1、一、函数的连续性一、函数的连续性1.函数的增量函数的增量.,),(,)()(0000的增量的增量称为自变量在点称为自变量在点内有定义内有定义在在设函数设函数xxxxxUxxUxf .)(),()(0的的增增量量相相应应于于称称为为函函数数xxfxfxfy xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y )(xfy 2.连续的定义连续的定义定义定义 1 1 设函数设函数)(xf在在)(0 xU 内有定义内有定义, ,如如果当自变量的增量果当自变量的增量x 趋向于零时趋向于零时, ,对应的函对应的函数的增量数的增量y 也趋向于零也趋向于零, ,即即0lim0 yx 或或0)
2、()(lim000 xfxxfx, ,那末就称函数那末就称函数)(xf在点在点0 x连续连续, ,0 x称为称为)(xf的连续点的连续点. .,0 xxx 设设),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就是就是定义定义 2 2 设函数设函数)(xf在在)(0 xU 内有定义内有定义, ,如果如果函数函数)(xf当当0 xx 时的极限存在时的极限存在, ,且等于它在且等于它在点点0 x处的函数值处的函数值)(0 xf, ,即即 )()(lim00 xfxfxx 那末就称函数那末就称函数)(xf在点在点0 x连续连续. .:定义定义 .)()(, 0, 000
3、xfxfxx恒有恒有时时使当使当例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(处连续处连续在在试证函数试证函数 xxxxxxf证证, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定义由定义2知知.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf),0()(lim0fxfx 3.单侧连续单侧连续;)(),()0(,()(0000处左连续处左连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfxaxf 定理定理.)()(00处既左连续又右连续处既左连续又右连续在在是函数是函数处连续处连续在在函数函数xxfxxf.)(),()0(,),)(0000处右连续处右连续在点在点则称则称且且内有
4、定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfbxxf 例例2 2.0, 0, 2, 0, 2)(连续性连续性处的处的在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右连续但不左连续右连续但不左连续 ,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf4.连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续函数连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.,)(,),(上连续上连续在闭区间在闭区间函数函数则称则
5、称处左连续处左连续在右端点在右端点处右连续处右连续并且在左端点并且在左端点内连续内连续如果函数在开区间如果函数在开区间baxfbxaxba 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如例如,.),(内是连续的内是连续的有理函数在区间有理函数在区间例例3 3.),(sin内内连连续续在在区区间间函函数数证证明明 xy证证),( x任取任取xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx.2sin2xy 则则,0,时时当当对任意的对任意的 ,sin 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx时时当当.),(sin都是连续的都是
6、连续的对任意对任意函数函数即即 xxy二、函数的间断点二、函数的间断点:)(0条件条件处连续必须满足的三个处连续必须满足的三个在点在点函数函数xxf;)()1(0处处有有定定义义在在点点xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或间断点或间断点的不连续点的不连续点为为并称点并称点或间断或间断处不连续处不连续在点在点函数函数则称则称要有一个不满足要有一个不满足如果上述三个条件中只如果上述三个条件中只xfxxxf1.跳跃间断点跳跃间断点.)(),0()0(,)(0000的跳跃间断点的跳跃间断点为函数为函数则称点则称点但但存在存在右
7、极限都右极限都处左处左在点在点如果如果xfxxfxfxxf 例例4 4.0, 0,1, 0,)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0为函数的跳跃间断点为函数的跳跃间断点 xoxy2.可去间断点可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的可去间断点的可去间断点为函数为函数义则称点义则称点处无定处无定在点在点或或但但处的极限存在处的极限存在在点在点如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx 例例5 5.1, 1,11, 10, 1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxfoxy1
8、12xy 1xy2 解解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .0为函数的可去间断点为函数的可去间断点 x注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.如例如例5中中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(处连续处连续在在则则 xxxxxxf跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. .特点特点.0处处的的左左、右右极极限限都都存存在在函函数数在在点点 xoxy1123.第二类间断点第二类间断点.)(,)(0
