1、8.2 椭圆型方程的有限差分法8.2.1 8.2.1 差分逼近的基本概念差分逼近的基本概念8.2.2 8.2.2 一维差分格式一维差分格式8.2.3 8.2.3 矩形网的差分格式矩形网的差分格式8.2.4 8.2.4 三角网的差分格式三角网的差分格式8.2.5 8.2.5 极值原理极值原理为为给给定定常常数数。上上的的连连续续函函数数为为其其中中边边值值问问题题考考虑虑二二阶阶常常微微分分方方程程的的 ,;0,)2 . 1()(,)()1 . 1(,22 qbafqbuaubxafqudxudLu8.2.18.2.1差分逼近的基本概念差分逼近的基本概念为为步步长长。称称，间间距距称称为为网网格
2、格结结点点（节节点点）网网格格剖剖分分，的的一一个个于于是是我我们们得得到到区区间间等等分分，分分点点为为分分成成将将区区间间hxbaINabhNiihaxnbajj,./ )(, 2 , 1 , 0, 1 1 区间的剖分区间的剖分112223323(1. 1)()2 ( )()( )( )(),(1. 3)12iiiiiiixuT ayl oru xu xu xhd u xhd u xo hdxdxx+-=+现在将方程在节点 离散化，为此，对充分光滑的解 ，由展式可得其中表示括号内函数 点取值。1 1 微分方程离散微分方程离散( (差分方程）差分方程）1122333(1. 1)()2 ( )
3、()( ) ( )( )( ),(1. 4)( )( )(),(1. 5)12iiiiiiiiu xu xu xq x u xf xR uhhd u xR uo hdx+-+=+=+于是在可将方程写成其中 断断误误差差。的的截截为为差差分分方方程程称称式式中中的的差差分分方方程程：则则得得逼逼近近方方程程，去去的的二二阶阶无无穷穷小小量量。若若舍舍是是足足够够小小，当当)6 . 1()().(),()6 . 1( ,2)1 . 1()()(211uRxffxqqfuqhuuuuLuRhuRhiiiiiiiiiiiihii ).(0)6 . 1()()7 . 1()()(2hhLLuRLuxuL
4、uRhiiihi的的阶阶为为式式关关于于起起的的截截断断误误差差，所所引引代代替替微微分分算算子子是是用用差差分分算算子子所所以以截截断断误误差差 式式。此此格格式式称称为为中中心心差差分分格格。的的差差分分方方程程或或差差分分格格式式为为逼逼近近的的近近似似。称称于于是是它它的的解解方方程程组组：就就得得到到关关于于的的线线性性代代数数时时成成立立，加加上上边边值值条条件件当当差差分分方方程程)2 . 1()1 . 1()9 . 1(),8 . 1()()9 . 1(.,)8 . 1( , 1, 2 , 1,2, 1, 2 , 1)6 . 1(0211iiNiiiiiiihxxxuuuuNi
5、fuqhuuuuLNi .1,)8 . 1(:121阶阶方方程程组组因因此此它它是是个个数数的的的的个个数数等等于于网网格格内内点点方方程程注注意意 NxxxN )13. 1(, )()12. 1(,)11. 1(,)10. 1(,max.)(),112121202111220110121 NiiihhhhNiihiNichhhhiihhhNNhhuuhuuuuhuuuuIIIuxuIIbxaxIxxxI于于是是上上的的网网函函数数引引进进范范数数我我们们对对上上的的网网函函数数（相相应应的的称称为为数数上上的的函函（相相应应的的的的集集合合。定定义义在在和和界界点点表表示示网网格格内内点点的
6、的集集合合，表表示示网网格格内内点点以以定义定义1.1 1.1 相容相容.)14. 1()14. 1(, 0)(lim)7 . 1()(条条件件为为相相容容，而而称称逼逼近近微微分分算算子子则则说说差差分分算算子子，恒恒有有任任何何定定义义的的网网格格函函数数，若若对对是是由由截截断断误误差差，是是某某一一充充分分光光滑滑函函数数类类设设LLuRuRhhh ).()(),()(),()(:)6 . 1()5 . 1(1202houRhouRhouRhhch 阶阶是是的的逼逼近近微微分分算算子子，且且逼逼近近便便知知，差差分分算算子子由由定义定义1.2 1.2 收敛收敛网网函函数数。看看成成这这
