1、燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University在工程实际问题中，存在大量的质量和刚度不均匀分布的连续在工程实际问题中，存在大量的质量和刚度不均匀分布的连续系统的振动问题，由于一般无法得到精确的解析解，因此近似计系统的振动问题，由于一般无法得到精确的解析解，因此近似计算方法就成为工程实际问题中十分重要解法。算方法就成为工程实际问题中十分重要解法。无论是有限自由度系统还是无限自由度系统，当以某一特定的无论是有限自由度系统还是无限自由度系统，当以某一特定的振动形状作自由振动时，该系统就在各点平衡位置附近以自振频振动形状作自
2、由振动时，该系统就在各点平衡位置附近以自振频率率 作简谐运动。作简谐运动。求连续系统固有频率常用的近似方法：求连续系统固有频率常用的近似方法： 瑞利法；瑞利瑞利法；瑞利里兹法；里兹法；假定振型法假定振型法3.7 计算固有频率的近似方法计算固有频率的近似方法0)()()(d)(d)(dd22222xYxAxxxYxEJx例如：梁横向振动的例如：梁横向振动的振型函数方程为振型函数方程为对于变截面梁的弯曲振动，阵型函数为变系对于变截面梁的弯曲振动，阵型函数为变系数四阶常微分方程，一般无法求得解析解！数四阶常微分方程，一般无法求得解析解！燕山大学机械工程学院School of Mechanical E
3、ngineering, Yanshan University 根据能量守恒原理，对于保守系统其总能量是常根据能量守恒原理，对于保守系统其总能量是常数，故最大动能数，故最大动能Tmax和最大势能和最大势能Umax应相等，即应相等，即 对于任何一个连续系统，只要近似地给出一个对于任何一个连续系统，只要近似地给出一个满满足边界条件的第一阶振型函数足边界条件的第一阶振型函数，并获得系统的动能和势，并获得系统的动能和势能，就可对基频进行估算。能，就可对基频进行估算。maxmaxUT 瑞利法瑞利法(能量法能量法)就是根据机械能守恒定律得到的计就是根据机械能守恒定律得到的计算算基频基频的近似方法，它不仅适用
4、于离散系统，同样也适的近似方法，它不仅适用于离散系统，同样也适用于连续系统。用于连续系统。3.7.1 瑞利法瑞利法燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University如果梁以某一阶固有频率作固有振动，设梁的振型函如果梁以某一阶固有频率作固有振动，设梁的振型函数数Y(x)，它满足梁的边界条件，则梁在振动过程中任一，它满足梁的边界条件，则梁在振动过程中任一瞬时的位移、速度为瞬时的位移、速度为 ,sin,cosy x tY xty x tY xtt不考虑转动惯量和剪切变形的影响，动能和势能为不考虑转动惯量和剪切变形的影响，动能和
5、势能为 2 022 2 0,1d2,1d2LLy x tT tx A xxty x tU tEJ xxx燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University在偏离平衡位置最在偏离平衡位置最远距离处，梁具有最远距离处，梁具有最大弹性势能大弹性势能 上式表明，当所假设振型函数上式表明，当所假设振型函数Y(x)恰好是某一阶实际振型函数恰好是某一阶实际振型函数时，即可计算出该阶固有频率的精确解。时，即可计算出该阶固有频率的精确解。 事实上，由于不能预知各阶实际的振型函数，一般只能近似地事实上，由于不能预知各阶实际的振型函数，一般只
6、能近似地给出第一阶振型函数。因此，给出第一阶振型函数。因此，瑞利法只适用于估算基频。瑞利法只适用于估算基频。 xxxYxEJULddd212 0 22max xxYxAxxxxYxEJTULLdddd 0 22 0 22*max2根据机械能守恒定根据机械能守恒定律得律得maxmaxUT在静平衡位置，在静平衡位置，梁具有最大动能梁具有最大动能 *2022maxd2TxxYxAxTL xxYxAxTLd21 0 2*称为参考动能。称为参考动能。 ,cosy x tY xtt 2 0,1d2Ly x tT tx A xxt燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineer
7、ing, Yanshan University当梁上有集中质量，在计算动能时应计入集中质量的当梁上有集中质量，在计算动能时应计入集中质量的动能。若在动能。若在xi(i=1,2,n)处有集中质量处有集中质量mi (i=1,2,n) ，则，则梁的最大动能为梁的最大动能为 iniiLxYmxxYxAxT212 0 22max2d2当梁上当梁上xi(i=1,2,n)处有刚度处有刚度ki(i=1,2,n)和扭转刚度和扭转刚度k i(i=1,2,n)的弹性支承时，则梁的最大势能为的弹性支承时，则梁的最大势能为 22 max2 02211d1d2dd1122dLnniiiiiiY xUEJ xxxY xkY
