1、第二章第二章 一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布第一节 随机变量第二节 离散型随机变量及其分布律第三节 随机变量的分布函数第四节 连续型随机变量及其概率密度第五节 随机变量的函数的分布 概率论是从数量上来研究随机现象内在规律概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的性的，为了更方便有力的研究随机现象为了更方便有力的研究随机现象，就要用就要用数学分析的方法来研究数学分析的方法来研究， 因此为了便于数学上的因此为了便于数学上的推导和计算推导和计算，就需将任意的随机事件就需将任意的随机事件数量化数量化当当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时， 就建立
2、起了随机变量的概念就建立起了随机变量的概念1. 为什么引入随机变量为什么引入随机变量?第一节第一节 随机变量随机变量2. 随机变量的引入随机变量的引入实例实例1 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色观察摸出球的颜色.S=红色、白色红色、白色 非数量非数量将将 S 数量化数量化 ?可采用下列方法可采用下列方法 S红色红色 白色白色)(eXR10即有即有 X (红色红色)=1 , ., 0, 1)(白色白色红色红色eeeXX (白色白色)=0.这样便将非数量的这样便将非数量的 S=红色，白色红色，白色 数量化了数量化了.实例实例2 抛掷骰子抛掷骰子
3、,观察出现的点数观察出现的点数., 3) 3(, 2) 2(, 1) 1 ( XXX, 6)6(, 5)5(, 4)4( XXX).6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1(,61 iiXPS=1，2，3，4，5，6样本点本身就是数量样本点本身就是数量恒等变换恒等变换且有且有eeX )(则有则有1.定义定义 设设X X (w w )是定义在样本空间是定义在样本空间W W上的实值上的实值函数，称函数，称X X (w w )为随机变量为随机变量. . 随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母X，Y，Z，W，.等表示等表示或希腊字母或希腊字母 , ,.等表示。等表示。下图给出样本点下图给出样本
4、点w w与实数与实数X X (w w )对应的示意图对应的示意图 W1w2w3wx二、随机变量的概念二、随机变量的概念实例实例3 掷一个硬币掷一个硬币, 观察出现的面观察出现的面 , 共有两个共有两个结果结果:),(1反面朝上反面朝上 e),(2正面朝上正面朝上 e若用若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数表示掷一个硬币出现正面的次数, 则有则有)(eX)(1反面朝上反面朝上 e)(2正面朝上正面朝上 e100)(1 eX1)(2 eX即即 X 是一个随机变量是一个随机变量.实例实例4 在有两个孩子的家庭中在有两个孩子的家庭中,考虑考虑其性别其性别 , 共有共有 4 个样本点个样本点:).,(
5、),(, ),(),(4321女女女女男男女女女女男男男男男男 eeee若用若用 X 表示该家女孩子的个数时表示该家女孩子的个数时 , 则有则有, 0)(1 eX, 1)(2 eX, 1)(3 eX, 2)(4 eX可得随机变量可得随机变量 X = ., 2, 1, 0)(4321eeeeeeeeeX实例实例5 设盒中有设盒中有5个球个球 (2白白3黑黑), 从中任抽从中任抽3个个,则则,)(抽得的白球数抽得的白球数 eX是一个随机变量是一个随机变量. 且且 X(e) 的所有可能取值为的所有可能取值为:, 0, 1. 2实例实例6 6 观察某城市的观察某城市的120120急救电话台一昼夜接到急
6、救电话台一昼夜接到的呼叫次数的呼叫次数如果用如果用X表示呼叫次数，表示呼叫次数，那么那么 表示一随机事件，表示一随机事件，显然显然 也表示一随机事件也表示一随机事件), 2 , 1 , 0(kkX), 2 , 1 , 0(kkX实例实例7 某公共汽车站每隔某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通分钟有一辆汽车通过过, 如果某人到达该车站的时刻是随机的如果某人到达该车站的时刻是随机的, 则则,)(此人的等车时间此人的等车时间 eX是一个随机变量是一个随机变量.且且 X(e) 的所有可的所有可能取值为能取值为:).5 , 0随机变量随着试验的结果不同而取不同的值随机变量随着试验的结果不同而取不同的值