9、0的第二类间断点的第二类间断点为函数为函数则称点则称点在在右极限至少有一个不存右极限至少有一个不存处的左、处的左、在点在点如果如果xfxxxf例例6 6.0, 0, 0,1)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f.1为函数的第二类间断点为函数的第二类间断点 x.断点断点这种情况称为无穷间这种情况称为无穷间例例7 7.01sin)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy1sin ,0处没有定义处没有定义在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0为第二类间断点为第二类间断点 x.断点断点这种情况称为的振荡间这
10、种情况称为的振荡间注意注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点. , 0, 1)(是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy狄利克雷函数狄利克雷函数在定义域在定义域R内每一点处都间断内每一点处都间断,且都是第二类间且都是第二类间断点断点. ,)(是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxxxf仅在仅在x=0处连续处连续, 其余各点处处间断其余各点处处间断.o1x2x3xyx xfy , 1, 1)(是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxf在定义域在定义域 R内每一点处都间断内每一点处都间断, 但其绝对值处但其绝对
11、值处处连续处连续.判断下列间断点类型判断下列间断点类型:例例8 8.0, 0, 0,cos)(,处连续处连续在在函数函数取何值时取何值时当当 xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),0()00()00(fff 要使要使,1时时故当且仅当故当且仅当 a.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf, 1 a三、小结三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,
12、跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)可去型可去型第一类间断点第一类间断点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 x思考题思考题 若若)(xf在在0 x连连续续，则则| )(|xf、)(2xf在在0 x是是否否连连续续？又又若若| )(|xf、)(2xf在在0 x连连续续，)(xf在在0 x是是否否连连续续？思考题解答思考题解答)(xf在在0 x连续，连续，)()(lim00 xfxfxx )()()()(000 xfxfxfxf 且且)()(lim00 xfxfxx )(li
13、m)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx)(02xf 故故| )(|xf、)(2xf在在0 x都连续都连续.但反之不成立但反之不成立.例例 0, 10, 1)(xxxf在在00 x不不连连续续但但| )(|xf、)(2xf在在00 x连连续续一、一、 填空题：填空题：1 1、 指出指出23122 xxxy 在在1 x是第是第_类间类间断点；在断点；在2 x是第是第_类间断点类间断点 . .2 2、 指出指出)1(22 xxxxy在在0 x是第是第_类间类间断点；在断点；在1 x是第是第_类间断点；在类间断点；在1 x是第是第_类间断点类间断点 . .二、二、 研究函数研究函数 1
14、, 11,)(xxxxf的连续性，并画出函数的连续性，并画出函数 的图形的图形 . .练练 习习 题题三、三、 指出下列函数在指定范围内的间断点，并说明这些指出下列函数在指定范围内的间断点，并说明这些间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续函数的定义使它连续 . .1 1、 1,31, 1)(xxxxxf在在Rx 上上 . .2 2、 xxxftan)( , ,在在Rx 上上 . .四、四、 讨论函数讨论函数 nnnxxxf2211lim)( 的连续性，若有间断的连续性，若有间断点，判断其类型点，判断其类型 . .五、试确定五、
15、试确定ba,的值的值, ,使使)1)()( xaxbexfx， （1 1）有无穷间断点）有无穷间断点0 x； （2 2）有可去间断点）有可去间断点1 x . .一、一、1 1、一类、一类, ,二类；二类； 2 2、一类、一类, ,一类一类, ,二类二类. .二、二、,), 1()1,()(内连续内连续与与在在 xf1 x为跳跃间为跳跃间 断点断点. .三、三、1 1、1 x为第一类间断点；为第一类间断点； 2 2、,2为可去间断点为可去间断点 kx )0( kkx为第二类间断点为第二类间断点. . 0, 12,tan)(1xkkxxxxf ), 2, 1, 0( k, ,练习题答案练习题答案)
16、, 2, 1, 0(2, 02,tan)(2 kkxkkxxxxf. .四、四、 1,0, 01,)(xxxxxxf1 x和和1 x为第一类间断点为第一类间断点. .五、五、(1)(1); 1, 0 ba (2) (2)eba , 1. .一、四则运算的连续性一、四则运算的连续性定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处也连续处也连续在点在点则则处连续处连续在点在点若函数若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin内连续内连续在在xx.csc,sec,cot,tan在其定义域内连续在其定义域内连续故故xxxx二、反函数与复合函数的
17、连续性二、反函数与复合函数的连续性定理定理2 2 严格单调的连续函数必有严格单调的连严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数续反函数. .例如例如,2,2sin上单调增加且连续上单调增加且连续在在 xy. 1 , 1arcsin上也是单调增加且连续上也是单调增加且连续在在故故 xy;1 , 1arccos上单调减少且连续上单调减少且连续在在同理同理 xy.,cot,arctan上单调且连续上单调且连续在在 xarcyxy反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.定理定理3 3).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 则有则有连续连