7、里里有有存存在在，且且按按某某一一范范数数的的解解充充分分时时，如如果果当当收收敛敛到到边边值值问问题题的的解解称称差差分分解解hhhhhIuuuuhuu)15. 1(. 0lim)9 . 1(),8 . 1(0 )()(2)()()()()()()(2)()()4 . 1(211211uRuxuLfuqhuuuuLuRfuRxfxuxqhxuxuxuxuLiiihiiiiiiihiiiiiiiiiih 相相减减，得得与与写写成成可可将将方方程程.)()16. 1(, 1, 2 , 10)()(,)(0的的问问题题误误差差函函数数（截截断断误误差差）估估计计就就归归结结带带通通过过右右端端的的
8、估估计计问问题题。于于是是收收敛敛性性及及收收敛敛速速度度满满足足下下列列差差分分方方程程；则则误误差差函函数数引引进进误误差差hiNiihiihiiieuRNieeuReLexeuxue 定义定义1.3 1.3 稳定稳定. 1, 2 , 1,)()17. 1(,0,)(0),1, 2 , 1(000 NivxvffhhfMvhMfxffIvvNifvLiihhRhRhhiihhhNiih也也可可以以不不同同，相相同同，的的某某一一范范数数，它它可可以以和和是是右右端端其其中中当当，使使和和无无关关的的正正常常数数及及右右端端在在与与网网格格关关于于右右端端稳稳定定，如如果果存存称称差差分分方
9、方程程。变变化化小小时时解解的的变变化化也也小小，即即右右端端连连续续依依赖赖右右端端表表明明，解解不不等等式式hhfv)17. 1(定理定理1.11.1（相容（相容+ +稳定稳定= =收敛）收敛）.)(相相同同的的收收敛敛阶阶有有和和且且收收敛敛到到边边值值问问题题的的解解，按按则则差差分分解解右右端端稳稳定定，满满足足相相容容条条件件，且且关关于于按按充充分分光光滑滑，差差分分方方程程若若边边值值问问题题的的解解RhhRuRuu 程程解解的的先先验验估估计计。差差分分方方的的估估计计式式，称称之之为为关关于于定定性性，即即建建立立形形如如式式的的稳稳主主要要任任务务去去建建立立差差分分格格
10、误误差差的的阶阶。因因此此我我们们的的条条件件，并并且且估估计计了了截截断断展展式式证证明明它它都都满满足足相相容容用用。我我们们曾曾检检验验相相容容条条件件并并不不困困难难立立差差分分方方程程的的稳稳定定性性。件件和和建建性性，就就需需要要检检验验相相容容条条为为了了建建立立差差分分解解的的收收敛敛)17. 1(Taylor8.2.2 8.2.2 一维差分格式一维差分格式为为给给定定常常数数。其其中中考考虑虑两两点点边边值值问问题题： , 0)(,)2 . 2()(,)()1 . 2(,)(min1baCfqrpxpbaCpbuaubxafqudxdurdxdupdxdLu 差差分分法法。法
11、法和和变变分分直直接接差差分分法法、积积分分插插值值三三种种方方法法：我我们们将将介介绍绍差差分分格格式式的的 8.2.2.18.2.2.1直接差分化直接差分化.,max,., 2 , 1,:,101211110的的集集合合表表示示内内点点和和界界点点的的集集合合表表示示网网格格内内点点为为最最大大网网格格步步长长。用用称称的的一一个个网网格格剖剖分分，记记于于是是得得到到区区间间个个小小区区间间：分分成成将将区区间间个个节节点点：首首先先取取bxaxIxxxIhhxxhINixxxINbaIbxxxxaNNhNhiiiiiiiiNi 剖剖分分节节点点。”号号的的是是对对偶偶打打“”号号的的是
12、是原原剖剖分分节节点点，中中打打“对对偶偶剖剖分分。图图的的一一个个网网格格剖剖分分，称称为为又又作作成成点点称称为为半半整整数数点点，则则由由节节，的的中中点点取取相相邻邻节节点点 1,), 2 , 1)(21,2121232101211babxxxxxxaNixxxxxNNiiiiiiabix1 ix1 ix21 ix21 ix图1点点取取值值。表表示示括括号号内内函函数数其其中中展展式式可可得得，由由为为此此，对对充充分分光光滑滑的的解解离离散散化化，在在节节点点方方程程其其次次用用差差商商代代替替微微商商将将iiiiiiiiiiixhodxudhhdxduhhxuxuTaylorux)
13、3 . 2(),(2)()()1 . 2(2221111 )4 . 2(),(24),(24)()()(33322132133221121hodxudphdxduphodxudphdxduphxuxuxpiiiiiiiiii )5 . 2(),(24)()()(33312211121hodxudphdxduphxuxuxpiiiiiii )6 . 2(),()12)(4)(),(12)(2)()()()()()(22)4 . 2()5 . 2(2331221233121211121112111hodxudphhdxdupdxdhhdxdupdxdhodxudphhdxdupdxduphhhxu
14、xuxphxuxuxphhhhiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii ，得得，并并除除以以减减由由)7 . 2()()()()()()()()()()(2)()(,)6 . 2(),3 . 2(),(),(),(),(111121112112121uRfxuqxuxuhhrhxuxuxphxuxuxphhxuLxuxffxqqxrrxppiiiiiiiiiiiiiiiiiiiihiiiiiiii 满满足足方方程程：边边值值问问题题的的解解知知则则由由令令的的差差分分方方程程。题题便便得得逼逼近近边边值值问问的的截截断断误误差差，舍舍去去为为差差分分算算子子其其中中)2 . 2()
15、,1 . 2()()8 . 2(),(21121)(41)()(22233221uRLhodxudrdxudpdxdupdxdhhuRihiiiiii )10. 2(, 1, 1)9 . 2(2011112111211 NiiiiiiiiiiiiiiiiiiihuuNifuquuhhrhuuphuuphhuL8.2.2.2 8.2.2.2 积分插值法积分插值法恒恒律律具具有有形形式式上上的的热热量量守守内内任任一一小小区区间间程程，则则在在方方一一根根杆杆上上的的稳稳定定温温度度场场如如果果把把它它看看作作是是分分布布在在考考虑虑守守恒恒型型微微分分方方程程：, ,)13. 2().()()(
16、)2()1(xxbaxfuxqdxdupdxdLu )15. 2()()()14. 2(,)()(,)()2()1()2()1()2()1()2()1()2()1()2()1(dxduxpxWfdxqudxxWxWfdxqudxdxdxdupdxdxxxxxxxxxx 其其中中或或 ,)()(,)()()15. 2(,)()15. 2()()14. 2( ,)()(,)14. 2(1212121211121212121)2()1( iiiiiixxiiiixxxxiiiidxxpxWuuxxxpxWdxduxWxpfdxqudxxWxWxxxx积积分分，得得在在沿沿改改写写成成故故将将恒恒连连
17、续续流流量量”化化是是不不合合适适的的。但但“热热进进一一步步差差分分允允许许有有间间断断点点，由由考考虑虑到到则则对对偶偶单单元元取取特特别别于于考考虑虑守守恒恒型型微微分分方方程程： )18. 2(,2)17. 2(.)(1)16. 2(,1112121211iiiixxxxiiiiiiiudhhqudxxpdxhahuuaWiiii 又又利利用用中中矩矩形形公公式式，得得)21. 2(.)(2)20. 2(,)(21,)(21)14. 2()18. 2(),16. 2(21211111111 iixxiiiiiiiiiiiiiiiiiidxxfhhhhudhhhuuahuua ，即即得得
18、守守恒恒型型差差分分方方程程代代到到将将 )22. 2(),(),(),()21. 2()19. 2(),17. 2(,2121 iiiiiiiiixffxqqdxppafqp ，从从而而和和计计算算式式光光滑滑，则则可可用用中中矩矩形形公公系系数数及及右右端端如如果果)23. 2(),(21),(21,22121212111 iiiiiiiiiiifffqqdppppa也也可可用用梯梯形形公公式式，此此时时8.2.2.3 8.2.2.3 变分变分- -差分法差分法 )24. 2(, 0)()(,buaubxafu边边值值问问题题明明方方法法的的思思想想。我我们们用用一一个个简简单单例例子子说
19、说差差分分法法。分分格格式式，称称为为变变分分从从变变分分原原理理出出发发构构造造差差dxufdxuuJuJuJHubabaHu 2*10*)(21)(),(min)(10其其中中使使得得等等价价于于求求数值计算中，数值计算中，我们学习过我们学习过Lagrange插值多项式插值多项式公式：公式：Lagrange插值多项式插值多项式 先从最简单的线性插值先从最简单的线性插值(n=1)开始。这时插值问题就是求一次多项开始。这时插值问题就是求一次多项式式P1(x)=a0+a1x 使它满足条件使它满足条件P1(x0)=y0 , P1(x1)=y1 ,令令P1(x)=l0(x)y0+l1(x)y1 ,由
