1、第七讲第七讲 散射散射 一、散射截面一、散射截面散射过程：散射过程：Zds靶粒子的处在位置称为散射中心。散射角：散射角：入射粒子受靶粒子势场的作用，其运动方向偏离入射方向的角度。弹性散射：弹性散射：若在散射过程中，入射粒子和靶粒子的内部状态都不发生变化，则称弹性散射，否则称为非弹性散射。方向准直的均匀单能粒子由远处沿z轴方向射向靶粒子，由于受到靶粒子的作用，朝各方向散射开去，此过程称为散射过程。散射后的粒子可用探测器测量。入射粒子流密度入射粒子流密度N ：单位时间内通过与入射粒子运动方向垂直的单位面积的入射粒子数，用于描述入射粒子流强度的物理量，故又称为入射粒子流强度。散射截面：散射截面：设单
2、位时间内散射到（，）方向面积元ds上（立体角d内）的粒子数为dn，显然drdsdn2dn N综合之，则有：dn Nd或 （1）Ndqdn),(比例系数比例系数q( ， )的性质：的性质：q(，)与入射粒子和靶粒子（散射场）的性质，它们之间的相互作用，以及入射粒子的动能有关，是，的函数。q(，)具有面积的量纲2LNddnq故称q(，)为微分散射截面，简称为截面或角分布如果在垂直于入射粒子流的入射方向取面积q(，)，则单位时间内通过此截面q(，)的粒子数恰好散射到(，)方向的单位立体角内。（2）ddnNq),(总散射截面：总散射截面：（3）ddqdqQsin),(),(020 注注由（2）式知，由
3、于N、可通过实验测定，故而求得。量子力学的任务是从理论上计算出，以便于同实验比较，从而反过来研究粒子间的相互作用以及其它问题。ddn),(q),(q二、散射振幅二、散射振幅现在考虑量子力学对散射体系的描述。设靶粒子的质量远大于散射粒子的质量，在碰撞过程中，靶粒子可视为静止。取散射中心A为坐标原点，散射粒子体系的定态schrdinger方程（4）令ErU)(222)(2)(2222rUrVEk方程（4）改写为（5）0)(22rVk由于实验观测是在远离靶的地方进行的，从微观角度看，可以认为。因此，在计算时，仅需考虑处的散射粒子的行为，即仅需考虑处的散射体系的波函数。设时，方程（5）变为r),(q0
4、)(rVrrr（6）令（7）022kr将（6）式写成022222rLkr在的情形下，此方程简化为（8）r0222kr此方程类似一维波动方程，我们知道：对于一维势垒或势阱的散射情况ikxikxkBeAexikxkcex式中为入射波或透射波，为散射波，波只沿一方向散射。对于三维情形，波可沿各方向散射，三维散射时，在处的粒子的波函数应为入射波和散射波之和。方程（8）有两个特解ikxeikxerikrefr),(),(ikrefr),(),(因此，refrikr),(),(2refrikr),(),(2代表由散射中心向外传播的球面散射波，代表向散射中心会聚的球面波，不是散射波，应略去。在处，散射粒子的
5、波函数是入射平面波和球面散射波之和。即22rikze12（9）为方便起见，取入射平面波的系数A=1，这表明，入射粒子束单位体积中的粒子数为1。入射波几率密度（即入射粒子流密度）refAerrikrikz),()(ikxe1|21（10）散射波的几率流密度)(22*1*111*1*11ikikizziJzNk（11）单位时间内，在沿方向d立体角内出现的粒子数为（12）比较（1）式与（12），得到222*2*22| ),(|2frrriJr),(NdfdsrfdsJdnr222| ),(| ),(|（13）2| ),(|),(fq由此可知，若知道了，即可求得，称为散射振幅，所以，对于给定能量的入射
6、粒子，速率给定，于是入射粒子流密度N=给定，只要知道了散射振幅，也就能求出微分散射截面，的具体形式通过求schrdinger方程（5）的解并要求在时具有渐近形式（9）而得出。下面介绍两种求散射振幅或散射截面的方法分波法，玻恩近似方法。分波法是准确的求散射理论问题的方法，即准确的散射理论。),(f),(q),(fvv),(f),(fr三、分波法三、分波法讨论粒子在中心力场中的散射。粒子在辏力场中的势能为，状态方程（3-1）)(rU0)(22rVk取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴z，显然与无关，按照3.3.的讨论，对于具有确定能量的粒子，方程（3-1）的特解为由于现在与无关(m=0)，所