18、续在点在点函数函数若若证证,)(连续连续在点在点auuf .)()(, 0, 0成立成立恒有恒有时时使当使当 afufau,)(lim0axxx 又又,0, 0, 00时时使当使当对于对于 xx.)(成立成立恒有恒有 auax将上两步合起来将上两步合起来:,0, 0, 00时时使当使当 xx)()()()(afxfafuf .成立成立 )()(lim0afxfxx ).(lim0 xxx 意义意义1.极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;.)(. 2的的理理论论依依据据变变量量代代换换xu 例例1 1.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原式原式
19、)1(limln10 xxx eln 解解例例2 2.1lim0 xexx 求求. 1 )1ln(lim0yyy 原式原式解解,1yex 令令),1ln(yx 则则. 0,0yx时时当当yyy10)1ln(1lim 同理可得同理可得.ln1lim0axaxx .)(,)(,)(,)(00000也连续也连续在点在点则复合函数则复合函数连续连续在点在点而函数而函数且且连续连续在点在点设函数设函数xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理4 4注意注意定理定理4是定理是定理3的特殊情况的特殊情况.例如例如,), 0()0,(1内连续内连续在在 xu,),(sin内连续内连续在在 uy.), 0()0
20、,(1sin内连续内连续在在 xy三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的.)1, 0( aaayx指数函数指数函数;),(内单调且连续内单调且连续在在)1, 0(log aaxya对数函数对数函数;), 0(内单调且连续内单调且连续在在定理定理5 5 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的. . xy xaalog ,uay .log xua ,), 0(内连续内连续在在 ,不同值不同值讨论讨论 (均在其定义域内连续均在其定义域内连续 )定理定理6 6 一切初等函数在其一切初等函数在
21、其定义区间定义区间内都是连内都是连续的续的. .定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间. .1. 初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续, 在在其定义域内不一定连续其定义域内不一定连续;例如例如, 1cos xy,4,2, 0: xD这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义.,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及在在0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义.), 1上连续上连续函数在区间函数在区间注意注意注意注意2. 初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.例例3 3. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原
22、式. 1sin e例例4 4.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx20 . 0 )()()(lim000定义区间定义区间 xxfxfxx000,(1)(为无理数或互质）函数xqZqNppqxpxf0)(lim,00 xfRxxx则.1. ., 0MtsM证明：0)(lim,1)(, 0|,.| |,min|,.,(,0000000201210010 xfMxfxUxMppqxUxaxaxaaaaMZqNppqxURxxxkk即）（所以都有）中所有的有理数（则在令为的分数的个数有限，设分母不大于互质），）中所有的有理
23、数（在可去间断点。有理数上连续，在无理数在00)(xf1.3.3 闭区间上连续函数的性质0最大值和最小值定理最大值和最小值定理0介值定理介值定理一、最大值和最小值定理 定义定义: :).()()()()()()(,)(0000最最小小值值上上的的最最大大值值在在是是函函数数则则称称或或都都有有且且对对于于如如果果有有上上有有定定义义在在集集合合设设函函数数XxfxfxfxfxfxfXxXxXxf 例如例如,sgn xy ,),(上上在在, 2max y; 1min y,), 0(上上在在. 1minmax yy,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0min y, 1max y定理定理1(1
24、(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在闭区间上连续在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值. .ab xyo)(xfy ).()(),()(,)(xffxffbaxbabaCxf 有有使得使得则则若若注意注意: :1.若区间是开区间若区间是开区间, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若区间内有间断点若区间内有间断点, 定理不一定成立定理不一定成立.xyo)(xfy 211xyo2 )(xfy 推论推论( (有界性定理有界性定理) ) 在闭区间上连续的函数一定在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界在该区间上有界. .证证,)(上连续上连续在在设函数设函数ba
25、xf,bax ,)()()(Mfxffm 有有,maxMmK 取取.)(Kxf 则有则有.,)(上上有有界界在在函函数数baxf证：证：Axfx )(lim取取, 0, 10 X当当|x|X时时, | f (x)-A|1又又|f (x)|-|A| f (x)-A|1, 即即: | f (x)|0, x X, 都有都有| f (x)|M0取取M=max|A|+1, M0,.| )(|),(Mxfx 例例1 设设 f (x) 在在(-, +)上连续，且上连续，且 存在存在,)(limxfx 证明证明 f (x) 在在(-, +)上有界。上有界。有渐近线有渐近线二、介值定理定定理理 2 2( (零零