20、于由于l0(x0)=1, l0(x1)=0,l0(x0)=0, l1(x1)=1. 这样这样l0(x)含有因子含有因子x-x1, 令令 l0(x)=(x-x1), 再利用再利用 l0(x0)=1确定其中的确定其中的系数，结果得到系数，结果得到x-x1 l0(x)=- ,x0-x1类似的可得到类似的可得到 x-x0 l1(x)=- , x1-x0这样这样x-x1 x-x0P1(x)=-y0 + -y1 , x0-x1 x1-x0 l0(x), l1(x)称为以称为以x0 , x1 为节点的为节点的插值基函数插值基函数。 . )()()(21)(21)(. 0, 2 , 1,)(,),(11111
21、1112111201111 iiiiiiiixxiiNixxiiNiiiNixxNixxNiiiiiiiiiiihdxxfhxxudxxfhxxuhhuuufdxdxuuJuuNixxxuhxxuhxxxuuxbaxxuhhI于于是是表表为为的的值值连连续续，则则可可通通过过节节点点而而在在全全区区间间线线性性，在在每每一一区区间间是是均均匀匀网网格格假假定定 差差分分格格式式。的的变变分分就就是是逼逼近近其其中中或或，得得的的偏偏导导数数等等于于对对令令 )24. 2()25. 2()()()()(1)25. 2(0, 1, 2 , 1,200)(11112021111jjjjxxjxxjj
22、NjjjjjjjjjjdxxfxxdxxfxxhuuNjhuuuhhuuhuuuuJ 8.2.2.4 8.2.2.4 边值条件的处理边值条件的处理babubuauau)26. 2()()()26. 2()()(, 10, 10 值值条条件件现现在在处处理理第第二二、第第三三边边.)20. 2()(0)(0)26. 2( ,)26. 2()(,)(21101值值条条件件分分方方程程那那样样导导出出近近似似边边插插值值法法，像像推推导导内内点点差差积积分分的的对对称称性性。为为此此我我们们用用二二是是破破坏坏差差分分方方程程；，界界点点截截断断误误差差的的阶阶为为点点截截断断误误差差的的阶阶为为，
23、内内点点低低，例例如如对对均均匀匀网网格格一一是是截截断断误误差差的的阶阶比比内内两两个个缺缺点点：中中的的微微商商但但这这样样处处理理有有代代替替微微商商公公式式最最容容易易想想到到的的是是用用数数值值hhhuubuhuuaubaNNN bababububpauauap)27. 2()()()()27. 2()()()()26. 2()26. 2(, 10, 10 写写成成形形式式边边值值条条件件因因为为，不不失失一一般般性性可可将将)28. 2(,)()(),()()(,)()(,)14. 2(210210210210100211002121)2(0)1( xxxxaxxxxxfdxuqu
24、dxxWudxduxpaWfdxqudxxWaWxxaxx 故故而而得得中中取取于于积积分分守守恒恒形形式式)31. 2(,2,2)30. 2(,2,2)29. 2( ,)(1,)()26. 2(21021021021010100110001111101121 xxxxxxxxxxfdxhhfdxqdxhdudhqudxxpdxhhuuxW 又又得得由由的的差差分分方方程程。类类似似地地可可导导出出逼逼近近得得代代到到以以bhudhhuu)27. 2()32. 2( , 0)2()2()28. 2()31. 2()29. 2(01100101011 8.2.3 8.2.3 矩形网的差分格式矩形
25、网的差分格式连连续续函函数数。都都是是及及第第三三边边值值问问题题第第二二边边值值问问题题第第一一边边值值问问题题之之一一：在在上上满满足足下下列列边边值值条条件件，其其边边界界为为分分段段光光滑滑曲曲线线是是平平面面上上一一有有界界区区域域，方方程程考考虑虑0),(),(),(),(),()1 . 3()(),()1 . 3()(),()1 . 3()(),()1 . 3(),(),(321 yxkyxyxyxyxfyxkunuyxnuyxuGGyxyxfuPoisson 8.2.3.1 8.2.3.1 五点差分格式五点差分格式. 11,),(),().,(),(),(, 1, 0, 1,
26、0,.)(,21212121222121 jjiihyyhxxyxyxjiyxjhihjjhyiihxhhhhhyxiiiijijiji或或如如果果是是相相邻邻的的和和说说两两个个节节点点或或记记为为称称为为网网点点或或节节点点，两两族族直直线线的的交交点点直直线线：作作两两族族与与坐坐标标轴轴平平行行的的和和轴轴方方向向的的步步长长轴轴和和取取定定沿沿 否否则则称称为为非非正正则则内内点点。就就称称为为正正则则内内点点相相邻邻点点都都属属于于的的四四个个若若内内点点的的网网点点的的集集合合是是代代替替域域就就则则令令点点为为界界点点交交点点集集合合，并并称称如如此此的的的的与与或或表表示示网