8、xkx燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University在假设第一阶振型函数时，应尽量接近实际振型在假设第一阶振型函数时，应尽量接近实际振型。例例如，有一试探振型函数如，有一试探振型函数X(x)，满足边界条件，满足边界条件，同时具有同时具有各阶导数。各阶导数。 若用若用X(x)代替上述公式中的代替上述公式中的Y(x)，则得梁弯曲振动的，则得梁弯曲振动的瑞利商瑞利商 2max*222 22 011 22 01ddddddnnLiiiiiinLiiiUR XTX xX xEJ xxk Xxkxxx A x Xxxm Xx燕山
9、大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University瑞利商瑞利商R(X)为一个泛函，它决定于试探函数为一个泛函，它决定于试探函数X(x)。由于准确确定高阶试探函数存在困难，通常选用静挠由于准确确定高阶试探函数存在困难，通常选用静挠度曲线作为第一阶振型函数的试探函数，计算系统基频度曲线作为第一阶振型函数的试探函数，计算系统基频的近似值。的近似值。可以证明，如果试探函数可以证明，如果试探函数X(x)与系统振型函数与系统振型函数Y(x)相相差一阶小量，则瑞利商基频近似值与精确值之间相差二差一阶小量，则瑞利商基频近似值与精确值之间相差
10、二阶小量。阶小量。由于用假设的试探函数代替精确的第一阶振型函数，由于用假设的试探函数代替精确的第一阶振型函数，相当于给系统施加了约束，增加了系统刚度，因此将使相当于给系统施加了约束，增加了系统刚度，因此将使固有频率值提高，也就是说固有频率值提高，也就是说R(X)给出了系统固有频率的给出了系统固有频率的上限。上限。问题：瑞利商基频计算结果与实际基频比较，大问题：瑞利商基频计算结果与实际基频比较，大 或或 小？小？燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University另外，前面所讲的弦的横向振动，杆的纵向振动和轴另外，前面所讲的
11、弦的横向振动，杆的纵向振动和轴的扭转振动等，同样可用瑞利法计算基频。的扭转振动等，同样可用瑞利法计算基频。对于不同的连续系统，只是对于不同的连续系统，只是T*和和Umax的具体表达式不的具体表达式不同而已。为了表示一般情况，以同而已。为了表示一般情况，以R表示瑞利商，即表示瑞利商，即此为瑞利商的一般表达式。此为瑞利商的一般表达式。*max2TUR燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University例例1 长为长为L，弯曲刚度为，弯曲刚度为EJ，单位长度分布质量为，单位长度分布质量为m的的悬臂梁，在其自由端有集中质量悬臂梁，
12、在其自由端有集中质量2M (M=mL)。试用瑞利。试用瑞利法求梁弯曲振动的基频。法求梁弯曲振动的基频。解：解：(1)采用分布载荷作用下采用分布载荷作用下梁的静挠度曲线为试探振型梁的静挠度曲线为试探振型 43224463X xA xLxL xX LALEJmgA24式中式中可以验算该函数满足悬臂梁根部的位移和转角为零的几可以验算该函数满足悬臂梁根部的位移和转角为零的几何边界条件，即何边界条件，即 3220d000,4330dxXXA xLxL xx选择为试探振型函数选择为试探振型函数燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan Unive
13、rsity将试探振型以及试探振型将试探振型以及试探振型的二次导数代入瑞利商计的二次导数代入瑞利商计算式，并注意到梁上没有算式，并注意到梁上没有弹性支承弹性支承LLALMxxLLxxmAxLLxxEJA 0 24222342 0 2222232d64d2144 222 22 011 22 01ddddddnnLiiiiiinLiiiX xX xEJ xxk XxkxxR Xx A x Xxxm Xx 432242222463d122dXxA xLxL xXLALXxA xLxLx燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan Univers
14、ity计算积分，并代入计算积分，并代入M=mL，则求得，则求得41908. 1mLEJ精确解精确解411582. 1mLEJ可见估计值与精确值的误差为可见估计值与精确值的误差为2.8%。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University(2)采用无自重悬臂梁在端部集中载荷作用下的静挠度曲采用无自重悬臂梁在端部集中载荷作用下的静挠度曲线作为试探振型函数线作为试探振型函数 2333,2X xBLxxX LBL式中式中EJmgLB3验算表明，该函数满足悬臂梁根部的位移和转角为零的验算表明，该函数满足悬臂梁根部的位移和转角为零的
