1、 在人类社会中，经济活动是最为活跃的活在人类社会中，经济活动是最为活跃的活动之一。小到个人，大到企业和国家，每天都动之一。小到个人，大到企业和国家，每天都要与经济问题打交道。本章将介绍几个有代表要与经济问题打交道。本章将介绍几个有代表性的经济模型，以了解用数学建模解决经济问性的经济模型，以了解用数学建模解决经济问题的一些方法。题的一些方法。1. 1. 连续利率问题连续利率问题 某银行为吸引储户来存款，出台了一个特殊存款理某银行为吸引储户来存款，出台了一个特殊存款理财品种。该品种的政策是允许储户在一年期间可以任意财品种。该品种的政策是允许储户在一年期间可以任意次结算，但要求储户存款的最低金额为次
2、结算，但要求储户存款的最低金额为1010万元且存款时万元且存款时间至少间至少1 1年。年。 假设该银行年利率为假设该银行年利率为5%5%，某储户买了，某储户买了1010万元的这个万元的这个存款理财品种，随后他在一年的存款期间等间隔的结算存款理财品种，随后他在一年的存款期间等间隔的结算n n次，每次结算后将本息全部存入银行，问在不计利息税次，每次结算后将本息全部存入银行，问在不计利息税的情况下，一年后该储户的本息和是多少？的情况下，一年后该储户的本息和是多少？ 设设 表示在一年的存款期间里等间隔的结表示在一年的存款期间里等间隔的结算算n n次一年后该储户的本息和。次一年后该储户的本息和。 分析：
3、分析：模型建立模型建立,0,1,2,na n 若该储户若该储户每季度结算一次每季度结算一次，则每季度利率为：，则每季度利率为：0.054一年要结算一年要结算4 4次：次：第一季度后储户本息共计：第一季度后储户本息共计： 0.05100000(1)4第二季度后储户本息共计：第二季度后储户本息共计：20.05100000(1)4 第三季度后储户本息共计：第三季度后储户本息共计：30.05100000(1)4 一年后该储户本息共计：一年后该储户本息共计：440.05100000(1)4a 模型建立模型建立若该储户若该储户每月结算一次每月结算一次，则每月利率为：，则每月利率为：0.0512一年要结算一
4、年要结算1212次：次：第第1个月后储户本息共计：个月后储户本息共计： 0.05100000(1)12第第2个月后储户本息共计：个月后储户本息共计：20.05100000(1)12 第第11个月后储户本息共计：个月后储户本息共计：110.05100000(1)12 一年后该储户本息共计：一年后该储户本息共计：12120.05100000(1)12a 观察规律可知，若该储户一年里等间隔地结观察规律可知，若该储户一年里等间隔地结算算n次，则一年后本息共计数学模型：次，则一年后本息共计数学模型：0.05100000(1)nnan模型讨论模型讨论na1412105000,105095,105116aa
5、a0.050.05100000(1)100000nnLimen0.05100000100000 (1 5%)100000 0.127%e计算出几个计算出几个值值 会发现的确结算次数越多，一年后得到会发现的确结算次数越多，一年后得到的本息和越多，如有的本息和越多，如有因为因为 结果说明该理财品虽然会结果说明该理财品虽然会随着结算次数的增加使储户随着结算次数的增加使储户一年后储户的本息和比一年的定期存款多一点。由于一年后储户的本息和比一年的定期存款多一点。由于 故有一年期间多次结算产生的比一年定期存款多的金额故有一年期间多次结算产生的比一年定期存款多的金额不会超过储户存款金额的不会超过储户存款金额
6、的0.13% 0.13% ！2.2.连续利率问题连续利率问题 小王夫妇打算贷款买一辆小王夫妇打算贷款买一辆1111万元的轿车用于家万元的轿车用于家庭活动。他们选择了首付车价额庭活动。他们选择了首付车价额30%30%，余额贷款，余额贷款的方式购买。的方式购买。 假设他们打算用每月偿付固定的钱款分假设他们打算用每月偿付固定的钱款分1212个月个月还清银行贷款，他们每月要还多少钱才行？还清银行贷款，他们每月要还多少钱才行？问题分析问题分析 要要1212个月还清贷款，故要选择银行的个月还清贷款，故要选择银行的一年贷款。一年贷款。 假设当年的年贷款利率为假设当年的年贷款利率为6.57%6.57%，故分，