27、网线线以以并并称称如如此此节节点点为为内内点点内内部部的的节节点点集集合合，表表示示所所有有属属于于以以;,),(.,.),(hjihhhhjihjihGyxGGGGGyyxxGGyxG )2 . 3(,)2 . 3(),(),(,),(,),()2 . 3( ,22,),(221,1,21, 1, 1 hhhjiijjihijjihhhijijjiijjijiijjiijhyyxxjifuyxffyxfuyxufujiufhuuuhuuuuuuyxyx可可简简写写成成则则差差分分方方程程表表示示网网函函数数，上上的的网网函函数数。若若以以表表示示节节点点式式中中，则则得得用用二二阶阶中中心心
28、差差商商代代替替方方向向分分别别为为正正则则内内点点，沿沿现现在在假假定定)3 . 3(),(0),(360),(12),(),(),(2),(6166444222211111hxyxuhxyxuhxyxuhyxuyxuyxuTaylorjijijijijiji 展展式式利利用用)4 . 3(),(0),(360),(12),(),(),(2),(6266444222211122hyyxuhyyxuhyyxuhyxuyxuyxujijijijijiji .)1 . 3(),(0)5 . 3(),(0),(),(121),(),()(2444224421的的光光滑滑解解是是方方程程其其中中的的截
29、截断断误误差差可可得得差差分分算算子子uhhyyxuhxyxuhyxuyxuuRjijijihjiijh 故故称称为为五五点点差差分分格格式式。其其四四个个邻邻点点上上的的值值，及及在在中中只只出出现现由由于于差差分分方方程程),()2 . 3(jiu(i,j)(I,j-1)(i,j+1)(i+1,j)(i-1,j)7 . 3()(41),(0)6 . 3(.4)(41)2 . 3(,1,1, 1, 121,1, 1, 121 jijijijiijijjijijijiijuuuuuLaplaceffhuuuuuhhh则则有有方方程程若若简简化化为为则则差差分分方方程程特特别别取取正正方方形形网
30、网格格：)(0),(12),(),(121),()(0),(12),(),()(121),()(0),(),(121),(),()4 . 3(),3 . 3(422422222222224224222222222222224442244211111hyxyxuhhyyxfhxyxfhyxfhyxyxuhhyyxuxyxuyhxhyxuhyyxuhxyxuhyxuyxujijijijijijijijijijijijih 两两式式相相加加，则则得得若若将将注注).(0),(),(2),(),(),(2),(2),(),(2),(1)(0),(),(2),(),(211111111111122212
31、22211224hyxuyxuyxuyxuyxuyxuyxuyxuyxuhhhhyxuyxuyxuyxyxujijijijijijijijijijixxjixxjixxji 又又).(0),(),(121),(),(),(),(),(),(),(),(),(2),(4121),(42222222111111111111122212221hyyxfhxyxfhyxfyxuyxuyxuyxuyxuyxuyxuyxuyxuhhhhyxujijijijijijijijijijijijijih 因因此此).(0),(),(121),),(2412142222222111111111111, 122212
32、221hyyxfhxyxfhfuuuuuuuuuhhhhujijiijjijijijijijijijiijijh其其截截断断误误差差的的阶阶为为格格式式：到到逼逼近近方方程程的的九九点点差差分分舍舍去去截截断断误误差差项项，便便得得 ., 1, 0,)21()21(.2121,221, 121点点的的交交点点为为对对偶偶剖剖分分的的界界点点直直线线与与边边界界内内部部者者为为对对偶偶剖剖分分的的内内交交点点属属于于其其和和行行于于坐坐标标轴轴的的直直线线作作两两族族平平记记对对偶偶剖剖分分为为此此我我们们需需要要作作五五点点格格式式现现在在用用积积分分插插值值法法推推导导 Gjiyyxxhjy