15、几何边界条件。选择该函数为试探振型函数，其二次导几何边界条件。选择该函数为试探振型函数，其二次导数为数为 xLBxxX 6dd22代入式瑞利商计算式，固有频率为代入式瑞利商计算式，固有频率为LLBLMxxLxmBxxLEJB 0 232322 0 22222d3d36悬臂梁在端部集中载荷作用下的静挠度曲线为悬臂梁在端部集中载荷作用下的静挠度曲线为燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University计算积分，并代入计算积分，并代入M=mL，则求得，则求得41584. 1mLEJ可见，估计值仅比精确解高可见，估计值仅比精确解高
16、0.02%。 从本例两种方案的计算结果可以看出，虽然两种从本例两种方案的计算结果可以看出，虽然两种情况与精解都比较接近，但第二种要比第一种好，原因情况与精解都比较接近，但第二种要比第一种好，原因是本题中集中质量比分布质量影响大，其挠度曲线更接是本题中集中质量比分布质量影响大，其挠度曲线更接近于实际的第一阶振型。若当悬臂梁质量大于端部集中近于实际的第一阶振型。若当悬臂梁质量大于端部集中质量时，则取受分布力作用的悬臂梁的静挠度曲线是较质量时，则取受分布力作用的悬臂梁的静挠度曲线是较合适的。合适的。 精确解精确解411582. 1mLEJ静挠度曲线是最低阶振型函数静挠度曲线是最低阶振型函数的一种很有
17、效的近似形状。的一种很有效的近似形状。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University例例2 图示变截面梁具有单位厚度，截面变化为图示变截面梁具有单位厚度，截面变化为A(x)=h(1- -x/L)= A0(1- -x/L)，A0为根部截面积，设单位体积质量为根部截面积，设单位体积质量 为为常数。试求弯曲振动基频的近似值。常数。试求弯曲振动基频的近似值。解：由给定的条件，知截面解：由给定的条件，知截面积对中心主轴的惯性矩为积对中心主轴的惯性矩为 31121LxhxJ为简化计算，设幂函数为试探为简化计算，设幂函数为试探振型
18、函数振型函数 22222d2,dX xaxaX xLxL燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University该试探振型函数满足全部边界条件该试探振型函数满足全部边界条件 0 x d000,0dXXx Lx 2222ddd0,0dddX LX LEJ LEJ Lxxx将试探函数及其二阶导函数代入瑞利商计算式，得将试探函数及其二阶导函数代入瑞利商计算式，得LLxLaxLxhxLaLxhETU 0 222 0 223*max2d1d211214223235 . 23012LEhhLaLaEh燕山大学机械工程学院School of
19、 Mechanical Engineering, Yanshan University基频的近似值为基频的近似值为425811. 1LEh4215343. 1LEh精确值为精确值为由瑞利法求出的基频较精确值高由瑞利法求出的基频较精确值高3.05%。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University 瑞利瑞利-里兹法是在瑞利法的基础上作了改进，可里兹法是在瑞利法的基础上作了改进，可用以求出更精确的基频。用以求出更精确的基频。 另外，瑞利另外，瑞利-里兹法可以求得高阶固有频率和固里兹法可以求得高阶固有频率和固有振型的近似值。
20、有振型的近似值。 瑞利瑞利-里兹法的基本思想是把连续系统离散化为里兹法的基本思想是把连续系统离散化为有限自由度系统，然后根据机械能守恒定律进行计算。有限自由度系统，然后根据机械能守恒定律进行计算。 由于瑞利商提供了第一阶固有频率的上限由于瑞利商提供了第一阶固有频率的上限 ( R ，可见瑞利可见瑞利-里兹法降低了基频的估计值。里兹法降低了基频的估计值。21)3.7.2 瑞利瑞利- -里兹里兹(Rayleigh-Ritz)法法为什么？为什么？燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University 按照瑞利按照瑞利-里兹法，任意连
21、续系统的试探振型函数里兹法，任意连续系统的试探振型函数可以用线性组合的形式构成可以用线性组合的形式构成 niiixuaxU1式中式中 U(x)为假定的试探振型函数，为假定的试探振型函数，ai为待定系数；为待定系数； ui(x)是由分析者指定的空间坐标是由分析者指定的空间坐标x的函数。的函数。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University关于试探振型函数关于试探振型函数 niiixuaxU1函数函数ui(x)应满足所有的边界条件，至少必须满足几何边界条件，应满足所有的边界条件，至少必须满足几何边界条件，同时必须彼此是独
