1、主主 编编 张明影张明影副主编副主编 魏晓棠魏晓棠北京理工大学出版社国家示范性高等职业教育规划教材第六章第六章 拉压与剪切拉压与剪切第五章第五章 材料力学的概念第八章第八章 梁的弯曲梁的弯曲第七章第七章 圆轴的旋转圆轴的旋转第二模块 材料力学第九章第九章 梁的变形梁的变形第六章第六章 拉压与剪切拉压与剪切第十章第十章 压杆稳定压杆稳定第五章第五章 材料力学的概念第八章第八章 梁的弯曲梁的弯曲第七章第七章 圆轴的旋转圆轴的旋转第二模块 材料力学第九章第九章 梁的变形梁的变形第六章第六章 拉压与剪切拉压与剪切第十章第十章 压杆稳定压杆稳定第二模块第二模块 材料力学材料力学第九章第九章 梁的变形9.
2、1弯曲变形的概念9.2挠曲线的近似微分方程9.3计算弯曲变形的叠加法9.4梁的刚度条件及应用第九章第九章 梁的变形9.1弯曲变形的概念弯曲变形的概念设有一梁，受载荷作用后其轴线将弯曲成为一条光滑的连续曲线（见下图9.1）。在平面弯曲的情况下，这是一条位于载荷所在平面内的平面曲线。梁弯曲后的轴线称为挠曲线挠曲线。 在小变形的条件下，忽略梁梁截面在轴向的位移，则在梁的变形过程中，梁截面有沿垂直方向的线位移v，称为挠度；挠度；相对于原截面转过的角位移，称为转角转角，这两个基本量决定了梁在弯曲变形后梁轴线的形状，即挠曲线。其方程是OPyxv图9.1 )(xfv 第九章第九章 梁的变形9.1弯曲变形的概
3、弯曲变形的概念念 挠度v截面形心在坐标y方向上的位移，其正负号与y坐标轴正负相符；转角横截面绕中性轴转过的角度，其正负号，逆时针为正，顺时针为负，在小变形情况下，有可见梁任一横截面的转角等于该截面处挠度v对x的一阶导数。)( xfvdxdvtg (9-1)第九章第九章 梁的变形9.2挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程 式（9-1）中，弯矩和曲率半径是常量；对于跨度远大于截面高度的梁而言，在横力弯曲的情况下，可忽略剪力的影响，但其中的弯矩和曲率半径是x的函数，即对平面曲线，有关系式式(9-2)称为梁的挠曲线微分方程。因为工程实际中的梁一般是小变形，所以v0v0 xyM0v0 xy第九章第九
4、章 梁的变形9.2挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程 考虑到弯矩M的符号与挠曲线凸向之间的关系（见下图9.2）， M与v的符号相同，挠曲线的近似微分方程为实践表明，由这一公式所的结果在工程应用中是足够精确的。实践表明，由这一公式所的结果在工程应用中是足够精确的。图9.2EIxMdxvdv)( 22(9-3)第九章第九章 梁的变形9.3计算弯曲变形的叠加法计算弯曲变形的叠加法 在梁的变形是小变形且材料服从胡克定律情况下，梁上各个载荷分别产生的变形满足挠曲线微分方程（线性方程），即 其中表示某个载荷，Mi表示该载荷所产生的弯矩，vi表示该载荷所产生梁的变形，将各个载荷的挠曲线微分方程相加，得
5、 其中M表示各个载荷共同作用时所产生的弯矩，如果此时梁的变形是v，则iiMEIv MMvEIMEIviiii MEIv 第九章第九章 梁的变形9.3计算弯曲变形的叠加法 比较上面二式，得ivv两边对x求导，得在几个载荷共同作用下所引起的某一物理量，等于各载荷单独作用时所引起的此物理量的总和（代数和或矢量和）。这就是叠加原理。叠加原理。 i第九章第九章 梁的变形第九章第九章 梁的变形9.3计算弯曲变形的叠加法计算弯曲变形的叠加法 用叠加法求解时，应注意挠度应注意挠度v和转角和转角正负号。正负号。对于未列入表9-1中的梁的变形，可以作适当处理，使之成为有表可查的情形，然后再应用叠加法。参阅例9-1
6、题。 对于求解图9.3悬臂梁的转角B和挠度vB ，可根据几何变形关系，结合查表结果求得 同理，可求得图9.4外伸梁的转角C和挠度vC。bvvCBCBBAPCbavCbC图9.3BCBCavBAalCP图9.4第九章第九章 梁的变形9.3计算弯曲变形的叠加法计算弯曲变形的叠加法 例9-1用叠加法求图示外伸梁的C和vC，梁的抗弯刚度是EI。解解 使用叠加积分法求转角和挠度。 (a) 将梁上的载荷分解为三种简单载荷单独作用的情形。aBACaqaM=qa2P=qaBACaaaP=qa(1)BACaqaa(3)BACaaaM=qa2(2)3()2() 1 ()3()2() 1 (CCCCCCCCvvvv