7、以，方程（1）的特解可写成),()(lmlYrR)(cos)(llPrR方程（3-1）的通解为所有特解的线性迭加（3-2）lllPrRr)(cos)(),(Rl(r)为待定的径向波函数，每个特解称为一个分波，称为第l个分波，通常称l=0,1,2,3的分波分别为s,p,d,f分波（3-2）代入（3-1），得径向方程)(cos)(llPrR（3-3）令，代入上方程0)() 1()(12222rRrllrVkdrdRrdrdrllrrUrRll)()(（3-4）考虑方程（3-4）在情况下的极限解，令方程（3-4）的极限形式0)() 1()(2222rUrllrVkdrUdllrr由此求得：（3-5）
8、0)()(222rUkdrrUdll)sin()(lllkrArUllllkrkrArrR21sin)(为了后面的方便起见，这里引入了两个新的常数将（3-5）代入（3-2），得到方程（3-1）在情形下通解的渐近形式lllllAkA2,r（3-6）另一方面，按上节的讨论，在远离散射中心处，粒子的波函数)(cos21sin),(0llllPlkrkrArr)(cos2)21()21(0llkrilkrillPeeikrAll（3-7）将平面波按球面波展开（3-8）式中jl(kr)是球贝塞尔函数referrikrikz)(),(ikze0cos)(cos)() 12(llllikrikzPkrjil
9、ee（3-9）利用（3-8），（3-9），可将（3-7）写成lkrkrrkrJkrkrjll21sin1)(2)(2121)21()21(lkrilkrieeikr)(cos2) 12()(),(0)21()21(LllkrilkrilikrPeeikrilrefrr （3-10）（3-6）和（3-10）两式右边应相等，即)(cos2)21()21(0llkrilkrillPeeikrAllcos2) 12()()21()21(0LlkrilkrillikrPeeikrilref分别比较等式两边和前边的系数，即得（3-11）（3-12）ikreikre)(cos) 12()(2)(cos210
10、)21(0llillllillPeilikfPeAl)(cos) 12()(cos210)21(0llillllillPeilPeAl用乘以（12）式，再对从积分，并利用Legradrer多项式的正交性可以得到)(coslP0l lllldPP122sin)(cos)(cos0lillileileAl21)21() 12()21() 12() 12(llliilleleilA即（3-13）将此结果代入（3-11）式)(cos) 12()(2)(cos) 12(020lllilPlikfPell)(cos) 1( ) 12(21)(21lilPelikfl（3-14）可见，求散射振幅f()的问题
11、归结为求，求l的具体值关键是解径向波函数R(r)的方程（3-3）)(cos)() 12(211liiilPeeeliklll)(cossin) 12(10llilPelkll l的物理意义：的物理意义： 由（3-8），（3-9）知，是入射平面波的第个分波的位相；由（3-6）知，是散射波第l个分波的位相。所以，l是入射波经散射后第l个分波的位相移动（相移）。lkr21lllkr21微分散射截面微分散射截面（3-15）总散射截面212sin)(cos) 12(1| )(|)(llillePlkfqdqdqQsin)(2)(dPPellkllllillllsin)(cos)(cossinsin) 1
12、2)(12(20)(002 l lllilllellkll122sinsin) 12)(12(2)(002lllk202sin) 12(4即（3-16）式中（3-17）是第l个分波的散射截面0llQQlllkQ22sin) 12(4由上述看们看出：求散射振幅f()的问题归结为求相移l，而l的获得，需要根据U(r)的具体情况解径向方程（3-3）求Rl(r)，然后取其渐近解，并写为即可得到第l个分波的相移，由于每个分波都将产生相移l，所以，必须寻找各个分波的相移来计算散射截面，这种方法称为分波法lrllkrkrrR2sin1)(光学定理光学定理（证明见后）)0(Im4fkQ分波法的适用范围：分波法