22、立的。但同时必须彼此是独立的。但ui(x)不同于振型函数，它不需要满足不同于振型函数，它不需要满足系统的微分方程。系统的微分方程。函数函数ui(x)必须具有对自变量必须具有对自变量x的导数，且导数的阶数至少应等的导数，且导数的阶数至少应等于特征值问题的微分方程的阶数。于特征值问题的微分方程的阶数。系数系数ai的确定要使试探振型函数的确定要使试探振型函数U(x)与系统的振型函数极为接与系统的振型函数极为接近，数学上，这相当于去寻找使瑞利商有驻值的近，数学上，这相当于去寻找使瑞利商有驻值的ai值。值。在级数式中，用了在级数式中，用了n个函数个函数ui(x)，实质上是把一个无限自由度，实质上是把一个
23、无限自由度系统简化为系统简化为n个自由度系统，这种离散化方案相当于把约束个自由度系统，这种离散化方案相当于把约束an+1= an+2=0强加给了系统。因为约束会增加系统的刚度，所以估计强加给了系统。因为约束会增加系统的刚度，所以估计的固有频率就高于真实的固有频率。的固有频率就高于真实的固有频率。增加级数式中函数增加级数式中函数ui(x)的数目，一般能降低固有频率的估计值的数目，一般能降低固有频率的估计值(至少不会增大估计量至少不会增大估计量)，这样就从右侧来逼近真实的固有频率。，这样就从右侧来逼近真实的固有频率。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineerin
24、g, Yanshan University基本思想：基本思想：使估计量瑞利商使估计量瑞利商R(U)尽可能地接近真实值，尽可能地接近真实值，就是使泛函就是使泛函R(U)成为驻值。而使成为驻值。而使R(U)成为驻值的必要条成为驻值的必要条件是将件是将R(U)分别对每个系数分别对每个系数ar(r=1,2,n)求偏导数，并求偏导数，并令其等于零，即有令其等于零，即有式中最大势能式中最大势能Umax=Umax（a1，a2，an）和参考动能）和参考动能T*=T*（a1，a2，an）都是未知系数都是未知系数ai (i=1,2,n)的函的函数。数。*maxmaxmax*2*01,2,rrrrUTUTUaaRT
25、rnaaT问题：问题：给定函数给定函数ur(x)后，如何确定系数后，如何确定系数ar(r=1,2,n) ？燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University因为瑞利商因为瑞利商R= 2=Umax/T*，则，则*maxmaxmax*2*01,2,rrrrUTUTUaaRTrnaaT*2max01,2,rrUTrnaaUmax、T*如何确定？如何确定？燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University上式含义：将连续系统的试探振型函数假设为上式含义：将
26、连续系统的试探振型函数假设为n个线性无个线性无关函数的线性组合。经推导可以得到，连续系统的最大关函数的线性组合。经推导可以得到，连续系统的最大势能和参考动能可以表示为势能和参考动能可以表示为n个未知系数个未知系数ai (i=1,2,n)的的二次型，即二次型，即max1211*12111,21,2nnnijijijnnnijijijUa aak a aTa aam a a式中系数式中系数kij和和mij是对称的是对称的,即有即有kij=kji，mij=mji (i,j=1,2,n) 。 niiixuaxU1因为因为关于该式的关于该式的推导，下面推导，下面再具体介绍。再具体介绍。燕山大学机械工程学
27、院School of Mechanical Engineering, Yanshan University最大势能、参考动能对系数最大势能、参考动能对系数ar的偏导数的偏导数式中式中 jr和和 ir为克朗尼格为克朗尼格 符号。符号。max1111111112211,2,2nnnnjiijjiijirjjriijijrrrnnnrjjirirjjjijaUakaakaaaaak ak ak arnmax12111,2nnnijijijUa aak a a参考动能对系数参考动能对系数ar的偏导数可以写成为的偏导数可以写成为*1(1,2, )nrjjjrTm arna最大势能对系数最大势能对系数ar
28、的偏导数的偏导数燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University显然，上式是关于显然，上式是关于n个自由度离散系统的特征值问题。写个自由度离散系统的特征值问题。写成矩阵形式为成矩阵形式为式中，式中，K和和M为为nn阶的对称常数矩阵，分别称为刚度阶的对称常数矩阵，分别称为刚度矩阵和质量矩阵。矩阵和质量矩阵。2KaMa*max11nnrjjrjjjjrrUTk am aaa*2max01,2,rrUTrnaa2101,2,nrjrjjjkmarn可得：可得：可求得固有频率和振型向量。可求得固有频率和振型向量。燕山大学机械工
29、程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University 应用瑞利应用瑞利-里兹法求解连续系统的特征值问题，里兹法求解连续系统的特征值问题，由于选用级数形式的假设振型函数，所以比瑞利法有所由于选用级数形式的假设振型函数，所以比瑞利法有所改进。改进。 因为瑞利法只相当于取级数中的一项作为假设因为瑞利法只相当于取级数中的一项作为假设振型，因此求系统的基频时，瑞利振型，因此求系统的基频时，瑞利-里兹法求出的基频里兹法求出的基频的近似值比瑞利法求得的精度高。的近似值比瑞利法求得的精度高。将将a(r)代入试探振型函数，可得固有振型的近似解代入试探振型