33、hixiiji.),(),(),(),(:),(2121212121212121ijjijijijijiGABCDyxDyxCyxByxAyx域域记记为为顶顶点点的的矩矩形形，其其内内部部区区为为表表示示以以用用考考虑虑对对偶偶剖剖分分的的网网点点对对于于任任一一正正则则内内点点 ABCD)8 . 3(.)1 . 3( ijGijfdxdydsnuPoissonGreenPoissonG方方程程的的积积分分守守恒恒形形式式：得得到到公公式式，并并利利用用方方程程积积分分于于21, 1121,21, 1121,.,hhuuhhuuhhuuhhuudsnuunuijjiijjiijjiijji 则
34、则代代替替外外法法向向导导数数分分，再再用用中中心心差差商商公公式式代代替替沿沿四四边边的的线线积积用用中中矩矩形形的的外外法法向向导导数数沿沿矩矩形形表表示示式式中中.)2 . 3()9 . 3(,22:,),8 . 3(221,1,21,1,121一一致致它它和和即即得得五五点点差差分分格格式式并并除除以以以以此此式式代代入入ijjiijjijiijjihuuuhuuuhh )11. 3().,(),(,.,)10. 3().,(*iiijhiihhhyxuyxGyxu 时时便便令令当当因因表表示示界界点点集集合合表表示示非非正正则则内内点点集集合合以以先先讨讨论论第第一一边边值值条条件件
35、).(0)(21)12. 3( ,)2(1)(1),(1110402221301011*hhhhfuuuhhuuhuuhGyxhii其其截截断断误误差差的的阶阶为为即即为为非非正正则则内内点点时时，有有当当 8.2.3.2 8.2.3.2 边值条件的处理边值条件的处理.)(0).1(0).12. 3()13. 3( ,)2(1)(1)12. 3(20402221301011（按按最最大大模模）仍仍然然是是证证明明，差差分分解解的的收收敛敛阶阶尽尽管管如如此此，仍仍可可此此时时截截断断误误差差的的阶阶降降为为代代替替可可用用为为了了保保持持对对称称正正定定性性，点点，即即破破坏坏了了对对称称性性
36、。处处理理边边值值条条件件有有一一个个缺缺按按hfuuuhhuuhuuh 的的差差分分逼逼近近。件件今今讨讨论论第第二二、三三边边值值条条)14. 3().,(yxkunu 得得公公式式，并并利利用用两两端端于于积积分分边边三三角角形形一一起起截截出出一一曲曲外外界界轴轴平平行行的的直直线线，他他们们与与轴轴和和分分别别作作与与过过之之相相邻邻的的内内点点是是与与和和是是界界点点，交交点点，如如图图中中的的节节点点是是两两族族网网线线的的假假定定GreenABCxyyxyxyxpyxpyxpjijijijijih,)1 . 3(),(),(,),(),(,),(6210002101002010
37、1000 .)()(.)15. 3(.000010212ACukdskudsnuCBhuudsnuBAhuusdnufdxdydsnupppCACAppBCppABABCABCA 弧弧弧弧弧弧弧弧弧弧)16. 3()()14. 3()15. 3(000010212 ABCpppppppfdxdyACukCBhuuBAhuu 的的差差分分方方程程：即即得得逼逼近近以以此此代代到到)17. 3(),(1)(1222, rfurrurrruPoissonr 方方程程形形如如，此此时时则则采采用用极极坐坐标标是是方方便便的的形形域域或或扇扇行行域域，如如果果求求解解域域是是圆圆环环、环环)18. 3(
38、. 0lim.000)17. 3(0 rurururrr满满足足从从而而界界的的条条件件有有于于趣趣的的解解，需需补补充充有有意意义义。为为了了定定出出有有兴兴时时奇奇异异，因因此此只只当当的的系系数数于于方方程程8.2.3.3 8.2.3.3 极坐标形式的差分格式极坐标形式的差分格式JhJjhjihirhhrjrir/2, 1, 1 , 0,)1(, 2 , 1 , 0,)5 . 0(., 令令和和分分别别取取等等步步长长关关于于变变量量),(211)(1)(1),0)(,(11,021, 122222, 1212121, 121),(),( iJiiJijijijiirjiiijiijii
39、irjiuuuuhuuururhururrurrrurrrirjirji 用用中中心心差差商商公公式式对对任任一一点点)19. 3).(,(21)(11),17. 3(21, 122, 1212121, 121jijijijiirjiiijiijiiirfhuuurhururrurri 得得到到逼逼近近它它的的差差分分方方程程则则就就代代到到.),(),(),(),(),18. 3(, 0,),17. 3(,),(2121212102102121210 jjrrjjdrfrdrdrrurudhurhhrrrhjhjrrjjrj 则则得得且且注注意意条条件件然然后后令令积积分分，到到由由对对积积