13、的适用范围：分波法求散射截面是一个无穷级数的问题，从原则上讲，分波法是散射问题的普遍方法。但实际上，依次计算级数中的各项是相当复杂的，有时也是不可能的，所以只能在一定的条件下计算级数中的前几项，达到一定精确度即可。散射主要发生在势场的作用范围内，若以散射中心为心，以a为半径的球表示这个范围，则ra时，散射效果就可以忽略不计了，由于入射波的第l个分波的径向函数jl(kr)的第一极大值位于 附近，当r较大时，l愈大， klr 0)(0rlkrj0klr愈快，如果jl(kr)的第一极大值位于，即lka时，在ra内，jl(kr)的值很小。亦即第l个分波受势场的影响很小，散射影响可以忽略，只有第l个分波
14、之前的各分波必须考虑，所以，我们把分波法适用的条件写成，而的分波不必考虑，ka愈小，则需计算的项数愈小，当kaka的分波散射截面可以略去。kal kal 说明：说明：已知U(r)时，可用分波法求出低能散射的相移和散射截面，在原子核及基本粒子问题中，作用力不清楚，也即不知道U(r)的具体形式，这时，我们可先由实验测定散射截面和相移，然后确定势场和力的形式和性质，这是研究原子核及基本粒子常用的一种方法。思考题：思考题：什么是分波法分波法是说入射平面波eikz按球面波展开)(cos)() 12(0cosllllikrikzPkrjilee展开式中的每一项称为一个分波，每个分波在中心力场的影响下，各自
15、产生一个相移l。而l的获得需根据U(r)的具体形式解径向方程0)() 1()(22)(122222rRrllrUEdrrdRrdrdr求出Rl(r)，然后取其渐近解，并写成即可得到第l个分波的相移，由于每个分波都将产生相移l，所以，计算散射截面时须寻找各个分波的相移，这种方法称为分波法。 lrllkrkrrR21sin1)(分波法应用举例分波法应用举例ararUrU0)(0ex. 球方势阱和球方势垒的低能散射。球方势阱和球方势垒的低能散射。 粒子的势能粒子的势能U0是势阱或势垒的深度或高度，设入射粒子能量很小，其德布罗意波长比势场作是势阱或势垒的深度或高度，设入射粒子能量很小，其德布罗意波长比
16、势场作用范围大很多（质子和中子的低能散射可以近似地归结为这种情况），求粒子的用范围大很多（质子和中子的低能散射可以近似地归结为这种情况），求粒子的散射截面。散射截面。Solve:粒子的径向方程（1）其中E为粒子的能量，U(r)为粒子在靶粒子中心力场中的势能。对于球方势阱U000)() 1()()(12222rRrllrVkdrrdRrdrdrll222)(2)(,2rUrVEk（2）ararkUrUrV0|2)(2)(20202因粒子波长，所以仅需讨论s波的散射（l=0），据此及（2）式，可将方程（1）写成（3）（4）11 kaakakharrRkdrrdRrdrdr0)()(102022ar
17、rRkdrrdRrdrdr0)()(102022其中令，则（3），（4）可写成2022kkkrrurR)()(00（5）（6）0)()(02202rukdrrud0)()(02202rukdrrud其解为arrkAru)sin()(00arkrBru)sin()(00（7）（8）于是arrkrArR)sin()(00arkrrBrR)sin()(00（10）（9）因在r=0处有限，必须有所以在r=a 处，及连续，因此，及在r=a 处连续由（7），（8）式得rrurR)()(000)0(0u00)(0rRdrrdR)(0)(0rudrrdu)(0由此求得相移（11）总散射截面aktgkkatgk
18、1)(10kaaktgkkarctg0（12）0220sin4kQQQllkaaktgkkarctgk22sin4在粒子能量很低的情况下，。利用x1时，arctgxx，有（13）（14）对于球方势垒。)0(k0kk 11000akatgkkakaaktgkk2002202022144sin4akatgkakkQ00U这时，用ik0代替以上讨论中的k0，在粒子能量很低的情况下，（13）变为（15）（14）写为)0(k1000akathkka（16）当时，由于代入（16）式，得200214akathkaQ0U0k100000akakakakeeeeathk24aQ低能粒子经无限高势垒场的散射，其散