30、函数，可得固有振型的近似解 11,2,nrriiiUxauxrn 可以证明，振型函数可以证明，振型函数 与连续系统的分布与连续系统的分布质量是正交的。质量是正交的。 rUx燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University解：解：(1)杆的纵向振动杆的纵向振动势能势能 xxtxuxEAtULd,212 0 xttxuxmtTLd,212 0 动能动能式中式中EA(x)为杆的轴向刚度，为杆的轴向刚度，m(x)为单位长度质量。为单位长度质量。 txUtxusin,令令非均质杆、轴和梁的最大势能非均质杆、轴和梁的最大势能Uma
31、x和参考动能和参考动能T*关于系关于系数数ai(i=1,2,n)的二次型，并求的二次型，并求kij和和mij的表达式。的表达式。例例3 假设试探振型函数为假设试探振型函数为 niiixuaxU1推导变截面推导变截面燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University最大势能、最大动能和参考动能分别为最大势能、最大动能和参考动能分别为 xxxUxEAULddd212 0 max *22 0 2maxd2TxxUxmTL xxUxmTLd212 0 * xxxuaxxuaxEAUnjjjniiiLddddd2111 0 max
32、 ninjjiijninjLjijiaakxxxuxxuxEAaa1111 0 21ddddd21将将 代入以上各式，可得代入以上各式，可得 niiixuaxU1式中式中 0ddd,1,2,ddLjiiju xu xkEA xxi jnxx燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University类似可得类似可得 ninjjiijjnjjiniiLaamxxuaxuaxmT1111 0 *21d21式中式中 0d,1,2,Lijijmm x u x u xxi jn显然，系数显然，系数kij和和mij是对称的。是对称的。 关于轴
33、的扭转振动，只须将以上各式中的杆的轴向关于轴的扭转振动，只须将以上各式中的杆的轴向刚度刚度EA(x)和单位长度质量和单位长度质量m(x)分别用轴的截面抗扭刚分别用轴的截面抗扭刚度度GJ (x)和单位长度转动惯量和单位长度转动惯量I(x)代替即可。代替即可。(2)轴的扭转振动轴的扭转振动燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University(3)梁的弯曲振动梁的弯曲振动 xxtxyxEJtULd,21222 0 势能势能 xttxyxmtTLd,212 0 动能动能 ,siny xtU xt 令令式中式中EJ(x)为弯曲刚度为
34、弯曲刚度，E为弹性模量，为弹性模量，J(x)为横截面的为横截面的惯性矩，惯性矩， m(x)为单位长度质量。为单位长度质量。最大势能、最大动能和参考动能分别为最大势能、最大动能和参考动能分别为 22 max2 0d1d2dLU xUEJ xxx 2 22*max 0d2LTm xU x xT *2 01d2LTm x Uxx燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University xxxuaxxuaxEJUnjjjniiiLddddd21122122 0 max ninjjiijninjLjijiaakxxxuxxuxEJaa1
35、111 0 222221ddddd21式中式中 LjiijxxxuxxuxEJk 0 2222dddddnji, 2 , 1,将将 代入以上各式，可得代入以上各式，可得 niiixuaxU1 ninjjiijjnjjiniiLaamxxuaxuaxmT1111 0 *21d21式中式中 0d,1,2,Lijijmm x ux uxxi jn常数常数kij和和mij是对称的。是对称的。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University例例4 图示变截面梁具有单位厚度，图示变截面梁具有单位厚度，截面积变化为截面积变化为A(x
36、)=h(1- -x/L)= A0(1- -x/L)，A0为根部截面积，单为根部截面积，单位体积质量位体积质量 为常数。用瑞利为常数。用瑞利-里兹里兹法计算梁的基频。法计算梁的基频。解：梁单位长度的质量和弯曲解：梁单位长度的质量和弯曲刚度分别为刚度分别为 31112xExm xA xhEJxhLL取假设振型函数的试探函数为取假设振型函数的试探函数为 231 12212U xauxa uxa xa x xaaxxU212262dd燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University边界条件验证边界条件验证 d000,0dUUx