7、故分配到每月上的利率就是配到每月上的利率就是0.06570.0657 1212。 此外，他们选择了首付车价额此外，他们选择了首付车价额30%30%，则，则还欠车款的金额为：还欠车款的金额为：110000 110000 30%77000要向银行借为期一年的贷款要向银行借为期一年的贷款77000元元 。 设设 表示贷款第表示贷款第n个月该夫妇所欠银行的钱数，个月该夫妇所欠银行的钱数，r是贷款的月利率，是贷款的月利率，x是每月还款金额，由题意有是每月还款金额，由题意有模型建立模型建立,0,1,2,nb n 整理有数学模型整理有数学模型： 一年后该储户本息共计：一年后该储户本息共计： 11nnnnbb
8、r bxr bx 120011111111,0,1,nnnnnnbrbrrrxrrbxnr因为因为有：有： 故小王夫妇每月要还故小王夫妇每月要还6647.31元元 0120.0657/120.5475%,77000,0rbb1201216647.3111rrbxr 假设某人贷款额为假设某人贷款额为B元，贷款机构的贷款月利率为元，贷款机构的贷款月利率为r，其每月偿付固定的钱款为其每月偿付固定的钱款为x 元元. 同样设同样设 表示贷款第表示贷款第n个月该贷款人所欠个月该贷款人所欠银行的钱数。则有对一般的贷款问题数学模型为：银行的钱数。则有对一般的贷款问题数学模型为：讨论讨论111,0,1,nnnr
9、brBxnr,0,1,2,nb n 3. 3. 养老金问题养老金问题 假设某人从现在开始，每月的第一天存假设某人从现在开始，每月的第一天存500元到养老金账元到养老金账户，一直存户，一直存20年。在银行活期率为年。在银行活期率为1%的前提下，他的前提下，他20年后年后的养老金账户有多少存款？如果从的养老金账户有多少存款？如果从21年后的每个月末支取年后的每个月末支取500元，他能支取多长时间？元，他能支取多长时间？ 养老金是为退休目的而规划的一种存取款品种。通常人们养老金是为退休目的而规划的一种存取款品种。通常人们可以在年轻时按月存入一定数额的钱款，然后在自己退休后按可以在年轻时按月存入一定数
10、额的钱款，然后在自己退休后按月从先前的存款账户中支取固定的钱款用于生活。养老金对存月从先前的存款账户中支取固定的钱款用于生活。养老金对存入的存款付给活期存款利息并允许每月有固定数额的提款，直入的存款付给活期存款利息并允许每月有固定数额的提款，直到提尽为止。到提尽为止。 设设 表示第表示第n个月此人养老金账户的存款个月此人养老金账户的存款金额，金额，r表示活期存款的月利率，因为活期存款的利率也是年表示活期存款的月利率，因为活期存款的利率也是年利率，故有：利率，故有：模型建立模型建立,0,1,2,24na n 整理有数学模型整理有数学模型： 010.01/121/1200,01500nnraar
11、a1201500 1111nnnnararrr11500,1,2,240nnranr即：即：模型建立模型建立他他20年后的养老金账户的存款为年后的养老金账户的存款为：从从21年后，他每月末支取年后，他每月末支取500元，设元，设 表示其从第表示其从第21年开始的第年开始的第n个月的支取后，其养老金账个月的支取后，其养老金账户的余额，则有户的余额，则有 240132781a,0,1,2,nb n 15001500nnnnbbr br b 0111500,0,1,nnnrbrbnr整理整理要回答他能支取多长时间，就要求出上式中满足要回答他能支取多长时间，就要求出上式中满足 0nb 的最大的最大n
12、n。 该式不易用解析式求出，我们采用直接计算的方式求之。该式不易用解析式求出，我们采用直接计算的方式求之。 02401/1200,132781rba由由元代入算得临界点元代入算得临界点300301141,358bb 由此知此人从第由此知此人从第21年开始可以连续领年开始可以连续领300个月的钱款。个月的钱款。 无论你是听广播，还是看报纸，或是收看电视，常可无论你是听广播，还是看报纸，或是收看电视，常可看到、听到商品广告。随着社会向现代化的发展，商品广看到、听到商品广告。随着社会向现代化的发展，商品广告对企业生产所起的作用越来越得到社会的承认和人们的告对企业生产所起的作用越来越得到社会的承认和人
