1、2022年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1已知全集，集合，则（ ）A B C D2若复数z满足，则（ ）A1 B5 C7 D253若直线是圆的一条对称轴，则（ ）A B C1 D4已知函数，则对任意实数x，有（ ）A B C D5已知函数，则（ ）A在上单调递减 B在上单调递增C在上单调递减 D在上单调递增6设是公差不为0的无穷等差数列
2、，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件7在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是下列结论中正确的是（ ）A当，时，二氧化碳处于液态B当，时，二氧化碳处于气态C当，时，二氧化碳处于超临界状态D当，时，二氧化碳处于超临界状态8若，则（ ）A40 B41 C D9已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合设集合，则T表示的区域的面积为（ ）A
3、 B C D10在中，P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）A B C D第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11函数的定义域是_12已知双曲线的渐近线方程为，则_13若函数的一个零点为，则_；_14设函数若存在最小值，则a的一个取值为_；a的最大值为_15已知数列的各项均为正数，其前n项和满足给出下列四个结论：的第2项小于3； 为等比数列；为递减数列； 中存在小于的项其中所有正确结论的序号是_三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16（本小题13分）在中，（I）求；（II）若，且的面积为，求的周长17（本小题14分）
4、如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，M，N分别为，AC的中点（I）求证：平面；（II）再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值条件：；条件：注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分18（本小题13分）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，
5、9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立（I）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（II）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望EX；（III）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）19（本小题15分）已知椭圆的一个顶点为，焦距为（I）求椭圆E的方程；（II）过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值20（本小题15分）已知函数（I）求曲线在点处的切线方程；（II）设，讨论函数在上的单调性；（
6、III）证明：对任意的，有21（本小题15分）已知为有穷整数数列给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列（I）判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；（II）若为连续可表数列，求证：k的最小值为4；（III）若为连续可表数列，且，求证：2022年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学参考答案第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1. D 2. B 3. A 4. C 5. C 6. C 7. D 8. B 9. B 10. D第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小
7、题，每小题5分，共25分11. 12. 13. . 1 . 14. . 0（答案不唯一） . 115.三、解答题共6小愿，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16.（1） （2）17.（1）取的中点为，连接，由三棱柱可得四边形为平行四边形，而，则，而平面，平面，故平面，而，则，同理可得平面，而平面，故平面平面，而平面，故平面，（2）因为侧面为正方形，故，而平面，平面平面，平面平面，故平面，因为，故平面，因为平面，故，若选，则，而，故平面，而平面，故，所以，而，故平面，故可建立如所示的空间直角坐标系，则，故，设平面的法向量为，则，从而，取，则，设直线与平面所成的角为，则.若选，因，故平
8、面，而平面，故，而，故，而，故，所以，故，而，故平面，故可建立如所示的空间直角坐标系，则，故，设平面的法向量为，则，从而，取，则，设直线与平面所成的角为，则.18.（1）0.4 （2） （3）丙19.（1） （2）20.（1） （2）在上单调递增. （3）解：原不等式等价于，令，即证，由（2）知在上单调递增，在上单调递增，又因为，所以命题得证.21.（1）是连续可表数列；不是连续可表数列 （2）若,设为,则至多，6个数字，没有个，矛盾；当时,数列，满足， （3），若最多有种，若，最多有种，所以最多有种，若，则至多可表个数，矛盾,从而若,则，至多可表个数，而，所以其中有负的，从而可表120及那个负数（恰 21个），这表明中仅一个负的，没有0，且这个负的在中绝对值最小，同时中没有两数相同,设那个负数为 ，则所有数之和，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足个， （仅一种方式），与2相邻，若不在两端,则形式，若，则（有2种结果相同，方式矛盾）， 同理 ，故在一端，不妨为形式，若,则 （有2种结果相同，矛盾），同理不行，则 （有2种结果相同，矛盾），从而，由于,由表法唯一知3,4不相邻,、故只能，或，这2种情形，对：，矛盾，对：，也矛盾，综上