37、 22d0dULEJ Lx 231122122122122323d23dd26dd6dUxa uxa uxa xa xUxa xa xxUxaa xxUxax3112ExEJxhL 223223ddddd0dddddU LU LU LEJ LEJ LEJ Lxxxxx满足所满足所有边界有边界条件条件燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University最大势能最大势能 22 max2 033 322221211223 0d1d2d6326d242455LLUxUEJ xxxEhEh LLxaa xxaa a La LL 2*
38、 0567 22322121122 01d2d222304256LLTA xUxxhhLLLLxa xa xxaa aaL可见，可见，Umax和和T*均是待定系数均是待定系数a1和和a2的二次型。的二次型。参考动能参考动能燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University21222132max535312jjjakLaLaLEhaU因此因此3323311122122,122020Eh LEh LEh LkkkkUmax对系数对系数a1和和a2的偏导数的偏导数3222max1122632455Eh LUaa a La L2
39、112131max5312jjjakLaaLEhaU燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan UniversityjjjamLaLahaT21272612*5642因此因此56711122122,304256hLhLhLmmmmT*对系数对系数a1和和a2的偏导数的偏导数567*22112222304256hLLLTaa aajjjamLaLahaT21162511*4230燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University特征值问题特征值问题令令 ，得频率方
40、程为得频率方程为 224EhL35326221326337222012302042020422056Eh LhLEh LhLaaEh LhLEh LhL 04212015612013011212即有即有0588273102可求得可求得3574. 21燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University固 有 频 率固 有 频 率为为4215354. 1LEh基频的精确解为基频的精确解为4215343. 1LEh可见，由瑞利可见，由瑞利-里兹法求得的基频更接近于精确值，误里兹法求得的基频更接近于精确值，误差仅为差仅为0.09
41、%。前面瑞利法给出基频为前面瑞利法给出基频为2141.5811EhL燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University瑞利瑞利-里兹法小结里兹法小结 niiixuaxU1假定试探振型函数假定试探振型函数ai为待定系数为待定系数瑞利商瑞利商R(U)是待定系数是待定系数ar(r=1,2,n)的函数的函数瑞利商瑞利商R(U)存在驻点的条件：存在驻点的条件：*2max01,2,rrUTrnaa连续系统的最大势能和参考动能可以表示为连续系统的最大势能和参考动能可以表示为n个待定系数个待定系数ai (i=1,2,n)的二次型的二次型
42、max1211*12111,21,2nnnijijijnnnijijijUa aak a aTa aam a a瑞利商瑞利商R(U)存在驻存在驻点的条件方程点的条件方程燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University 上式是关于上式是关于n个自由度离散系统的特征值问题。写个自由度离散系统的特征值问题。写成矩阵形式成矩阵形式2KaMa2101,2,nrjrjjjkmarn可得：可得：可求得固有频率和振型向量。可求得固有频率和振型向量。瑞利瑞利-里兹法小结里兹法小结燕山大学机械工程学院School of Mechanica
43、l Engineering, Yanshan University例例5 在在x=0端固定，在端固定，在x=L端自由的变截面杆作纵向振端自由的变截面杆作纵向振动，设刚度与质量分布为动，设刚度与质量分布为 2261611,15252xxEA xEAm xmLL试用瑞利试用瑞利- -里兹法求基频的估计值。里兹法求基频的估计值。解：选取在解：选取在x=0端固定端固定、x=L端自由端自由的等截面均质杆的的等截面均质杆的振型函数作为假设试探振型函数中的振型函数作为假设试探振型函数中的ui(x)，即，即 Lxixui212sin),2, 1(ni显然，函数显然，函数ui(x)满满足所有边界条件，足所有边界
