1、9 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算结构力学电子教程结构力学电子教程9.1 位移计算概述位移计算概述9.2 虚功和虚功原理虚功和虚功原理 9.3 单位荷载法计算位移和位移计算的一般公式单位荷载法计算位移和位移计算的一般公式9.4 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算 9.5 图乘法图乘法9.6 温度变化时的位移计算温度变化时的位移计算9.7 支座移动时的位移计算支座移动时的位移计算9.8 线性变形体系的互等定理线性变形体系的互等定理 *9.9 空间刚架的位移计算公式空间刚架的位移计算公式 9 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算（7 课时）9 虚功原理和结构的位
2、移计算虚功原理和结构的位移计算结构力学电子教程结构力学电子教程 本章小结本章小结 本章主要讨论应用虚功原理计算静定结构的位移。位移计算本章主要讨论应用虚功原理计算静定结构的位移。位移计算一方面是计算结构位移的需要，另一方面又为超静定结构的内一方面是计算结构位移的需要，另一方面又为超静定结构的内力计算做准备。力计算做准备。 （1）虚功原理是力学中的基本原理。虚功和虚功方程的特点）虚功原理是力学中的基本原理。虚功和虚功方程的特点是力系与位移无关。所以，在有一组给定的力系时，可以虚设是力系与位移无关。所以，在有一组给定的力系时，可以虚设一位移状态，求未知的约束力；在有一组给定的变形时，可以一位移状态
3、，求未知的约束力；在有一组给定的变形时，可以虚设一力系状态，求未知的位移。虚设一力系状态，求未知的位移。 （2）位移计算的方法是单位荷载法。单位荷载法计算位移的）位移计算的方法是单位荷载法。单位荷载法计算位移的基本公式是基本公式是 （3）荷载作用下的位移计算。对弹性材料，应变表达式为）荷载作用下的位移计算。对弹性材料，应变表达式为位移计算公式位移计算公式0( ddd )()dkKkkkNQMR cNQMsR cKP0PPP()d()dkkNQMsR cNNQQMMksEAGAEIEIMGAQkEANPPP 09 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算结构力学电子教程结构力学电子教程（
4、这里有两套内力状态（这里有两套内力状态 ：一套是产生实际应变的荷载作用的：一套是产生实际应变的荷载作用的内力，另一套是虚设力系的内力内力，另一套是虚设力系的内力。）。） 各种不同结构有位移计算的简化公式。各种不同结构有位移计算的简化公式。 （4）计算荷载作用下梁和刚架的位移时，可应用图乘法代）计算荷载作用下梁和刚架的位移时，可应用图乘法代替积分计算。注意图乘的分段和叠加的技巧。替积分计算。注意图乘的分段和叠加的技巧。 （5）温度作用引起的位移计算、应变表达式为）温度作用引起的位移计算、应变表达式为温度作用引起的位移计算公式温度作用引起的位移计算公式 （6）支座移动在静定结构引起的位移属于刚体位
5、移，计算）支座移动在静定结构引起的位移属于刚体位移，计算公式为公式为 ；关键是正确计算作功的支座反力；关键是正确计算作功的支座反力。 （7）位移计算中遇到的符号及正负号确定较多，关键是功）位移计算中遇到的符号及正负号确定较多，关键是功的正负号规定，即力与位移的乘积的正负号规定。当力与位的正负号规定，即力与位移的乘积的正负号规定。当力与位移方向一致时，乘积为正，反之为负；图乘法中是移方向一致时，乘积为正，反之为负；图乘法中是A与与yC于杆于杆件同一边时，乘积为正，反之为负。件同一边时，乘积为正，反之为负。htt 000000ddddMNtttMsN tsM stN sAt Ahhh kkcR9
6、虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算结构力学电子教程结构力学电子教程（8）互等定理是另一基本原理。应理解位移互等定理及反力）互等定理是另一基本原理。应理解位移互等定理及反力互等定理在各种不同变形条件下的意义及应用。位移互等定互等定理在各种不同变形条件下的意义及应用。位移互等定理可应用于静定结构和超静定结构；而反力互等定理在超静理可应用于静定结构和超静定结构；而反力互等定理在超静定结构中才有用。定结构中才有用。9 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算结构力学电子教程结构力学电子教程9 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算结构力学电子教程结构力学电子教程 课外作
7、业课外作业 P160 P163第一次第一次 9.9 、9.10第二次第二次 9.21 、9.24第三次第三次 9.22 、 9.25 第四次第四次 9.28 、 9.30 、9.319 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算结构力学电子教程结构力学电子教程9.89.9 求图示桁架结点求图示桁架结点C的竖向位移（弹性模量的竖向位移（弹性模量E2.1108kPa）。）。【解【解】9.8 各杆截面相等，各杆截面相等，A30cm2。2m2m10kNAB5m3m5m3m10kNCC10AB100- -105200- -105PN(kN)1010202012.512.5AB0.50- -0.55
8、10- -0.550.511C1N00CV311431143( 0.5 5)( 10 5 10 ) 8 52.1 1030 101 20 10 162.1 1030 101.22 10 m 1.22mm( )PNNlEA9 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算结构力学电子教程结构力学电子教程9.9 各杆截面面积分别注于杆边，单位为各杆截面面积分别注于杆边，单位为cm2。5m20kNABC(20)(20)(20)(50)(50)(35)(35)5m5m【解【解】CV31144( 0.5 5)( 10 5 10 ) 2.5 52.1 1050 101.33 10 m 0.133mm(
9、)PNNlEAABC01011-0.5-0.551-0.5-0.55N 20ABC1000- -10500- -105PN(kN)9 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算结构力学电子教程结构力学电子教程9.10 求图示桁架结点求图示桁架结点C的水平位移，各杆的水平位移，各杆EA相等。相等。【解【解】CH( 1)()2222(2 2 2)( )PNNlEAP aPaEAPaEA aPABCaDPABCD- -P- -P0 0P20 0PNN1ABCD- -1- -10 020 09 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算结构力学电子教程结构力学电子教程9.21 求求D点的挠
