1、3.4 复杂系统决策模型与层次分析法Analitic Hierachy Process (AHP) 对难于完全定量的复杂系统作出决策的模型和方法。 一. 问题举例 1. 在海尔、新飞、容声和雪花四个牌号的电冰箱中选购一种。要考虑品牌的信誉、冰箱的功能、价格和耗电量。 2. 在泰山、杭州和承德三处选择一个旅游点。要考虑景点的景色、居住的环境、饮食的特色、交通便利和旅游的费用。 3. 在基础研究、应用研究和数学教育中选择一个领域申报科研课题。要考虑成果的贡献（实用价值、科学意义），可行性（难度、周期和经费）和人才培养。 二. 模型和方法 1. 层次结构模型 将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决
2、策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图。 最高层：决策的目的、要解决的问题。 最低层：决策时的备选方案。 中间层：考虑的因素、决策的准则。 对于相邻的两层，称高层为目标层，低层为因素层。 例1. 选购冰箱选购冰箱品牌功能价格耗电海尔新飞容声雪花 例2. 旅游景点旅游景点居住景色费用饮食交通泰山杭州承德 例3. 科研课题科研课题贡献可行性实用价值学术意义人才培养难度周期经费基础应用教育 2. 因素判断模型 10. 判断矩阵：令 正数 aij 为因素xi、xj 对目标 Z 的影响的相对重要性指标。 aij = 1： xi 与 xj 对目标 Z 的重要性相当。 aij
3、1：对目标 Z来说 xi 比 xj重要, 其数值大小表示重要的程度。 显然有 aji = 1/ aij 。 矩阵 A = （ aij ）称为因素（x1,xn）成对比较时的判断矩阵。 20. 正互反矩阵：n n 矩阵 A = (aij ) 是正互反的, 如果满足条件 aij 0 且 aji =1/ aij 30. aij 的估计: 九级标度法xi/xj 相当 较重要 重要 很重要 绝对重要aij 1 3 5 7 9 40. 例. 选择旅游景点 Z：目标，选择景点 y：因素，决策准则 y1 费用, y2 景色, y3 居住, y4 饮食, y5 交通 X：对象，备选方案 X1 杭州，X2 泰山，X
4、3 承德， 因素对目标的判断矩阵1133/ 15/ 11123/ 15/ 13/ 12/ 114/ 17/ 133412/ 155721A 3. 因素排序及其一致性 10. 权重向量 令1为A的最大(模)特征根, 则 10. 令w为与 1对应的A的特征向量, 则w0. 归一化: wi*=wi/wi, 有 w*=(w1*,wn*) 称 w* 为因素 y 对目标 Z 相对重要性的权重。 20. 排序的一致性 比较的一致性：对于因素关于目标重要性比较的指标aij, 若对任意的k, 满足aij=aikakj, 则称这个比较是一致的。 排序的一致性：一致性指标 CI (Consensus index)
5、CI=(1-n)/(n-1)，CI=0。 CI = 0, A有完全的一致性。 CI 接近于 0, A 有满意的一致性。一致性判断矩阵与因素排序 一致性判断矩阵：所有元素满足一致性条件 aij = aik akj的判断矩阵。一致性判断矩阵的特征向量就是因素的排序矩阵的一致性 定理 1. (Peron-Frobenious) 非负矩阵存在正的最大模特征根,对应着正的特征向量。 定理 2. 一致的正互反阵的秩等于 1，主特征根为n，若特征向量为 w = (w1,wn), 则有 aij = wi / wj。 定理 3. n 阶判断矩阵是一致的，当且仅当 1=n。定理 2 证明 一致性正互反矩阵中任意两
6、列元素成比例 aij = m aih，i=1,n由一致性：aij = aik akj， aih = aik akh，则 aij /aih= akj /akh=m, 即 aij = m aih,i =1,n由 aij = aik/ ajk，令a=(a1k a2k ank), a-1=(1/a1k 1/a2k 1/ank)则有 A = a a-1 , 判断矩阵的秩为 1.且有 A a = a a-1a = n a 一致性判断矩阵各列均是判断矩阵的特征向量若特征向量为 w = (w1,wn), 则有 aij = aik/ ajk = wi / wj。表示wi 与 wj之间的比值, 是这两者重要性之间
7、的一个判断.w 就是各对象之间的一个排序.即:各列均表示被判断元素之间的排序。定理 3 证明 11111111111)(11,0, 0ninijijijijijninjijijijjijwwawwanwwanwwawwAw22)(11，则若，nwwawwaijijijij一致Aaaawwakjikijjiij,随机一致性指标 固定 n, 令 A 的上三角从1/9,1,2,9中随机取值, 构成正互反矩阵。计算它的 CI。 对每个 n = 1, 2, , 9 分别随机地抽取 n=100500 个样本, 得到 Ank 和 CInk (不一致判断矩阵的指标)。取 则 CI RI 时, 判断矩阵明显不具
8、有一致性。 取 0.1 , 则当 CI RI 时, A 在水准下有满意的一致性. mknknCImRI11 平均随机一致性指标 RIn 1 2 3 4 5 6 7 8 9RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 CR = CI / RI 0, 对任x0 则若取则特征根为 的主特征向量是AvvcxAxxAkTkk,limTex) 1 , 1 , 1 (为排序向量wweAeeAkTkk,limiiwwA ）（特征根与特征向量的近似算法计算行(几何)平均归一化特征根 niinjijiMwaM，1为特征向量），（，Tniiiwwwwww1iiinwwA）（MA
9、TLAB算法 %对于形如 A = (mij/hij)的正互反阵，求特征值和特征向量。 B=m11,m1n;m21,m2n;mn1,mnn;A=B./B X,D=eig(A) 例. 准则对目标的排序 A 有特征根 = 5.019 w = (0.48, 0.26, 0.05, 0.10, 0.11) CI = (-5) /(5-1) = 0019/4 = 0.00475 CR = 0.00475 / 1.12 = 0.004246 0.1 A 有满意的一致性。 备选对象对决策准则的判别矩阵661. 0272. 0067. 0,004. 3,1383/ 1158/ 15/ 11111bB129. 0
10、277. 0595. 0,005. 3,12/ 15/ 1215/ 1521212bB142. 0429. 0429. 0, 3,13/ 13/ 1313/ 1311313bB 175. 0193. 0633. 0,009. 3,114/1113/1431414bB668.0166.0166.0,3,1444/1114/111515bB 4. 总排序及其一致性10. 模型及参数 模型： 参数：y 对目标 Z有判断矩阵 A 排序权重 a =(a1, , a5) x 对准则 yj 有判断矩阵 Bj 排序权重bj=(b1j, b2j, b3j) 记 B = (b1, b2, , b5) CIj(x): x对 yj 的 CI; RIj(x): x对 yj 的 RI. CIZ(x): x对 Z 的 CI; RIZ(x): x对 Z 的 RI.Zyx 20. 对象对目标的排序30. 排序的一致性 w = (0.293, 0.311, 0.446) aBbawjjj5151)()(jjjZxCIaxCI51)()(jjjZxRIaxRI
