1、在恒定磁场中电子的运动在恒定磁场中电子的运动1. 恒定磁场中的准经典运动恒定磁场中的准经典运动 恒定磁场中电子运动的基本方程恒定磁场中电子运动的基本方程1( )( )( )kv kE kdkqv kBdt 2）洛伦兹力不做功，能量）洛伦兹力不做功，能量 不随时间变化，电子在不随时间变化，电子在k空空 间的等能面上运动间的等能面上运动( )E kv1）沿磁场方向）沿磁场方向 的分量不发生变化的分量不发生变化kv 电子在电子在k空间的运动轨迹是垂直于磁场的平面与等能面空间的运动轨迹是垂直于磁场的平面与等能面 的交线的交线TB等能面.nb3D tight binding2. 自由电子的准经典运动自由
2、电子的准经典运动 自由电子的能量自由电子的能量22( )2kE km1( )( )( )kv kE kdkqv kBdt vvvhvvvvh(0, 0,)BBv( )()kv kmdkqkBdtm k 空间电子的运动空间电子的运动222222()()xxyyd kqBkdtmd kqBkdtm 222222()0()0 xxyyd kqBkdtmd kqBkdtmmqB0回转频率回转频率,0yxzyxdkdkdkqBqBkkdtmdtmdt k空间电子在空间电子在 面上做圆周运动面上做圆周运动(,)xykk0 xyyxzdkqBkdtmdkqBkdtmdkdt k空间电子在空间电子在 面上做圆
3、周运动面上做圆周运动(,)xykk 实空间电子的运动实空间电子的运动( )kv kmvvhv0 xyyxzdvqBvdtmdvqBvdtmdvdt ( )dv kdkdtm dt( )1( )dv kqv kBdtm( )dkqv kBdt vvvvh0)(0)(222222ymqBdtydxmqBdtxd 在在(x, y)平面做匀速圆周运动平面做匀速圆周运动mqB0回转频率回转频率xyyxdvqBvdtmdvqBvdtm 对时间求导对时间求导2222yxyxdvd vqBdtm dtd vdvqBdtm dt 222222()0()0 xxyyd vqBvdtmd vqBvdtm0 xyyx
4、zdvqBvdtmdvqBvdtmdvdt 电子在电子在z方向做匀速运动，在方向做匀速运动，在(x, y)平面做匀速圆周运动平面做匀速圆周运动222222()0()0d xqBxdtmd yqBydtm3. 自由电子情况的量子理论自由电子情况的量子理论 无磁场时自由电子哈密顿量无磁场时自由电子哈密顿量22222pHmm 有磁场时有磁场时21()2HpqAmvv2221()2xyzpqByppmH磁场沿磁场沿z轴轴BAvv,xyzpipipixyz hhh(, 0, 0)ABy v,0,0 xzHpHpxxzzpkpk, x z因为哈密顿量不含因为哈密顿量不含选波函数为选波函数为 本征态本征态)
5、,(zxpp2221()2xyzpqByppmH波函数波函数()( )xzi k x k zey2221()2xyzpqByppEm22221() ( )( )2xyzkqBypkyEym2222222() () ( )() ( )222zxkm qBkyyEym ymqBmhhh得到得到2200,2zxkqBykEmqBmhh令令2222yypipyy hh2222002() ( )( )22myyyym y2001()2000()()y ynyyeHyy01()2nn 简谐振子方程简谐振子方程简谐振子波函数简谐振子波函数能量本征值能量本征值在磁场中自由电子的波函数在磁场中自由电子的波函数2
6、001()()200()xzy yi k x k zneeHyy222znkEm能量本征值能量本征值 在在(x, y)平面内的圆周运动对应一种简谐振荡，能量是平面内的圆周运动对应一种简谐振荡，能量是 量子化的量子化的2201()22zknm 这些量子化的能级称为这些量子化的能级称为朗道能级朗道能级能量本征值能量本征值2201()22zkEnm 朗道能级朗道能级4. 晶体中电子的有效质量近似晶体中电子的有效质量近似 晶体中电子在磁场中的运动时，其哈密顿量晶体中电子在磁场中的运动时，其哈密顿量21()( )2HpqAV rm21()2*HpqAm 将周期性势场的影响概括为有效质量的变化将周期性势场
7、的影响概括为有效质量的变化 有效质量近似方法有效质量近似方法哈密顿量哈密顿量 半导体中能带底和能带顶附近采用有效质量近似处理半导体中能带底和能带顶附近采用有效质量近似处理 碱金属也可以采用有效质量近似碱金属也可以采用有效质量近似 采用有效质量近似后，晶体中电子在磁场中的运动变采用有效质量近似后，晶体中电子在磁场中的运动变为自由电子在磁场中的运动，前面的结果中将电子的质量为自由电子在磁场中的运动，前面的结果中将电子的质量m用有效质量用有效质量m*代替代替*0mqB回转频率回转频率磁场中自由电子的波函数磁场中自由电子的波函数2001()()200()xzy yi k x k zneeHyy222*
8、znkEmh能量本征值能量本征值2201()22*zknm回旋共振回旋共振0*qBm2201()22*zkEnmhh 晶体中电子在磁场中的运动时，采用有效质量近似后晶体中电子在磁场中的运动时，采用有效质量近似后 电子做螺旋运动电子做螺旋运动 回转频率回转频率 能量本征值能量本征值 朗道能级朗道能级 在垂直于磁场的方向施加一个交变电场，当在垂直于磁场的方向施加一个交变电场，当0*qBm电子将吸收交变电场的能量电子将吸收交变电场的能量 电子发生共振吸收，称为回旋共振电子发生共振吸收，称为回旋共振 电子吸收电场的能量，电子实现了从一个朗道能级跃电子吸收电场的能量，电子实现了从一个朗道能级跃 迁到更高能量的朗道能级上迁到更高能量的朗道能级上 通过测量回旋共振频率，可以确定电子的有效质量通过测量回旋共振频率，可以确定电子的有效质量 半导体材料中能带底和能带顶附近，电子的有效质量半导体材料中能带底和能带顶附近，电子的有效质量 不同，具有不同的回旋共振频率不同，具有不同的回旋共振频率
