1、3.1 存贮模型存贮模型3.2 生猪的出售时机生猪的出售时机( (敏感性分析敏感性分析) )3.5 生产者的决策生产者的决策第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型( (极值问题极值问题) )问问 题题配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付备要付生产准备费生产准备费，产量大于需求时要付，产量大于需求时要付贮存费贮存费。该厂。该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。已知某产品日需求量已知某产品日需求量100件，生产准备费件，生产准备费5000元，贮存费元，贮存费每日每件每日每
2、件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。要要 求求要建立生产周期、产量与需求量、准备费、要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系。贮存费之间的关系。3.1 存贮模型存贮模型 这是一个优化问题，关键在建立目标函数。这是一个优化问题，关键在建立目标函数。用一个周期的总费用作为目标函数用一个周期的总费用作为目标函数?目标函数目标函数平均每天的总费用平均每天的总费用 周期短，产量小周期短，产量小 周期长，产量大周期长，产量大问题分析与思考问题分析与思考贮
3、存费少，准备费多贮存费少，准备费多准备费少，贮存费多准备费少，贮存费多权衡周期和产量，使总费用最小权衡周期和产量，使总费用最小模模 型型 假假 设设1. 市场对产品每天的需求量为常数市场对产品每天的需求量为常数 r；2. 每次生产准备费为每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为每天每件产品贮存费为 c2；3. T天生产一次（周期）天生产一次（周期）, 每次生产每次生产Q件，当贮存量件，当贮存量 为零时，为零时，Q件产品立即产出（生产时间不计）；件产品立即产出（生产时间不计）；建建 模模 目目 的的设设 r, c1, c2 已知，求已知，求T, Q 使总费用的使总费用的每天平均值每天平均值
4、最小。最小。4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。模模 型型 建建 立立0tq贮存量表示为时间的函数贮存量表示为时间的函数 q(t)TQrt=0生产生产Q件，件，q(0)=Q, q(t)以以按按速率速率r递减，递减，q(T)=0.一周期一周期总费用总费用TQccC221每天总费用平均每天总费用平均值（目标函数）值（目标函数）2)(21rTcTcTCTC离散问题连续化离散问题连续化AcdttqcT202)(一周期贮存费为一周期贮存费为A=QT/22221rTcc rTQ 模型求解模型求解Min2)(21rTcTcTC求求 T 使使0dTdC212c
5、rcrTQ212rccT 模型分析模型分析QTc,1QTc,2QTr,模型应用模型应用c1=5000, c2=1，r=100T=10(天天), Q=1000(件件), C=1000(元元) 回答问题回答问题 经济批量订货公式经济批量订货公式（EOQ公式公式）212rccT 212crcrTQ每天需求量每天需求量 r，每次生产准备费，每次生产准备费 c1,每天每件贮存费每天每件贮存费 c2 ，不允许缺货的存贮模型不允许缺货的存贮模型 问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？T天生产一次天生产一次(周期周期), 每次生产每次生产Q件，当贮存量
6、降到件，当贮存量降到零时，零时，Q件立即生产。件立即生产。类似可应用于订货问题类似可应用于订货问题允许缺货的存贮模型允许缺货的存贮模型AB0qQrT1t当贮存量降到零时仍有需求当贮存量降到零时仍有需求r, 出现缺货，造成损失出现缺货，造成损失原模型不允许缺货：贮存量降到零原模型不允许缺货：贮存量降到零时时Q件立即生产出来件立即生产出来(或立即到货或立即到货)现假设允许缺货：每天每件缺货损失费现假设允许缺货：每天每件缺货损失费 c3 , 所缺量事后须补足所缺量事后须补足T1rTQ AcdttqcT2021)(一周期一周期贮存费贮存费BcdttqcTT331)(一周期一周期缺货费缺货费周期周期T,
7、 t=T1贮存量降到零贮存量降到零2)(2213121TTrcQTccC一周期总费用一周期总费用rTQrTcrTQcTcTCQTC2)(2),(232210,0QCTC每天总费用每天总费用平均值平均值（目标函数）（目标函数）213121)(2121TTrcQTccC一周期总费用一周期总费用Min),(QTC求求 T ,Q 使使332212cccrccT323212ccccrcQ为与为与不允许缺货的存贮模型不允许缺货的存贮模型区别，区别，T记作记作T , Q记作记作Q212rccT 212crcrTQ不允不允许缺许缺货模货模型型QQTT,332ccc 记记1QQTT,13cQQTT,332212
8、cccrccT323212ccccrcQ允许允许缺货缺货模型模型不不允允许许缺缺货货3c332212cccrccT323212ccccrcQ允许允许缺货缺货模型模型0qQ rT1tT注意：缺货须补足注意：缺货须补足Q 每周期初的存贮量每周期初的存贮量R每周期的生产量每周期的生产量R （或订货量）（或订货量）332212ccccrcTrRQ不允许缺货时的产量不允许缺货时的产量(或订货量或订货量) QQR思考：允许缺货与不允许缺货，哪个费用更低？思考：允许缺货与不允许缺货，哪个费用更低？一句话小结 统筹兼顾 权衡利弊 把握适度 过犹不及模型拓展 现实条件：生产需要时间； 市场需求不确定(参看9.3