13、们的重视。重视。 商品广告确实是调整商品销售量的强有力手段，然而，商品广告确实是调整商品销售量的强有力手段，然而，你是否了解广告与销售之间的内在联系？如何评价不同时你是否了解广告与销售之间的内在联系？如何评价不同时期的广告效果？这个问题对于生产企业、对于那些为推销期的广告效果？这个问题对于生产企业、对于那些为推销商品作广告的企业极为重要。商品作广告的企业极为重要。 请建立独家销售的广告模型。请建立独家销售的广告模型。问题的提出问题的提出1商品的销售速度会因做广告而增加，但增加是有一商品的销售速度会因做广告而增加，但增加是有一定限度的。当商品在市场上趋于饱和时，销售速度定限度的。当商品在市场上趋
14、于饱和时，销售速度将趋于它的极限值；当速度达到它的极限值时，无将趋于它的极限值；当速度达到它的极限值时，无论再作何种形式的广告，销售速度都将减慢；论再作何种形式的广告，销售速度都将减慢；2. 商品销售速度随商品的销售率增加而减小，因为自然商品销售速度随商品的销售率增加而减小，因为自然衰减是销售速度的一种性质；衰减是销售速度的一种性质；模型假设模型假设符号说明符号说明S(t)：t 时刻商品销售速度；时刻商品销售速度；A(t)：t 时刻广告水平（以费用表示）；时刻广告水平（以费用表示）；r(s)：销售速度的净增长率；：销售速度的净增长率；M： 销售的饱和水平，即市场对商品的最大容销售的饱和水平，即
15、市场对商品的最大容纳能力，它表示销售速度的上极限；纳能力，它表示销售速度的上极限；：衰减因子，是广告作用随时间增加而商品销：衰减因子，是广告作用随时间增加而商品销售速度自然衰减的速度，售速度自然衰减的速度，0为常数为常数。模型建立模型建立商品销售速度的变化商品销售速度的变化=增长增长-自然衰减自然衰减)(1()(MtsPsr 商品销售速度随时间的变化关系为商品销售速度随时间的变化关系为: 由假设由假设1知商品销售速度的净增长率知商品销售速度的净增长率r(s)应该是商品销售应该是商品销售速度速度s(t)的减函数，并且在销售饱和水平的减函数，并且在销售饱和水平M处，有处，有r(M)=0。 为简单起
16、见，设为简单起见，设 )()()(1(tstAMtsPdtds 模型求解模型求解 为求解该模型，选择一个广告策略为求解该模型，选择一个广告策略: ttAtA 00 )()(常量常量 在时间段在时间段(0, )内内，用于广告的总费用为，用于广告的总费用为a，则，则 ， 代入模型方程有代入模型方程有 aA aPsaMPdtds)(令令baMP kaP ， 则有则有kbsdtds 其解为其解为 btbtesebkts 0)1()(在时间段在时间段 , ),模型变为模型变为sdtds 其解为其解为 )()()(tests 综合之，有本问题的解为综合之，有本问题的解为 testesebktstbtbt
17、)(0 )1()()(0模型讨论模型讨论 1企业若保持稳定销售企业若保持稳定销售,根据模型估计采用广告水平根据模型估计采用广告水平 ( )( )(1)( )0,0s tdsPA ts tMdt)1 ()(MsPstA2.在销售水平比较低的情况下，每增加单位广告产生的效在销售水平比较低的情况下，每增加单位广告产生的效果比销售速度接近极限速度的水平时，增加广告所取得的果比销售速度接近极限速度的水平时，增加广告所取得的效果更显著。效果更显著。 解得解得3.要得到某种商品的实际销售速度，可以采用离要得到某种商品的实际销售速度，可以采用离散化方式得到模型中的参数散化方式得到模型中的参数 ，方法为：，方法