7、, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因因此随机变量的取值也有一定的概率规律此随机变量的取值也有一定的概率规律.(2)随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量是一个函数随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有但它与普通的函数有着本质的差别着本质的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的普通函数是定义在实数轴上的,而而随机变量是定义在样本空间上的随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元样本空间的元素不一定是实数素不一定是实数).2.说明说明(1)随机变量与普通的函数不同随机变量与普通的函数不同随机事件包容在随机变量这个
8、范围更广的概随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之内念之内.或者说或者说 : 随机事件是从静态的观点来研究随机事件是从静态的观点来研究随机现象随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随而随机变量则是从动态的观点来研究随机现象机现象.(3)随机变量与随机事件的关系随机变量与随机事件的关系 随机变量的取值随试验的结果而定，随机变量的取值随试验的结果而定，随机变量随机变量的某种取值都对应一个随机事件；的某种取值都对应一个随机事件；而随机变量的取而随机变量的取值概率即为所对应的随机事件的概率。值概率即为所对应的随机事件的概率。 3.随机变量的分类随机变量的分类离散型离散型(1)离散型离散型 随机
9、变量的可能取值是有限多个或随机变量的可能取值是有限多个或无限可列个无限可列个, 叫做离散型随机变量叫做离散型随机变量. 观察掷一个骰子出现的点数观察掷一个骰子出现的点数.随机变量随机变量 X 的可能取值是的可能取值是 :随机变量随机变量连续型连续型实例实例11, 2, 3, 4, 5, 6.非离散型非离散型其它其它实例实例2 若随机变量若随机变量 X 记为记为 “连续射击连续射击, 直至命直至命中时的射击次数中时的射击次数”, 则则 X 的可能取值是的可能取值是: ., 3, 2, 1实例实例3 设某射手每次射击打中目标的概率是设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了现该射手射了3
10、0次次,则随机变量则随机变量 X 记为记为“击中目标击中目标的次数的次数”, 则则 X 的所有可能取值为的所有可能取值为:.30, 3, 2, 1, 0实例实例1 随机变量随机变量 X 为为“灯泡的寿命灯泡的寿命”.)., 0 (2)连续型连续型 随机变量所取的可能值随机变量所取的可能值是某个区间上是某个区间上的任意一个实数的任意一个实数,叫做连续型随机变量叫做连续型随机变量.则则 X 的取值范围为的取值范围为实例实例2 在区间在区间0，1上随机地投点，上随机地投点， 随机变量随机变量X 为为“点的位置（坐点的位置（坐标）标）”。则则 X 的取值范围为的取值范围为 0，1),2, 1(kxkX
11、 取各个可能值的概率，即事件 的概率为kxX ,1,2,kkP Xxpk（2.1）则称（2.1）式为离散型随机变量X的分布律。定义定义 设离散型随机变量 X 所有可能取值为第二节第二节 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律分布律也可以直观地用下面的表格来表示： Xnxxx21kpnppp21由概率的定义知，分布律中的 应满足以下条件： kp, 2 , 1, 01kpk。. 121kkp。随机变量X的所有取值随机变量X的各个取值所对应的概率补例 设随机变量 的分布律为 ，XNakXP )(Nk, 2, 1，试确定常数 。 a解：1)(11NaNNakXPNkNk1a 补例 某系统有两
12、台机器相互独立地运转设第一台与第二台机器发生故障的概率分别为0.1，0.2，以X表示系统中发生故障的机器数，求X的分布律。 解 （1）确定）确定r.v.X的所有可能取值；的所有可能取值；（2）求）求X取各个可能值的概率，即求所对应的取各个可能值的概率，即求所对应的 随机事件的概率。随机事件的概率。X=0, 1, 22 , 1iiAi台机器发生故障”，表示事件“第设72. 08 . 09 . 0)()()(02121APAPAAPXP26. 02 . 09 . 08 . 01 . 0)()( 12121AAPAAPXP02. 02 . 01 . 0)(221AAPXP故X的分布律为： X210k
