1、第二节第二节 双因素方差分析双因素方差分析双因素方差分析的类型双因素方差分析的类型数据结构数据结构离差平方和的分解离差平方和的分解应用实例应用实例一、一、 双因素方差分析的类型双因素方差分析的类型例如饮料销售，除了关心饮料颜色之外，我们还想例如饮料销售，除了关心饮料颜色之外，我们还想了解销售地区是否影响销售量，如果在不同的地区，了解销售地区是否影响销售量，如果在不同的地区，销售量存在显著的差异，就需要分析原因。采用不销售量存在显著的差异，就需要分析原因。采用不同的销售策略，使该饮料品牌在市场占有率高的地同的销售策略，使该饮料品牌在市场占有率高的地区继续深入人心，保持领先地位；在市场占有率低区继
2、续深入人心，保持领先地位；在市场占有率低的地区，进一步扩大宣传，让更多的消费者了解、的地区，进一步扩大宣传，让更多的消费者了解、接受该生产线。接受该生产线。双因双因素方素方差分差分析的析的类型类型 无交互作用的无交互作用的双因素方差分析双因素方差分析 有交互作用的有交互作用的双因素方差分析双因素方差分析 假定因素假定因素A A和因素和因素B B的效应之间是相的效应之间是相互独立的，不存在互独立的，不存在相互关系相互关系 假定因素假定因素A A和因素和因素B B的结合会产生出一的结合会产生出一种新的效应种新的效应 设设因因素素A有有r个个不不同同的的水水平平rAA,1， 因因素素B有有s个个不不
3、同同的的水水平平sBB,1，现现对对因因素素A、B的的每每一一种种不不同同的的水水平平组组合合: :jiBA , sjri,2, 1;,2, 1都都安安排排2tt次次试试验验（称称为为等等重重复复试试 验验） ，假假定定各各 次次 试试验验 是是相相 互互独独 立立的的， 得得 到到 如如下下 试试验验 结结果果：二、数据结构二、数据结构1B2BsB1Atxxx11112111,txxx12122121,stssxxx12111,2Atxxx21212211,txxx22222221,stssxxx22212,rAtrrrxxx11211,trrrxxx22221,rstrsrsxxx,211
4、.双因素方差分析的数据结构如表所示：双因素方差分析的数据结构如表所示： 2. 2.双因素试验的方差分析的数学模型双因素试验的方差分析的数学模型,1,2(1,2ijijijXuirAjsB因素 的水平），因素 的水平，2(0,)ijN相互独立同分布111rsijijuurs记：理论总均值11siijjuuAis记：因素 在 水平下的理论平均11rjijiuur记：因素B在j水平下的理论平均uuuuuuuuuujiijjiij显然iAiA它是水平它是水平下的理论均值与理论总均值的偏差，称为水平下的理论均值与理论总均值的偏差，称为水平下的效应；下的效应；=iiuu记：=jjuu记：jBjB它是水平它
5、是水平下的理论均值与理论总均值的偏差，称为水平下的理论均值与理论总均值的偏差，称为水平下的效应；下的效应；ijijijruuuu记： jiijuuijruuijiAijBjjiBA ,所以所以是总效应是总效应减去减去的效应的效应和和的效应的效应后的剩余部分，称为水平组合后的剩余部分，称为水平组合的交互效应。的交互效应。于是于是2,ijijuNX可以等价的表示为：可以等价的表示为：2, 0 NuuXijijijjiijijij，sjri, 2 , 1;, 2 , 1这表明，在因素这表明，在因素BA,的不同水平组合下，试验结果的相对差异的不同水平组合下，试验结果的相对差异uuij（视为总效应）是由
6、如下四部分组成：（视为总效应）是由如下四部分组成： （1 1）水平）水平iA下的效应下的效应i；（2 2）水平）水平jB下的效应下的效应j；（3 3）水平组合）水平组合jiBA ,的交互效应的交互效应ij；（4 4）随机因素引起的随机波动）随机因素引起的随机波动ij. .011111ruusuurisjijriirii011111suuruusjriijsjjsjj11=0rrijijijiiuuuu11=0ssijijijjjuuuu 因此，要鉴别因素因此，要鉴别因素A是否对结果有显著影响，只是否对结果有显著影响，只需鉴别因素需鉴别因素A水平的改变是否导致试验结果的明显变水平的改变是否导致试
7、验结果的明显变化，这等价于检验因素化，这等价于检验因素A各水平的效应是否相等，即各水平的效应是否相等，即检验假设检验假设rH2101: （6.286.28）是否成立。是否成立。 类似地，要鉴别因素类似地，要鉴别因素B是否对结果有显著影响，是否对结果有显著影响，等价于检验假设等价于检验假设sH2102: （6.296.29）是否成立。是否成立。要鉴别因素要鉴别因素A与因素与因素B是否存在交互效应，等价于是否存在交互效应，等价于检验假设检验假设ijH:03 sjri, 2 , 1;, 2 , 1全相等全相等 （6.306.30）是否成立。是否成立。以上以上 3 3 个假设个假设01H、02H、03