18、为：将模型（将模型（1）离散化，得）离散化，得)()(1)()() 1(nsMnsnPAnsns,P MPPM、 、PM、上式关于数上式关于数的线性方程（严格的说应该是的线性方程（严格的说应该是的线性方程），代入若干个月的销售数据，并利用最的线性方程），代入若干个月的销售数据，并利用最小二乘法可以得到小二乘法可以得到 的估计值的估计值。,P M 大到一个国家的国民产值，小到一个企业中大到一个国家的国民产值，小到一个企业中某种产品的生产量，其值通常取决于相关的生产某种产品的生产量，其值通常取决于相关的生产资料和劳动力等重要因素。而这些量之间究竟存资料和劳动力等重要因素。而这些量之间究竟存在何种依
19、赖关系，进而劳动生产率提高的条件是在何种依赖关系，进而劳动生产率提高的条件是什么？什么？问题的提出问题的提出 1.生产量只取决于生产资料（厂房、设备、技术革新等）生产量只取决于生产资料（厂房、设备、技术革新等）和劳动力（数量、素质等）；生产量，生产资料和劳动和劳动力（数量、素质等）；生产量，生产资料和劳动力都是随着时间的变化而不断改变的；力都是随着时间的变化而不断改变的；2.劳动力服从指数增长规律，相对增长率为常数；生产资劳动力服从指数增长规律，相对增长率为常数；生产资料的增长率正比于生产量；料的增长率正比于生产量；3.劳动生产率可由生产量与劳动力之比来表征。劳动生产率可由生产量与劳动力之比来
20、表征。模型假设模型假设符号说明符号说明符号符号tQKLZ含义含义时间时间生产量生产量生产资料生产资料劳动力劳动力 劳动生产率劳动生产率模型建立与求解模型建立与求解由假设由假设1，有如下函数关系，有如下函数关系 在正常情况下，生产资料越多，可以达到的生产量就越在正常情况下，生产资料越多，可以达到的生产量就越多；另外，在劳动力越多时，如果不考虑会产生人员冗余致多；另外，在劳动力越多时，如果不考虑会产生人员冗余致使劳动效率的极端低下，则生产总量也会越多。因此，用数使劳动效率的极端低下，则生产总量也会越多。因此，用数学来描述就是学来描述就是 (,),( ),( ),( )Qf K LQQ tKK tL
21、L t0,LQKQ)0()()(,)0()()(,)0()()(KtKtiLtLtiQtQtiKLQ在实际生产中，人们关心的往往是生产的增产量，而不是绝在实际生产中，人们关心的往往是生产的增产量，而不是绝对量。因此，定义生产资料指数对量。因此，定义生产资料指数iK , 劳动力指数劳动力指数 iL与总产量指与总产量指数数iQ分别为分别为 这三个量与度量单位无关，又分别称之为这三个量与度量单位无关，又分别称之为“无无量纲化量纲化”的生产资料、劳动力与总产量。的生产资料、劳动力与总产量。 附表：美国马萨诸塞州附表：美国马萨诸塞州18901926年数据年数据)(tiK)(tiL)(tiQ)(tiK)(
22、tiL)(tiQt)(tiK)(tiL)(tiQtt-90.950.780.7241.221.221.30173.611.862.09-80.960.810.7851.271.171.30184.101.931.96-70.990.850.8461.371.301.42194.361.962.20-60.960.770.7371.441.391.50204.771.952.12-50.930.720.7281.531.471.52214.751.902.16-40.860.840.8391.571.311.46224.541.582.08-30.820.810.81102.051.431.60
23、234.541.672.24-20.920.890.93112.511.581.69244.581.822.56-10.920.910.96122.631.591.81254.581.602.3401.001.001.00132.741.661.93264.581.612.4511.041.051.05142.821.681.95274.541.642.5821.061.081.18153.241.652.0131.161.181.29163.241.622.00附表显示，在正常的经济发展过程中（除个别年份外，如附表显示，在正常的经济发展过程中（除个别年份外，如1908年），上述三个指标都是虽