19、射截面等于半径为a的球面面积，它与经典情况不同，在经典情况下，总散射截面就是作为散射中心的半径为a的硬球的最大截面面积，它是量子力学计算的结果的。)(2a41四、玻恩近似四、玻恩近似分波法仅适用于讨论低能粒子的散射问题，当入射粒子的能量很高时，采用分波法计算散射截面就不恰当了，对于高能入射粒子而言，势能可看作是微扰，体系的哈密顿算符为)(rUHHH0其中，是粒子的动能（自由粒子的哈密顿量），其本征函数取箱归一化的动量本征函数，粒子与散射力场的相互作用能。220pH rk ikeL23波矢量，pk)(rUH这里，采用箱归一化意味着体积L3内只有一个粒子。于是，入射粒子流密度单位时间内，散射到方向
20、立体角内的粒子数3 LN),(ddLqNdqdn3),(),(（1）另一方面，入射粒子由于受到靶粒子力场的微扰作用，从动量为的初态跃迁到动量的末态，即对于弹性散射，动能守恒k)(rkk)(rk)(rkkkk|)(rk单位时间内，粒子从初态跃迁到动量大小为，方向为的立体角内所有末态上的几率，即跃迁几率（2）跃迁距阵元)(rkkp),(ddmHkk)(22（3）为动量大小为，方向角为的末态数目（态密度）drrUHkkkk)()(*derULrkki)(3)()(mk),(（4）kLm32)(将（3）、（4）代入（2）式，得出（5）此式在数量上即表示单位时间内跃迁到立体角d内的粒子数dderUkLr
21、kki2)(323)(4（6）比较（1），（6）式，并注意到 ，立即可得 dderUkLdnrkki2)(323)(4kv（7）式中绝对值内保留负号是因为用格林函数法算出的散射振幅有一负号。引入矢量2)(422)(4),(derUqrkki),(fkkkKkkkK2sin2kK 其中是散射角，是散射引起动量的变化，于是KderUderUrKirkki)()()(（8）取的方向为球坐标的极轴方向，为方位角，则可简化积分（9）因而K,2000cos2sin)()(ddedrrrUderUiKrrKi0)sin()(4drKrrrUK（10）20422)sin()(4),(drKrrrUKq此式即为
22、玻恩近似表达式，若势能U(r)已知，计算积分后就可以求出微分散射截面，所以，应用玻恩近似法计算微分散射截面时，主要难点在于给出U(r)的具体形式后，如何计算积分。下面给出几种常见的较复杂的作用势能及对应的积分公式。0sin)(KrdrrrU2sin)sin(4)sin()(2)sin()(0202200340022200222222drrKrrUKaKdrKrereUaKedrKrreeUkaaKdrKrreeUrUararaKraraarar玻恩近似法应用举例：玻恩近似法应用举例：玻恩近似法的适用范围：玻恩近似法的适用范围：玻恩近似法只适用于粒子的高能散射，它与分波法（适用于低能散射）相互补
23、充，作为解决散射问题的两种主要近似方法。ex.1 计算高速带电粒子计算高速带电粒子 ，被中性原子内部的屏蔽库仑场，被中性原子内部的屏蔽库仑场 所所散射的散射截面。散射的散射截面。eZarsereZZrU2)(Solve：高速带电粒子属高能粒子，故20422)sin()(4)(drKrrrUKq2042422)sin(42drKreKeZZars（1）22242422142aKKKeZZs22244422)1 (42KaaeZZs其中（2）当入射粒子的能量很大，散射角较大时 （3）所以上式可近似写成2sin2kK 12sin2kKa（4）2sin1614)(4)(44442244442222ke
24、ZZKaaeZZqss2csc4442422seZZ此式称为Rutherford散射公式。首先由卢瑟福用经典方法计算库仑散射（不考虑屏蔽作用）得出。这说明式（3）是经典力学方法可以适用的条件。式（4）表明要求散射角比较大，能量比较大，这时散射要在原子核附近发生，即入射粒子深入到原子内部，因而核外电子不起屏蔽作用。当角很小时，条件（3）不能满足，Rutherford公式不能成立，此时需用（1）式。ex.1.粒子受到势能为粒子受到势能为 的场的散射，求的场的散射，求s分波的微分散射截面。分波的微分散射截面。2)(rarU解解为一般起见，先考虑l分波的相移，再取特殊情况s分波的相移。根据边界条件（1