8、H中的三组参数中的三组参数i、j、ij都是未知的，为了对三个假设成立与否进行检验，都是未知的，为了对三个假设成立与否进行检验，仍只能依据试验观测值仍只能依据试验观测值ijkx（tksjri, 1;, 2 , 1;, 2 , 1）并且仍是从分析这组数据的离散性着手。并且仍是从分析这组数据的离散性着手。三、离差平方和的分解三、离差平方和的分解risjtkijkTxxS11122= = 2111risjtkjiijjiijijkxxxxxxxxxxrisjtkijijkxx1112risjtkixx1112risjtkjxx1112risjtkjiijxxxx1112+ +（交交叉叉乘乘积积项项）可
9、可以以验验证证上上式式右右边边所所有有的的交交叉叉乘乘积积项项皆皆为为零零记记 2ESrisjtkijijkxx1112 称称为为误误差差平平方方和和。 2ASrisjtkixx1112 称称为为因因素素A的的主主效效应应偏偏差差平平方方和和。 2BSrisjtkjxx1112 称称为为因因素素B的的主主效效应应偏偏差差平平方方和和。2BASrisjtkjiijxxxx1112称称为为BA的的交交互互效效应应偏偏差差平平方方和和。从矩估计的角度看，从矩估计的角度看，x、 ix、 jx、ijx分别是分别是u、 iu、ju、iju的估计值，因此，的估计值，因此，xxi可作为可作为uuii的估计值；
10、的估计值；xxj可作为可作为uujj的估计值；的估计值；xxxxjiij可作为可作为uuuurjiijij的的估计值。估计值。若若01H成立，即成立，即021r，那么，虽然，那么，虽然不能苛求做为诸不能苛求做为诸i的估计值之平方和的若干倍的的估计值之平方和的若干倍的2AS（riirisjtkixxstxx121112）恰好等于零，）恰好等于零，但相对于但相对于2ES来说一定不应太大，倘若来说一定不应太大，倘若22EASS超过某个界超过某个界限值限值1k，我们就有理由拒绝，我们就有理由拒绝01H，故，故取取01H的拒绝域为的拒绝域为 12201kSSWEA （6.326.32）经过类似的分析，经
11、过类似的分析，取取02H的拒绝域为的拒绝域为 22202kSSWEB （6.346.34）03H的拒绝域为的拒绝域为 32203kSSWEBA （6.356.35）为了确定界限值为了确定界限值1k、2k、3k，按照显著性检验的一般，按照显著性检验的一般步骤，我们需要知道当相应的原假设成立时各检验统步骤，我们需要知道当相应的原假设成立时各检验统计量的分布，计量的分布，可可以以证证明明，在在01H成成立立时时 1, 11122trsrFtrsSrSEA （6 6. .3 36 6）在在02H成成立立时时 1, 11122trssFtrsSsSEB （6 6. .3 37 7）在在03H成成立立时时
12、 1,1111122trssrFtrsSsrSEBA （6 6. .3 38 8）若若控控制制犯犯第第一一类类错错误误的的概概率率不不超超过过，可可得得1, 1111trsrFtrsrK1, 1112trssFtrssK1,111113trssrFtrssrK通常是直接给出其拒绝域通常是直接给出其拒绝域1, 1112201trsrFtrsSrSWEA1, 1112202trssFtrsSsSWEB1,111112203trssrFtrsSsrSWEBA在方差分析的实际应用中，仍是规范为填写如下的在方差分析的实际应用中，仍是规范为填写如下的方差分析表方差分析表方差来源方差来源平方和平方和自由度自
13、由度均方均方比值比值显著性显著性因素因素A2AS1r122rSSAA22EAASSF因素因素B2BS1s122sSSBB22EBBSSF交互效应交互效应BA2BAS11sr1122srSSBABA22EBABASSF随机因素随机因素2ES1trs122trsSSEE总和总和2TS1rst四、双因素方差分析的步骤l双因素方差分析的步骤与单因素分析类似，主要包括以下步骤：l1.分析所研究数据能否满足方差分析要求的假设条件，需要的话进行必要的检验。如果假设条件不满足需要先对数据进行变换。l在有交互作用的双因素方差中，要说明两个因素的交互作用是否显著还要检验第三组零假设和备择假设：0:210rH0:2
14、11不全为，rH0:210sH0:211不全为，sH0)()(:rs12110H0)()()(:rs12111不全为，H2、提出零假设和备择假设。双因素方差分析可以同时检验两组或三组零假设和备择假设。要说明因素A有无显著影响，就是检验如下假设：要说明因素B有无显著影响，就是检验如下假设：l 3、计算F检验值。l4、根据实际值与临界值的比较，或者p-值与的比较得出检验结论。与单因素方差分析的情况类似，对FA、FB和FAB，当F的计算值大于临界值F（或者p-值FcritA， 因此拒绝零假设A1=A2=A3；比较FB和FcritB，因为FBFcritAB，因此拒绝零假设A1B1=A1B2=A1B3 =A2B1=A2B2=A3B3 =A3B1=A3B2=A3B3；9）、将统计结论转化为实际结论。 1）射出压力的不同水平设置对成形品影响显著2）模腔温度的不同水平设置对成形品无显著影响3）射出压力和模腔温度的交互作用对成形品影响显著。10）、计算各因素、因素交互作用及误差对输出变量y的影响差占总体平方和的比率因素和交互作用以及残为BA,R%06.100%)SSSS(R%6 .35100%)SSSS(R%7 . 2100%)SSSS(R.7%55100%)SSSS(RTeeTTBBTAAABAB双因素有交互作用方差分析 2）将影响作饼图表示如下： 更能直观的观察各个因素及残差对输出的影响。