24、时间增长的，但是，我们很年），上述三个指标都是虽时间增长的，但是，我们很难直接从表上发现具体的经济规律，为了定量分析，我们定义难直接从表上发现具体的经济规律，为了定量分析，我们定义两个新变量两个新变量)()(ln)(tititKL)()(ln)(tititKQ-1-0.8-0.6-0.4-0.2-1-0.8-0.6-0.4-0.2附表的附表的),(图图 利用数据拟合，作一元线性回归曲线，可得利用数据拟合，作一元线性回归曲线，可得733674. 0) 1 , 0(, 这一结果并非偶然，事实上它被后来更多地区或国家的这一结果并非偶然，事实上它被后来更多地区或国家的统计数据所肯定：存在常数统计数据所
25、肯定：存在常数，使得，使得之间的关系为之间的关系为1KLQiii由前面公式，易得由前面公式，易得1KLaQ得道格拉斯生产函数：得道格拉斯生产函数： )0()0()0()1( KLQa等价于等价于 2.2.劳动生产率增长的条件劳动生产率增长的条件 ：( )( )/( )ZZ tQ tL t0)(tZ根据假设根据假设3，劳动生产率，劳动生产率持续增长的条件应为持续增长的条件应为恒成立。恒成立。 0)(/ )(tZtZ0)(tZ1KLaQ)(/ )()(tLtQtZ)()()(11tKtLatZ将将代入代入，得，得两边同时取对数，然后对两边同时取对数，然后对t求导，可得：求导，可得：)()1 (LL
26、KKZZ持续增长的条件应为持续增长的条件应为两边同时取对数，然后对两边同时取对数，然后对t求导，可得：求导，可得：)()1 (LLKKZZLLKK 说明持续增长的条件应为对生产资料投入的相对增长说明持续增长的条件应为对生产资料投入的相对增长率要恒大于劳动力的相对增长率。率要恒大于劳动力的相对增长率。根据模型假设根据模型假设有如下初值问题模型：有如下初值问题模型：001) 0 () 0 (LLKKLKaQQKLL0( )tL tL e) 1()(00 teLaKtK解之，得解之，得， 000(0)(0)KKLKLKLKLK t此时有此时有其恒取正值的充分必要条件为其恒取正值的充分必要条件为0)
27、0 () 0 (00LLKK说明早期投资是有决定性意义的！说明早期投资是有决定性意义的！ KKLLKKZZ000)0()0()1 (简单推导易得简单推导易得 知当知当 时上式右端趋于零，说明劳动生产率最时上式右端趋于零，说明劳动生产率最终趋于一常数值。终趋于一常数值。 t 市场中当某种商品的上市量远大于需求量时，会市场中当某种商品的上市量远大于需求量时，会出现价格下降的情况，使生产者在后续的生产中就不出现价格下降的情况，使生产者在后续的生产中就不生产或少生产该商品。结果是导致该商品上市量变少生产或少生产该商品。结果是导致该商品上市量变少使该商品供不应求又导致价格上涨，此时，生产者又使该商品供不
28、应求又导致价格上涨，此时，生产者又重操旧业大量生产该商品，以致下个时期又重现价格重操旧业大量生产该商品，以致下个时期又重现价格下降的局面。下降的局面。 如果没有外界的干预，该情况会不断循环出现。如果没有外界的干预，该情况会不断循环出现。 请尝试用数学建模的方式表述和研究该现象，用请尝试用数学建模的方式表述和研究该现象，用你的研究结果提出合理化建议对付市场经济中的这个你的研究结果提出合理化建议对付市场经济中的这个问题。问题。1.商品的价格只由商品的供需数量决定；商品的价格只由商品的供需数量决定；2.商品的数量只由商品的价格大小决定。商品的数量只由商品的价格大小决定。 模型假设模型假设 商品的生产
29、时间可以用时段（也称时期）表示，一个时商品的生产时间可以用时段（也称时期）表示，一个时段表示的是商品的一个生产周期，例如人们常说的种植周段表示的是商品的一个生产周期，例如人们常说的种植周期，饲养周期等。期，饲养周期等。问题分析问题分析 从上图可知，商品的价格和数量是震荡的。在现实中，从上图可知，商品的价格和数量是震荡的。在现实中，这种震荡可能越来越大，也可能越来越趋向平稳。这种震荡可能越来越大，也可能越来越趋向平稳。 本节主要讨论基于市场经济不稳定时，这种震荡呈现什么本节主要讨论基于市场经济不稳定时，这种震荡呈现什么样的状况，而政府此时应该怎样采取措施保持经济的稳定。样的状况，而政府此时应该怎
