标包含，只要它们的纵标包含f(u)下下95%的面积，就确定一个的面积，就确定一个95%的置信区间的置信区间. .0buuu)(ufaaabb950.950.950.上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回35在概率密度为单峰且对称的情形，当在概率密度为单峰且对称的情形，当a =- -b时求得的时求得的置信区间的长度为最短置信区间的长度为最短. .a =- -b0buuu)(ufaaabb950.950.950.上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回36即使在概率密度
25、不对称的情形，如即使在概率密度不对称的情形，如2分布，分布，F分布，分布，习惯上仍取习惯上仍取对称的百分位点来计算未知参数的置信区间对称的百分位点来计算未知参数的置信区间. .)(22n )(221n )(xfx)(2nX 上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回37也就是说，要想得到的区间估计可靠度高，也就是说，要想得到的区间估计可靠度高，区间长度就长，估计的精度就差区间长度就长，估计的精度就差. .这是一对矛盾这是一对矛盾. .实用中应在保证足够可靠的前提下，实用中应在保证足够可靠的前提下，尽量使得区间的长度短一些尽量使得区间
26、的长度短一些 . .我们可以得到我们可以得到未知参数的的任何置信水平小于未知参数的的任何置信水平小于1的置信区间，的置信区间，并且并且置信水平越高，相应的置信区间平均长度越长置信水平越高，相应的置信区间平均长度越长. .上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回38二、两个正态总体均值之差与方差比的区间估计二、两个正态总体均值之差与方差比的区间估计1221(0,1)XYUNnm 2 22 2()-（()-（）12 置置信信区区间间为为：2211221212,.XYuXYunnnn222222221、两个正态总体均值差的区间估计两个正
27、态总体均值差的区间估计212 22 2和和已已知知(1)、两个正态总体两个正态总体上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回解解 已知已知 /20.0258,101.96nmuu 求得求得 140.5,x 139.9,y 2212/22.452.251.961.42858.810unm 0.6.xy(-0.8286,2.029)(Ah)故故12 的置信度的置信度0.95的置信区间为的置信区间为 上一页上一页下一页下一页概率论与数理
28、统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回412212但但已已知知12(2)11wXYTt nmSnm ()-（()-（）22212(1)(1)2wnSmSSnm 12 可可得得的的置置信信区区间间为为：(2)、两个正态总体两个正态总体，方差未知，方差未知，上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回42211(2),wXYtnmSnm 211(2)wXYtnmSnm 12 可可得得的的置置信信区区间间为为：上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返
29、回上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回22120.025792.36,0.05,(16)2.119916wssst 解解 已知已知 8,10nm 求得求得 21140.5,6.57xs22139.9,4.77ys (-1.77, 2.97)(Ah)故故12 的置信度的置信度0.95的置信区间为的置信区间为 上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回4522221212SSF来来自自独独立立的的两两个个正正态态分分布布总总体体的的总总体体方方差差，和和样样本本方方差差
30、和和，可可构构造造服服从从 分分布布的的统统计计量量为为： 2122221122221222(1)/(1)1,1(1)/(1)nSnSYF nmmSSm 2、两个正态总体方差比的区间估计、两个正态总体方差比的区间估计上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回461-22(1,1)(1,1)1P FnmYFnm 所所以以：2221221-1222(1,1)(1,1)SP FnmFnmS 2221112222221-2211(1,1)(1,1)SSPS FnmS Fnm 1 上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数
31、理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回472212所所以以两两正正态态总总体体方方差差比比的的置置信信区区间间为为：221122221-2211,.(1,1)(1,1)SSS FnmS Fnm2 (1,1)F nm1-2(1,1)Fnm 2(1,1)Fnm 1 上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回解解 已知已知 8,10nm 求得求得 21140.5,6.57xs22139.9,4.77ys 查表得查表得 0.025(7,9)4.20,F 0.9750.02511(7,9)0.21.(9,7)4.82FF 计算得计算得(0.33,6.56).上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回50同学们可通过练习，同学们可通过练习，这一节，我们介绍了区间估计这一节，我们介绍了区间估计. .掌握各种求未知参数的掌握各种求未知参数的 置信区间的具体方法置信区间的具体方法. .