26、点点定定理理) ) 设设函函数数)(xf在在闭闭区区间间 ba,上上连连续续，且且)(af与与)(bf异异号号( (即即0)()( bfaf) ), ,那那末末至至少少有有一一点点 )(ba ，使使0)( f. .定义定义: :.)(, 0)(000的零点的零点称为函数称为函数则则使使如果如果xfxxfx .),(0)(内至少存在一个实根内至少存在一个实根在在即方程即方程baxf ab3 2 1 几何解释几何解释:.,)(轴至少有一个交点轴至少有一个交点线弧与线弧与则曲则曲轴的不同侧轴的不同侧端点位于端点位于的两个的两个连续曲线弧连续曲线弧xxxfy 定定理理 3 3( (介介值值定定理理)
27、) 设设函函数数)(xf在在闭闭区区间间 ba,上上连连续续，且且在在这这区区间间的的端端点点取取不不同同的的函函数数值值 Aaf )( 及及 Bbf )(, ,那那末末，对对于于A与与B之之间间的的任任意意一一个个数数C，在在开开区区间间 ba,内内至至少少有有一一点点 ，使使得得Cf )( )(ba . .xyo)(xfy 零点定理是介值定理的一个特例。零点定理是介值定理的一个特例。几何解释几何解释:MBCAmab1 2 3 2x1xxyo)(xfy 证证,)()(Cxfx 设设,)(上连续上连续在在则则bax Cafa )()( 且且,CA Cbfb )()( ,CB , 0)()( b
28、a 由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)( , 0)()( Cf 即即.)(Cf .)(至少有一个交点至少有一个交点直线直线与水平与水平连续曲线弧连续曲线弧Cyxfy 作辅助函数作辅助函数推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大在闭区间上连续的函数必取得介于最大值值 与最小值与最小值 之间的任何值之间的任何值. .例例1 1.)1 , 0(01423至少有一根至少有一根内内在区间在区间证明方程证明方程 xx证证, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上连续上连续在在则则xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)( f, 014
29、23 即即.)1 , 0(01423 内至少有一根内至少有一根在在方程方程 xxMm例例11.01423有三个根证明方程 xx证证, 14)(23 xxxf令令,)(上连续在则Rxf01)4(, 02) 1 (, 01)0(, 04) 1(ffff由零点定理由零点定理,使),4 , 1 (),1 , 0(),0 , 1(321, 0)()()(321fff.01423内至少有三根在方程Rxx至多有三根，又因为三次方程.01423恰有三个根所以方程 xx-11234-10-5510例例2 2.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得证明证明且且上连续上连续在区间在区间设函
30、数设函数证证,)()(xxfxF 令令,)(上连续上连续在在则则baxFaafaF )()(而而, 0 由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)()( fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即不动点定理不动点定理xy0 y=xabab)(xfy 例例 3 3 证明方程证明方程bxax sin，其中，其中0,0 ba，至少，至少有一个正根，并且它不超过有一个正根，并且它不超过ba . .bxaxxf sin)(证：证： , 0)sin(1)sin()( baabbaababaf, 0)0( bf 上连续，上连续，在在ba 0., 0)(babaf 取取若若. 0)(, 0 fba使使
31、（否则至少否则至少例例 4 4)(xf在在,ba上连续，上连续，bdca , ,试证明：试证明：对任意正数对任意正数qp和和, , 至少有一点至少有一点,dc , ,使使 )()()()( fqpdqfcpf . .),()(dcdfcf 或或取取证：若证：若),()(dfcf 否则，不妨设否则，不妨设 上连续。上连续。上连续，则在上连续，则在在在dcbaxf,)(),()()()(cfqpdqfcpfdf 又又.)()()(),qpdqfcpffdc 使使（由介值定理由介值定理例例5 设设f(x)在在(a, b)内连续，内连续，x1,x2,xn是是(a, b)内任意值，内任意值，证明存在一点
32、证明存在一点(a, b)使使)(1)(1inixfnf 证：设证：设jknkxx max1iknkxx min1f(x)在在(a, b)内连续，内连续， f(x)在在x i , x j 上连续。上连续。x1,x2xnxi , xj由最值定理：由最值定理： f(x)在在xi ,xj 上达到最大上达到最大M=f(1)， 最小值最小值m=f(2)，Mffnxfnniini )()(1)(11111mffnxfnniini )()(1)(12211即即Mxfnmini )(11据介值定理推论据介值定理推论: 至少存在至少存在),(),(baxxji 使使)(1)(1inixfnf 小结四个定理四个定理
33、最值定理最值定理;有界性定理有界性定理;零点定理零点定理;介值定理介值定理.注意注意1闭区间；闭区间； 2连续函数连续函数这两点不满足这两点不满足, 上述定理不一定成立上述定理不一定成立解题思路解题思路1.1.直接法直接法:先利用最值定理先利用最值定理,再利用介值定理再利用介值定理;2.2.辅助函数法辅助函数法: :先作辅助函数先作辅助函数F(x),再利用零点定理再利用零点定理;思考题思考题下述命题是否正确？下述命题是否正确？ 如如果果)(xf在在,ba上上有有定定义义，在在),(ba内内连连续续，且且0)()( bfaf，那那么么)(xf在在),(ba内内必必有有零零点点.思考题解答思考题解答不正确不正确.例函数例函数 0, 210,)(xxexf)(xf在在)1 , 0(内连续内连续,. 02)1()0( ef但但)(xf在在)1 , 0(内内无无零零点点.