25、）解径向Rl(r)满足的径向方程llrllkrkrAkrR21sin)(令0)() 1()(22)(122222rRrllrUErRdrdrdrdr20222,2aVEk0)() 1(1220222rRrllrVkRdrdrdrdr（2）又令所以（2）式可以写成0)() 1(2)(022222rRVllrkRdrdrrRdrdr)(1)(1)(ukrukrrRkr（3）令于是（3）式又可写成0)(21)()(022222uVldduudd02221Vl（4）上式是阶贝塞尔方程，其解为因此 0)()()(22222uuddudd)(JJkrrR1)(但当时，所以在r=0附近0r)(krJ)(1)
26、(krJkrrRr421cos2)(krkrkrJ2421sin2krkr421sin2krkr由（5）比较（1）式和（5）式，则有421sin2)(krkrrRr)(24ll21) 12(4l02212) 12(4Vll222212) 12(4all令将值代入微分散射截面的表达式2811400al0202sin)(cos) 12(1)(lilllePlkq立即可得到s分波的微分散射截面20020sin)(cos1)(0iePkq022sin1k28114sin122aks分波散射截面dqQl)(028114sin422akex.2.慢速粒子受到势能为慢速粒子受到势能为 的场的散射，的场的散射
27、，若若 ， ，求散射截面。，求散射截面。ararUrU当当0)(00UE 00U解解由于是慢速粒子散射，对于低能散射只需考虑s分波。由径向波函数R(r)所满足的径向方程0)() 1()(22122222rRrllrUERdrdrdrdr当l=0时（1）令（2）0)()(2212222rRrUERdrdrdrdrrrurR)()(（3）将代入以上方程并令（4）0)()(2)(222ruruEdrrudararUrU0)(020222)(2,2EUkEk（5）（6）arrukdrrud0)()(222arrukdrrud0)()(222areBeArurkrk)(arkrCru)sin()(0ar
28、eBeArrrurRrkrk)(1)()(arkrrCrrurR)sin()()(0当应有限，则要求)(0rRr 0BAarrkshrAeerArRrkrk)()(在r=a处，R(r)和为连续drrdR)(两式相除，得akAshkaC)sin(0akchkAkakC)cos(0(7)总散射截面akthkkkatg)(0akthkkarctgka00220sin4kQQakthkkarctgkak22sin4讨论讨论：当粒子的能量时，0UE 020202)(2kUEUk1kkathkkkkaakthkkka000100akathkka如果粒子能量很低k0的情况下11000akathkka2020
29、2204sin4kkQQ200214akathka如果时，于是有0U0k100000akakakakeeeeathk24 aQ2aQ在这种情况下，总散射截面等于半径为a的球面面积。它与经典情况不同，在经典情况下，ex.3.只考虑只考虑s分波，求慢速粒子受到势场分波，求慢速粒子受到势场 的场散射时的散射截面的场散射时的散射截面4)(rarU解解根据边界条件（）解径向方程： llrllkrkrAkrR21sin)(令则上方程简写为：0)() 1()(22)(122222rRrllrUErRdrdrdrdrll222Ek4042212)(2)(rVrarUrV令代入上方程，有0)() 1()(124
30、0222rRrllrVkrRdrdrdrdrll)(1)(llurRkr0)(21)()(2202222lllulrVddudud只考虑s分波，l=0，由于，以上方程在时的渐近形式为020rVr0)(21)()(22222llluddududr此为阶贝塞尔方程，其解为由于，所以有限解为于是21)(21J0)(21J)(21J)(1)(210krJkrrRr 4221cos2krkrrkrkrsin2比较（1）和（2）两式，并注意取（1）式中的l等于0，则000sin40220kQex.4.用玻恩近似法求粒子在势能场用玻恩近似法求粒子在势能场 中散射的散射截面中散射的散射截面 220)(raeU