40、分分到到由由并并对对方方程程乘乘以以的的差差分分方方程程今今用用积积分分插插值值法法导导出出点点).,2(21),2(),2(2),(22121jrrjrjrjrrhfhhhuhuhurhh 积积分分，则则用用中中矩矩形形公公式式代代替替上上述述.2122),(021,001,0010jrjjjrjjrjfhhhuuuhuuhhr 的的差差分分方方程程：，就就得得出出点点再再用用中中心心差差商商代代替替微微商商得得到到差差分分格格式式。两两端端除除以以或或)20. 3.(242)21(021,001,02012jjjjrrjjrrfhuuuhhuuhhh 8.2.4 8.2.4 三角网的差分格
41、式三角网的差分格式体体积积法法或或广广义义差差分分法法。式式，文文献献上上常常称称为为有有限限推推广广到到三三角角网网的的差差分分格格将将矩矩形形网网的的差差分分格格式式从从积积分分插插值值法法出出发发，可可三三边边值值条条件件。上上满满足足第第一一、第第二二或或第第在在边边界界方方程程上上的的考考虑虑有有界界区区域域 )1 . 4(),(),(GyxyxfuPoissonG条条件件：要要求求小小三三角角形形满满足足如如下下使使之之和和分分割割成成有有限限个个小小三三角角形形然然后后把把的的多多边边形形围围城城的的逼逼近近为为由由，设设的的闭闭折折线线顶顶点点做做逼逼近近们们为为上上取取一一系
42、系列列节节点点，以以它它在在首首先先作作三三角角剖剖分分,.GGG 。，则则该该顶顶点点同同时时属属于于属属于于任任意意一一三三角角形形若若有有顶顶点点都都是是锐锐角角三三角角形形。大大于于任任意意一一小小三三角角形形内内角角不不形形的的公公共共顶顶点点。那那它它必必是是所所有有这这些些三三角角还还有有属属于于其其他他三三角角形形，任任意意一一三三角角形形的的顶顶点点若若全全部部覆覆盖盖。小小三三角角形形全全体体恰恰将将叠叠的的内内部部区区域域。任任意意两两个个小小三三角角形形无无重重 )5(,90)4()3()2()1(0G的的三三角角剖剖分分。分分割割成成一一三三角角网网，称称为为这这样样
43、，就就把把GG称称为为对对偶偶剖剖分分。的的一一个个新新的的网网格格剖剖分分，体体构构成成区区域域元元全全对对偶偶单单元元。这这些些对对偶偶单单点点的的小小多多边边形形域域，称称为为该该节节的的外外心心，从从而而得得到到围围绕绕们们依依次次交交于于相相应应三三角角形形，它它的的边边，过过每每边边作作中中垂垂线线和和以以它它为为端端点点的的三三角角形形单单元元有有以以它它为为顶顶点点的的三三角角形形对对于于任任一一节节点点，考考虑虑所所G得得积积分分在在子子域域围围成成的的对对偶偶单单元元六六边边形形是是由由的的中中点点是是线线段段的的外外心心下下同同为为三三角角形形相相邻邻的的节节点点是是和和
44、是是内内点点方方程程。如如图图设设现现就就每每一一内内点点建建立立差差分分),1 . 4(,),(,062100171006210GqqqGppmpppppqpppppiiiii )2 . 4(0000 GGGGfdxdydsnuGreenfdxdyudxdy上上式式改改写写成成公公式式，可可将将利利用用)3 . 4(),()()()(,6100110161000010 iGiiiiiqqGuRGmpupuppqqdsnudsnuGnGGii的的单单位位外外法法向向，注注意意是是的的边边界界是是 0000)(1)4 . 4(,)()()2 . 4()(,)(),(00000110100017G
45、iGiiiiGGfdxdyGmGmfdxdyuuppqqpuRuRGGmqq 的的差差分分方方程程：，既既得得点点并并舍舍去去以以此此代代到到是是截截断断误误差差，的的面面积积是是其其中中)5 . 4()(,)1 . 3(.,01043211000pupmqqqmppp 则则令令件件上上给给的的第第一一边边值值条条若若在在对对偶偶单单元元为为相相应应的的是是界界点点。如如图图设设其其次次建建立立界界点点差差分分方方程程类类似似地地有有此此时时和和如如图图则则需需要要补补充充一一个个方方程程，就就是是第第二二边边值值条条件件例例如如值值条条件件，若若给给的的是是第第二二或或第第三三边边)2 .