30、样采取措施保持经济的稳定。 在市场经济中，商品生产的特点可以用如下图示表示在市场经济中，商品生产的特点可以用如下图示表示数量增多数量增多 价格下降价格下降 生产量减少生产量减少 数量减少数量减少 价格上涨价格上涨 产量增多产量增多 - 模型建立模型建立设第设第k时段商品数量为时段商品数量为 ，价格，价格 ，由假设和分析有，由假设和分析有而下一时段的数量由上一时段的价格决定，有而下一时段的数量由上一时段的价格决定，有kQkP,1,2,kkPf Qk11,2,kkQh Pk,1,2,kkPf Qk称为需求函数，是单调下降的称为需求函数，是单调下降的 11,2,kkQh Pk称为供应函数，是单调上升
31、的称为供应函数，是单调上升的 收敛型蛛网收敛型蛛网封闭型蛛网封闭型蛛网发散型蛛网发散型蛛网模型讨论模型讨论 从图形上可知，一旦需求曲线和供应曲线被确定下来，从图形上可知，一旦需求曲线和供应曲线被确定下来，商品数量和价格是否趋向稳定就完全由这两条曲线在附近商品数量和价格是否趋向稳定就完全由这两条曲线在附近的形状决定的形状决定。 观察比较上述图的不同，可以发现观察比较上述图的不同，可以发现D和和S的陡缓不同，即的陡缓不同，即斜率的不同直接影响着该经济活动的稳定性。斜率的不同直接影响着该经济活动的稳定性。 记记D的斜率绝对值为的斜率绝对值为 ，S的斜率为的斜率为 ，图形直观告诉我们：图形直观告诉我们
32、：fKgK1/fgKK是稳定的是稳定的 1/fgKK不稳定的不稳定的 1/fgKK封闭的封闭的 实际情况解释实际情况解释1）实际上，需求曲线）实际上，需求曲线D和供应曲线和供应曲线S的具体形式通常是根据的具体形式通常是根据各个时段商品数量和价格的一系列统计资料得到的。各个时段商品数量和价格的一系列统计资料得到的。 一般的说，一般的说，D取决于消费者对这种商品的需求程度和他们取决于消费者对这种商品的需求程度和他们的消费水平，例如消费者收入增加或者需求程度很高时，的消费水平，例如消费者收入增加或者需求程度很高时，D会会向上移动；向上移动；S则与生产者的生产能力、经营水平等有关，比如则与生产者的生产
33、能力、经营水平等有关，比如当生产力提高时，当生产力提高时，S会向右移动。会向右移动。2）由方程知，）由方程知，a表示商品供应量减少一个单位时价格的上涨表示商品供应量减少一个单位时价格的上涨幅度，幅度，b表示价格上涨一个单位时下个时期商品供应的增加量。表示价格上涨一个单位时下个时期商品供应的增加量。经济不稳定时的干预方法经济不稳定时的干预方法 根据斜率根据斜率a，b的意义，容易对市场经济稳定与否的条件的意义，容易对市场经济稳定与否的条件作出解释。作出解释。当供应函数当供应函数S确定时，确定时，a越小，需求曲线越小，需求曲线D越平，表明消越平，表明消费者对商品需求的敏感度越小，易成立，有利于经济稳
34、费者对商品需求的敏感度越小，易成立，有利于经济稳定。定。当需求函数当需求函数D确定时，确定时，b越小，供应曲线越小，供应曲线S越陡，表明生越陡，表明生产者对价格的敏感程度越小，也有易成立，有利于经济产者对价格的敏感程度越小，也有易成立，有利于经济稳定。稳定。当当a，b较大，表明消费者对商品的需求和生产者对价格较大，表明消费者对商品的需求和生产者对价格都很敏感，则会致都很敏感，则会致 成立，经济不稳定。成立，经济不稳定。政府采用的干预办法政府采用的干预办法1.使使a尽量小。尽量小。 考察极端情况，考察极端情况，a =0时，即需求曲线水平，不论供应曲时，即需求曲线水平，不论供应曲线如何，总成立，经济总稳定。这种办法相当于控制线如何，总成立，经济总稳定。这种办法相当于控制物价，无论商品数量多少，命令价格不得改变。物价，无论商品数量多少，命令价格不得改变。2.使使b尽量小。尽量小。 考察极端情况，考察极端情况，b=0时，即供应曲线竖直，不论需求曲时，即供应曲线竖直，不论需求曲线如何，总成立，也总稳定。这种办法相当于控制市线如何，总成立，也总稳定。这种办法相当于控制市场上商品的数量。场上商品的数量。