44、条件，同时又是相互独立同时又是相互独立的。的。 00sin 2102d21cos 210d22ixix LxuiLu LixixLL燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan Universitykij和和mij为：为： LjiijxxxuxxuxEAk 0 ddddd), 2 , 1,(nji xxuxuxmmjLiijd 0 ), 2 , 1,(nji将函数将函数ui(x)(i=1,2,n)和已知条件代入上面两式，得和已知条件代入上面两式，得2 02 021212121611coscosd522222611sin 21sin 21
45、d5222,1,2,LijLijijixjxxkEAxLLLLLxxxmmijxLLLi jn燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University(1)取取n=1，从而得系数，从而得系数52111121156 ,564010EAkmmLL则特征值问题方程简化为则特征值问题方程简化为11121111amak得出固有频率的平方为得出固有频率的平方为2111121150445. 3mLEAmk这是基频的首次近似，其结果和瑞利法所得到的结果完这是基频的首次近似，其结果和瑞利法所得到的结果完全一样，这是因为只取了级数中的一项，瑞利全
46、一样，这是因为只取了级数中的一项，瑞利-里兹法本里兹法本质上就退化成瑞利法。质上就退化成瑞利法。分别取分别取n=1，n=2，n=3进行计算进行计算燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University取取n=2。得矩阵。得矩阵222221527565622,1522740105456232EAmLKML代入特征值方程，并解此特征值问题得代入特征值方程，并解此特征值问题得 12120.999953.148199,0.01013EAamL 22220.1598423.283958,0.98714EAamL和和n=1n=1比较，可
47、以给出更精确的基频估计量，同时还可以比较，可以给出更精确的基频估计量，同时还可以给出第二阶固有频率的首次估计量。给出第二阶固有频率的首次估计量。212=3.150445EAmLn=1燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University LxLxxU23sin01013. 02sin99995. 01 LxLxxU23sin98714. 02sin15984. 02振型函数图振型函数图将将a(1)和和a(2)代入方程代入方程 11,2,nrriiiUxauxrn可得两个估计的振型函数可得两个估计的振型函数 10.999950
48、.01013a 20.159840.98714a燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University取取n=3。得矩阵。得矩阵2222725562627675456402825675125668EAKL222215135626152515102381351656825mLM燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University解特征值问题，可得解特征值问题，可得 22220.1610023.253238,0.986570.02748EAamL 12120
49、.999943.147958,0.010500.00187EAamL 32320.0673762.911807,0.113080.99130EAamL 2123.150445EAmL当当n=1对比可见，随着假对比可见，随着假设振型函数级数项数设振型函数级数项数的增多，基频的估计的增多，基频的估计值下降，从右侧逼近值下降，从右侧逼近真实的基频。因此，真实的基频。因此，得到了较好的基频和得到了较好的基频和第二阶固有频率的估第二阶固有频率的估计量，同时还提供了计量，同时还提供了第三阶固有频率的首第三阶固有频率的首次估计量。次估计量。当级数项数增多当级数项数增多时，可以改进高阶时，可以改进高阶频率的估
50、计值。频率的估计值。2123.148199EAmL当当n=2燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University 2350.16100sin0.98657sin0.02748sin222xxxUxLLL 3350.06737sin0.11308sin0.99130sin222xxxUxLLL 1350.99994sin0.01050sin0.00187sin222xxxUxLLL估计的振型函数为估计的振型函数为 20.161000.986570.02748a 10.999940.010500.00187a 30.06737