10、度，点的挠度，EI常数。常数。ABl/2l/3Pl/2DCABPl/4PDCPl/63111222 369 312212 66936312122 649363122 246 3231296PDVCd( )()()( )MMxAyEIEIl PllEIl Pllll PllllPl lPlEI 【解【解】AB2l/9DCl/61MPM9 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算结构力学电子教程结构力学电子教程9.22 求求C点的挠度。已知点的挠度。已知P9kN，q15kN/m，梁为，梁为18号工字号工字钢，钢，I1660cm4，h18cm，E2.1108kPa。CABP0.9m1.5m1
11、.5mDq【解【解】CABD8.1(16.875)12.825PM(kNm)CABD10.75M(m)8811251 5 16 875 0 75238113 0 75 8 12211 2611 262 1 101660 103 23 103 23PCVC-3d( )(.).m.mm( )MMxAyEIEIEIEI 9 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算结构力学电子教程结构力学电子教程aDABCq9.24 求图示刚架求图示刚架C点的水平位移。点的水平位移。43/a2I 1I1IDABC1PM2()qa11/21/21DABCaMa【解【解】21411112233PCHCd( )()
12、MMxAyEIEIa qaaEIqaEI 9 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算结构力学电子教程结构力学电子教程9.25 求图示三铰刚架求图示三铰刚架E点的水平位移和截面点的水平位移和截面B的转角，设各的转角，设各杆杆EI常数。常数。aDABCqaaEABC1/21/21/21/211M(a)224111242423213822316PDHC( )()()MMdxAyEIEIqaaaEIqaaaqaEI 1/41/41/41/4DABC1/4(1/8)PM2()qa【解【解】9 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算结构力学电子教程结构力学电子教程22231112422
13、4321138221112431148B()()qaaEIqaaqaaqaEI aDABCqaaE1/41/41/41/4DABC1/4(1/8)PM2()qa1/21/21/21/2DABC12M1E9 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算结构力学电子教程结构力学电子教程9.28 求图示刚架因温度改变引起的求图示刚架因温度改变引起的D点的水平位移。已知各点的水平位移。已知各杆由杆由18号工字钢制成，截面高度号工字钢制成，截面高度h=18cm， 0.00001(1/C)。4mDABC6m20 C20 C20 C10 C0 C 0 C 01012010.00001 (6444)0.1
14、820.1820.00001 15 6 10.0165m1.65cmMNtAt Ah 【解【解】DABC12/32/314(m)M4N2/32/319 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算结构力学电子教程结构力学电子教程9.30 设支座设支座A有给定位移有给定位移 x、 y 、 、试、试求求K点的竖向位点的竖向位移移v、水平位移、水平位移u和转角和转角 。Aa3aaK y x【解【解】AK1AK11a13a133()()yyvRcaa 1()()()xxuRcaa 9 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算结构力学电子教程结构力学电子教程AK111()()Rc 9 虚功原
15、理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算结构力学电子教程结构力学电子教程【解【解】1111/31m110 02m1m0 0130 0033m 0 33cm(.).= .=( )Rc 9.31 静定多跨梁支座移动如图所示，计算静定多跨梁支座移动如图所示，计算D点的竖向位移点的竖向位移 1、水平位移水平位移 2 、转角转角 3。3mABC D3m1m1cm2cm0.01弧度1/3m111/3m4/3210 01m0 01m1cm.=()Rc 3110 02m0 013m30 0033(.).()Rc 弧弧度度9 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算结构力学电子教程结构力学电子教程【解
16、【解】1111/31m110 02m1m0 0130 0033m 0 33cm(.).= .=( )Rc 9.31 静定多跨梁支座移动如图所示，计算静定多跨梁支座移动如图所示，计算D点的竖向位移点的竖向位移 1、水平位移水平位移 2 、转角转角 3。3mABC D3m1m1cm2cm0.01弧度1/3m111/3m4/3210 01m0 01m1cm.=()Rc 3110 02m0 013m30 0033(.).()Rc 弧弧度度1/31/3m9 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算结构力学电子教程结构力学电子教程9.32 三铰刚架支座三铰刚架支座B向右移动向右移动1cm，计算，计
17、算C点的竖向位移点的竖向位移 1、水平位移水平位移 2 和铰和铰C左右两截面的相对左右两截面的相对转角转角 3。12130 67().cm()Rc 3mABC4m4m1cm【解【解】ABC11/22/3ABC13/81/221120 5(). cm()Rc 9 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算结构力学电子教程结构力学电子教程1110 0130 0033(.m)m.rad()CRc 左左右右ABC13m9 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算结构力学电子教程结构力学电子教程图示桁架各杆温度均匀升高图示桁架各杆温度均匀升高 t，材料线膨胀系数为，材料线膨胀系数为 ，试求