46、4(.)0()6 . 4( kkunu 0p2p1p0G3p4p1m2m3m4m3q1q2q)3 . 4(0433221111004 Gmqqqqqqmmppmfdxdydsnudsnudsnudsnudsnudsnu),(),(.022021011011043211002111uuppqqdsnuuuppqmdsnupmqqqmpGqqqm 上上式式左左端端离离散散得得围围成成的的多多边边形形是是由由此此处处210140404)8 . 4(),3(41(21)8 . 4(),3(41(21),(21()(101040400404ppmpppmppmpmuukppdsnuuukppuukpmd
47、skudsnu 称称的的稀稀疏疏矩矩阵阵。，其其系系数数矩矩阵阵是是对对封封闭闭的的线线性性代代数数方方程程组组差差分分方方程程组组成成一一个个显显然然所所有有内内点点、界界点点的的程程，就就得得到到界界点点的的差差分分方方将将这这些些公公式式代代到到)7 . 4(格格式式恰恰是是五五点点格格式式。矩矩阵阵，由由此此导导出出的的差差分分元元是是角角三三角角剖剖分分”，对对偶偶单单直直角角三三角角形形，得得到到“直直个个将将每每一一矩矩阵阵单单元元分分成成两两在在矩矩形形网网上上用用向向对对角角线线五五点点差差分分格格式式例例1显显然然元元的的对对偶偶单单是是围围绕绕围围城城的的多多边边形形域域
48、六六边边形形正正的的外外心心依依次次交交于于中中垂垂线线作作中中点点的的过过相相邻邻的的六六个个节节点点为为设设与与为为取取一一内内节节点点的的边边长长正正三三角角形形，每每个个三三角角形形正正三三角角网网上上的的差差分分格格式式例例.,.,200621100065432100pGqqqqpppppmpppppppppphiiiiii )9 . 4(.),(32)6(32)4 . 4(23)(3,06120220010 GiiiiidxdyyxfhuuhhGmGhqqhpp为为因因此此差差分分格格式式的的面面积积式式正正六六边边形形网网上上的的差差分分格格例例3 321)10. 4(.),(3
49、34)3(34.433,3,.,231022321100321321003210qqqiiiiiiiidxdyyxfhuuhhqqqhqqhpppqqqqqqppmpppppph因因此此差差分分格格式式为为的的面面积积为为对对偶偶单单元元的的对对偶偶单单元元，显显然然是是围围绕绕角角形形。三三依依次次交交于于六六边边形形的的中中心心中中垂垂线线作作的的中中点点过过相相邻邻的的三三个个节节点点为为与与之之为为任任一一内内节节点点设设正正六六边边形形网网，边边长长8.2.5 8.2.5 极值定理极值定理的的方方法法。理理是是作作这这类类估估计计最最常常用用值值定定作作出出某某种种先先验验估估计计，
50、极极稳稳定定性性，需需要要对对差差分分解解及及性性、收收敛敛速速度度的的估估计计以以为为了了得得到到差差分分解解的的收收敛敛1)(),( , )(5.1)xxyyxyAuBuCuDuEuFx yGu差分方程考虑二阶椭圆偏微分方程的第一边值问题：（. 0, 0),(, 0),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(minmin1 EByxBAyxACGCyxFyxEyxDyxCGCyxByxA且且属属于于属属于于其其中中 。使使前前后后两两点点为为相相邻邻节节点点排排成成下下列列顺顺序序：可可与与串串节节点点必必有有一一对对任任意意二二节节点点就就是是说说是是连连通通的的总总假假