31、rU 解解根据微分散射截面公式于是将代入上式积分20422sin)(4),(RrdrrrUKq220)(raeUrU000sinsin)(22KrdrreUKrdrrrUraKrdreaKUKreaUraracos2sin20200202222224220212aKeaaKU224304aKeaKU222462204),(aKeaUq2sin2kK 2sin2exp4),(22246220akaUq)cos1 (exp42246220akaUdqQ),(ddakeaUaksincosexp42220046220220222442202cosexp222akekaUak2222222442202
32、2akakakeeekaU2222420222aksheaUakex.5.用玻恩近似法求粒子在势能场用玻恩近似法求粒子在势能场 中散射的微分中散射的微分散射截面，式中散射截面，式中 。ararbrrzerUs当当0)(222szeab 解解 KrdrrrUsin)(0Krdrbrzeassin022KrdrrKbKrbrzeKaas0022cos2cos1aassKrdrbKKrrbKKabazezeK0202222sin2sin2cos1)cos1 (2sin2cos132222KabKKabKaKabazezeKssKaKbaKabKbazebKzeKsssin2cos2212222220
33、422sin)(4),(KrdrrrUKq222222442sin2cos224KaKbaKabKbazebKzeKssex.6.设设 ，求反射系数，求反射系数axeVxV/01)(solve：（1）令)()()()(2222xExxVdxxdaxe则（2）（3）11100VVVddaddeadxddddxdax11（4）将（2）（4）代入方程（1），则有ddddadxddddddxd222221)()()1 (222220222akaVdddd222Ek（5）其中x当时，方程（1）的渐近形式)(222xkdxd此方程有平面波解令（6）当时，超于常数ikaikxex)()()(ikax0)(（
34、7）1ikaikaikadddd212222) 1(2ikaikaikaikaikaddikadddd利用这些关系式，方程（5）可写成（8）0)1)(21 ()1 (22022akddikadd其中将（8）写成)(220122100EVkKkVk（9）再令0)()1)(21 ()1 (222122akkddikaddakkiakkiikac)(,)(),21 (11显然于是，方程（9）变为（10）方程（10）为超几何方程，其满足（即），有限的解为c10)() 1()1 (22ddcdd0 x)(（11）! 2) 1() 1() 1(! 11);,()(2ccccF! 3)2)(1()2)(1(
35、)2)(1(3ccc满足即，有限的解为)(x)(1; 1, 1,)()()()()()(ccc（12）1; 1, 1,)()()()()(ccc当，即时xakkiakkiikacce)(2)(111)(xikxikkaiecece11212)()()()(1ccc)()()()(2ccc反射系数：（13）利用222122)()()()()()(ccccRxxxxxsin)1 ()(),()(*akkic)(11akkic)(11aki12)()()()()()(*2ccc)(1 )(1 )()(1111akkiakkiakkiakki我们可得：)(sin)(sin11akkiakki212)(akksh)()()()()()(*2ccc)(1 )(1 )()(1111akkiakkiakkiakki)(sin)(sin11akkiakki212)(akksh1)2()2()2()2()2()2()()(1111212122akiakiakiakiakiaki将上述结果代入（13）式，得)()(1212akkshakkshR