9、节) CUMCM1999A 自动化车床管理 http:/ 0.1元，问生猪应何时出售。元，问生猪应何时出售。如果如果估计估计和和预测预测有误差，对结果有何影响。有误差，对结果有何影响。分分析析投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大3.2 生猪的出售时机生猪的出售时机( (敏感性分析敏感性分析) )trtgttQ4)80)(8()(求求 t 使使Q(t)最大最大rggrt240410天后出售，可多得利润天后出售，可多得利润20元元建模及求解建模及求解生猪体重生猪体重 w=80
10、+rt出售价格出售价格 p=8-gt销售收入销售收入 R=pw资金投入资金投入 C=4t利润利润 Q=R-C=pw -C估计估计r=2，若当前出售，利润为若当前出售，利润为808=640（元）（元）t 天天出售出售=10Q(10)=660 640g=0.1敏感性分析敏感性分析研究研究 r, g变化时对模型结果的影响变化时对模型结果的影响 估计估计r=2， g=0.1rggrt2404 设设g=0.1不变不变 5 . 1,6040rrrtt 对对r 的（相对）敏感度的（相对）敏感度 rrttrtS/),(trdrdt3604060),(rrtS生猪每天体重增加量生猪每天体重增加量r 增加增加1%
11、，出售时间推迟，出售时间推迟3%。 1.522.5305101520rt敏感性分析敏感性分析估计估计r=2， g=0.1rggrt2404研究研究 r, g变化时对模型结果的影响变化时对模型结果的影响 设设r=2不变不变 15. 00,203gggtt 对对g的（相对）敏感度的（相对）敏感度 tgdgdtggttgtS/),(32033),(ggtS生猪每天的降价幅度生猪每天的降价幅度g增加增加1%，出售时间提前，出售时间提前3%。 0.060.080.10.120.140.160102030gt强健性强健性(鲁棒性鲁棒性)分析分析普遍适用的结论：保留生猪直到利润的增值等于每普遍适用的结论：保
12、留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售天的费用时出售(这是边际利润为零这是边际利润为零)研究研究 r, g不是常数时对模型结果的影响不是常数时对模型结果的影响 w = w(t)4)()()()(twtptwtpp =p(t) 0)( tQ每天利润的增值每天利润的增值 每天投入的资金每天投入的资金 ttwtptQ4)()()(一句话小结 模型参数往往都是有误差的，需要做敏感性敏感性分析； 数学模型本身往往只是近似的，需要做鲁棒鲁棒性性分析。模型拓展 饲料、人力、设备投入增加对生猪体重的饲料、人力、设备投入增加对生猪体重的影响的细致刻画？影响的细致刻画？ 体重、价格变化的不确定性？体重、价格变化
13、的不确定性？ 最优停时问题：买卖股票的最佳时机？最优停时问题：买卖股票的最佳时机？问题问题根据产品成本和市场需求，在根据产品成本和市场需求，在产销平产销平衡条件下衡条件下确定商品价格，使利润最大确定商品价格，使利润最大假设假设1）产量等于销量，记作）产量等于销量，记作 x2）收入与销量）收入与销量 x 成正比，系数成正比，系数 p 即价格即价格3）支出与产量）支出与产量 x 成正比，系数成正比，系数 q 即成本即成本4）销量）销量 x 依赖于价格依赖于价格 p, x(p)是减函数是减函数 建模建模与求解与求解pxpI)(收入收入qxpC)(支出支出)()()(pCpIpU利润利润进一步设进一步
14、设0,)(babpapx求求p使使U(p)最大最大3.5 生产者的决策生产者的决策背景：产品定价方法 成本导向定价：按商品单位成本加上一定比例的毛利定价。 竞争导向定价：依据竞争对手的价格，制定价格，以实施企业的竞争策略。 需求导向定价：根据消费者群体对于各种不同的产品感受的价值定价。比较生猪出售结论：保留生猪直到利润的增值等于每天的费比较生猪出售结论：保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售用时出售(这是边际利润为零这是边际利润为零)0* ppdpdU使利润使利润 U(p)最大的最优价格最大的最优价格 p*满足满足*ppppdpdCdpdI最大利润在边际收入等于边际支出时达到最大利润在边际
15、收入等于边际支出时达到(边际利润边际利润0)pxpI)(qxpC)(bpapx)()(bpaqp)()()(pCpIpUbaqp22* 建模建模与求解与求解边际收入边际收入边际支出边际支出结果结果解释解释baqp22*0,)(babpapx q / 2 成本的一半成本的一半 b 价格上升价格上升1单位时销量的下降单位时销量的下降 幅度（需求对价格的敏感度）幅度（需求对价格的敏感度） a 绝对需求绝对需求(最大最大销量销量)， p=a/b时，销量为时，销量为0b p* a p* 启示：商品价格一半由成本决定，一半由需求决定启示：商品价格一半由成本决定，一半由需求决定应用中的问题：销量，时滞，竞争，应用中的问题：销量，时滞，竞争， a / (2b) 使收入最大的使收入最大的p一句话小结 数学模型的参数和数学建模的结论应有直观的实际意义解释。数理定价问题拓展 产销平衡条件不成立？（考虑存贮费）产销平衡条件不成立？（考虑存贮费） 电子商务的动态定价策略电子商务的动态定价策略 金融数学：期权定价问题（不确定市场）金融数学：期权定价问题（不确定市场）