18、，试求 C 点的竖向位移。点的竖向位移。aABCaa9 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算结构力学电子教程结构力学电子教程建筑力学建筑力学（第二版）（第二版）张曦张曦 主编主编9 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算结构力学电子教程结构力学电子教程习题习题153 图示桁架各杆截面均为图示桁架各杆截面均为 试求：试求：(a) C点的竖向线位移；点的竖向线位移；(b) 角角ADC的的改变量改变量 .32 102102m ,GPa,AE 402kN,mPd ，4dd2PPPABCDE2PPP2P2P2P2P3P2P2P2 2P 2 2P PN解：解：（1）作）作 图图PN9
19、 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算结构力学电子教程结构力学电子教程2PPP2P2P2P2P3P2P2P2 2 P2 2 PPN1P 1N121212 12 22 22 22 22 1 3933112223122222222 2222210 6 210 6 240 102210 102 10352 10352CV()()() ()()().m.mm( )PNNlPdPdEAEAPdPdPdEA 2N12d12d12d12d1d 12d 12d 3934111222 2221222424240 10210 102 105156 10D()()()()().rad()PNNlPdPd
20、EAEAddPddPEA 增增大大（2） 求求C点的竖向线位移点的竖向线位移（3）求角）求角ADC的改变量的改变量9 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算结构力学电子教程结构力学电子教程3111212 336 32 6 63122 6 4323648PCyC( )()( )MMdxAyEIEIlPllllPlEIllPlPlEI 习题习题15-5 图乘法求指定位移。图乘法求指定位移。(a) 求最大挠度。求最大挠度。EIABl/3l/3l/3PP解：解：1P l/4Pl/3Pl/3l/6最大挠度为跨中点竖向位移。最大挠度为跨中点竖向位移。PMM9 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结
21、构的位移计算结构力学电子教程结构力学电子教程解：解：20kN/mABC2m2mEI21601112112 160 22 40 22323212 10 2326803PCyC( )()( )MMdxAyEIEIEIEI 40(10)PMM1P (m)(kN m) (b) 求求 。Cy 9 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算结构力学电子教程结构力学电子教程4m3m1112214 12 44 2 4233211211125 12475 2747223323319656PCyC( )()()()( )MMdxAyEIEIEIEIEI (c) 求求 。Cy (2)PMMABCEI2EI1k
22、N/m1kN4mABC121227ABC解：解：4471P (m)(kN m) 9 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算结构力学电子教程结构力学电子教程181818186m解：解：DABC2kN/m6m6mDABCABC18(9)PM333311M(m)11126 18 3423216 9 332486PCC( )()()xMMdxAyEIEIEIEI (kN m) EI常数(d) 求求 并勾绘变形曲线并勾绘变形曲线 。,CxCyD9 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算结构力学电子教程结构力学电子教程18181818DABC18(9)PM(kN m) ABC2M(m)
23、1216 9 33254C()( )yEIEI 333310.50.50.50.5DABC13M1126 18 0 5223216 9 0 53227D(.)()EIEI 9 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算结构力学电子教程结构力学电子教程DABCD变形曲线变形曲线9 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算结构力学电子教程结构力学电子教程EI常数aaPPaaABCDABC(e) 求铰求铰C 左右两截面相对转角及左右两截面相对转角及CD两点距离改变，并勾绘两点距离改变，并勾绘变形曲线。变形曲线。解：解：aaABC2Pa2Pa2Pa2PaPaPa1111113111122
24、312122236C()()PaaEIPaaPaEI 左左右右PM1M9 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算结构力学电子教程结构力学电子教程ABC2Pa2Pa2Pa2PaPaPaPM31112232224C()()PaaaEIPaEI D DABCD112a2a2MABC变形曲线变形曲线9 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算结构力学电子教程结构力学电子教程习题习题15-6 图示简支刚架支座图示简支刚架支座B下沉下沉 b，试求，试求C点水平位移。点水平位移。ABHlbCABC1解：解：010:BABMRlHHRl BRC()()xRcHblHbl 9 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算结构力学电子教程结构力学电子教程解：解：ABllCcba111/l1/l2/l121220 10 040 08160 005().rad()BRcabclllbacl 左左右右习题习题15-7 图示两跨简支梁图示两跨简支梁 l =16m，支座，支座A、B、C 沉降分沉降分别为别为 a40mm，b100mm， c80mm，试求，试求B铰左右两侧铰左右两侧的相对角位移的相对角位移 。 9 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算结构力学电子教程结构力学电子教程