7、第九章第九章 梁的变形9.3计算弯曲变形的叠加法 (b) 而第三种情形又可分解为如下二种载荷单独作用的情形。(32)BACaaaqaqa2/2(31)BACaqaaqa2/2qa(31)BACaqaaqa(32)BACaaaqa2/2)32()31()3()32()31()3(CCCCCCvvv第九章第九章 梁的变形9.3计算弯曲变形的叠加法 (c) 应用挠度表确定三种下，梁c点处的转角和挠度。查表9-1。 而对第三种情形下二种载荷单独作用下，应用叠加法进行叠加。EIqaavvEIqaEIaqaPAPCCPAPCC4416)2()(4)()()1(32)()()1(，EIqaavvEIqaEI
8、aqaMAMCCMAMCC3362)(4)()()2(32)()()2(，EIqaaEIqavEIqaEIaqaEIqavEIqaCCCC33 , 332)21(8 , 643)32(32)32(4)31(3)31(EIqaEIqaEIqavvvEIqaEIqaEIqaCCCCCC241138 236444)32()31()3(333)32()31()3(，第九章第九章 梁的变形9.3计算弯曲变形的叠加法 (d) 应用叠加法，将三种情形下转角和挠度叠加。注释注释： 本题中，第三种情形未列入表9-1中的简单载荷作用下梁的变形，可以作适当处理，使之成为有表可查的情形，然后再应用叠加法。EIqaEI
9、qaEIqaEIqavvvvEIqaEIqaEIqaEIqaCCCCCCCC24132411341272344444)3()2()1(3333)3()2()1(第九章第九章 梁的变形9.4梁的刚度条件及应用梁的刚度条件及应用一、梁的刚度条件一、梁的刚度条件指梁的最大挠度和最大转角不能超过许可值，即 以上二式称为弯曲构件的刚度条件。 ffmaxmax (9-4)第九章第九章 梁的变形9.4梁的刚度条件及应用梁的刚度条件及应用二、刚度的合理设计二、刚度的合理设计刚度设计就是根据对零件和构件的不同要求，将最大挠度和转角限制在一定范围内，即满足弯曲刚度条件。许用挠度和许用转角对不同的构件有不同的规定，
10、可从有关的设计规范中查得。对挠度的限制轴的类型许用挠度f一般传动轴刚度要求较高的轴（0.00030.0005）l对转角的限制轴的类型许用挠度转角/rad滑动轴承深沟球轴承向心球面轴承圆柱滚子轴承圆锥滚子轴承安装齿轮的轴0.0010.0050.0050.00250.00160.001表表9-2 常见轴的弯曲许用挠度和许用转角值常见轴的弯曲许用挠度和许用转角值注：注：表中l为支承间的跨距第九章第九章 梁的变形9.4梁的刚度条件及应用梁的刚度条件及应用例例9-2简化电机轴的尺寸和载荷如图，已知E=200GPa，d=130 mm，定子与转子的许用间隙=0.35mm；校核轴的刚度。解解 (a) 用叠加法
11、求梁的最大挠度 (b ) 刚度校核 故故轴的刚度足够轴的刚度足够BAP=3.5 kNC500500q=1.035 kNmmqlPldEEIqlEIPlvfC 10031.0384110035.15481105 .313.01020064384548643845483434943443max-mmf 031. 0max第九章第九章 梁的变形9.4梁的刚度条件及应用梁的刚度条件及应用三、三、 提高梁的弯曲刚度的措施提高梁的弯曲刚度的措施1. 选择合理的梁截面，从而增大截面的惯性矩I；2. 调整加载方式，改善梁结构，以减小弯矩：使受力部位尽可能靠近支座；或使集中力分散成分布力；3. 减小梁的跨度；增
12、加支承约束；其中第三种措施的效果最为显著，因为梁的跨长或有关长度是以其乘方影响梁的挠度和转角的。第九章第九章 梁的变形梁的变形本章小结本章小结 1、弯曲变形的概念弯曲变形的概念梁弯曲后的轴线称为挠曲线挠曲线梁截面有沿垂直方向的线位移v，称为挠度；挠度；相对于原截面转过的角位移，称为转角转角，2、挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程为为3、计算弯曲变形的叠加法、计算弯曲变形的叠加法EIxMdxvdv)( 22ivvi第九章第九章 梁的变形梁的变形本章小结本章小结 4、梁的刚度条件、梁的刚度条件5、提高梁的弯曲刚度的措施、提高梁的弯曲刚度的措施1）选择合理的梁截面，从而增大截面的惯性矩I；2）调整加载方式，改善梁结构，以减小弯矩：使受力部位尽可能靠近支座；或使集中力分散成分布力；3）减小梁的跨度；增加支承约束； ffmaxmax