13、p02. 026. 072. 0.),(,.21,的的分分布布律律求求相相互互独独立立的的设设各各组组信信号号灯灯的的工工作作是是号号灯灯的的组组数数它它已已通通过过的的信信表表示示汽汽车车首首次次停停下下时时以以车车通通过过的的概概率率允允许许或或禁禁止止汽汽每每组组信信号号灯灯以以组组信信号号灯灯的的道道路路上上需需经经过过四四设设一一汽汽车车在在开开往往目目的的地地XX解：解：例例1 X 的可能取值为：的可能取值为：0，1，2，3，4,通通过过的的概概率率为为每每组组信信号号灯灯禁禁止止汽汽车车设设 p则有则有代入得代入得将将21 pXkp432105 . 025. 0 125. 0 0
14、625. 0 0625. 0kpppp)1( pp2)1 ( pp3)1 ( 4)1(p X43210补例补例 某盒产品中恰有某盒产品中恰有8件正品，件正品，2件次品，每次从件次品，每次从中不放回的任取一件进行检查，直到取到正品为止，中不放回的任取一件进行检查，直到取到正品为止， 表示抽取次数，求表示抽取次数，求 的分布律。的分布律。解：解： 的可能取值为：的可能取值为：1，2，31 P54108“第一次取到正品第一次取到正品” 2 P45898102“第一次取到次品，第二次第一次取到次品，第二次取到正品取到正品” 3 P4518891102 “前两次均取到次品，第三前两次均取到次品，第三次取
15、到正品次取到正品”思考：思考： 将将“无放回无放回”改成改成“有放回有放回”，求，求 的分的分布律。布律。 故故 的分布律为的分布律为P P15 54 42 23 34 45 58 84 45 51 1 的可能取值为：的可能取值为：1，2，3，, 3 , 2 , 1,54511kkPk（一）（一）（0 01 1）分布）分布 设随机变量 X 只可能取0与1两个值，它的分布律是) 1, 10(1 , 0,1qppkqpkXPkk则称 X 服从（01）分布或两点分布 （01）分布的分布律也可写成 X10kppq抛一枚硬币，观察出现正面H还是反面T，正面X0,反面X1T H对于一个随机试验，如果它的样
16、本空间只包含两个元素，即 ，我们总能在W上定义一个服从（01）分布的随机变量 12,Ww w., 1, 0)(21wwwww当当XX来描述这个随机试验的结果。 检查产品的质量是否合格，对新生婴儿的性别进行登记，检验种子是否发芽以及前面多次讨论过的“抛硬币”试验都可以用（0-1）分布的随机变量来描述引例引例 数学考试中有5个问题。这些问题可以看成是相互独立的。某人能以0.8的概率解出每一道题目。则他能解出所有的5道题的概率是多少？他能解出5道题中的三道的概率是多少？解答解答 他能解出所有的5道题的概率是多少？3277. 08 . 08 . 08 . 08 . 08 . 01. 能以0.8的概率解
17、出每一道题目2. 问题可以看成是相互独立的解答解答 能解出5道题中的三道的概率是多少？0205. 02 . 02 . 08 . 08 . 08 . 0恰能解出5道题中的前面三道的概率0205. 08 . 08 . 08 . 02 . 02 . 0恰能解出5道题中的后面三道的概率解答解答 能解出5道题中的三道的概率是多少？0205. 02 . 08 . 0231. 从5道题中选出三道，可能的选法有1053C2. 他恰能解出所选出的三道的概率为n能解出5道题中的三道的概率205. 02 . 08 . 02353C伯努利试验是一种非常重要的概率模型，它是“在同样条件下独立地进行重复试验或观察”的一种
18、数学模型，有着广泛的实际应用设试验 只有两个可能结果： 及 , 则称 为伯努利（Bernoulli）试验设 ，此时 ,将E 独立重复地进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验. EAA) 10()(ppAPpAP1)(E（二）（二） 伯努利试验与二项分布伯努利试验与二项分布现在求的分布律现在求的分布律 次这一事件，正好出现重伯努利试验中事件记若以kAnBk则次试验中出现事件表示第而以即事件,AiAkXinknknnkkkAAAAAAAAAAB121121，次试验出现另外次试验出现事件右边的每一项表示某AknAk,所有可能取的值为所有可能取的值为则则 X., 2, 1, 0n,发发生生
19、的的次次数数重重伯伯努努利利试试验验中中事事件件表表示示若若AnX)()()()()()(121121nkknkkAPAPAPAPAPAAAAAP这种项共有 个，而且两两互不相容 nkknkqppq1其中由试验的独立性，得 同理可得上式右边各项所对应的概率均为 knkqpnknknnkkkAAAAAAAAAAB121121即 012kn knP Xkp qknk ， ， ， ，利用概率的有限可加性知 knkknkppCBP)1 ()(显然 0 kXP00()1nnkn knkknP Xkp qp qk 满足分布律的两个条件即kXP注意到 刚好是二项式 的展开式中出 knknp qknqp)(的
20、二项分布服从参数为的那一项，故称现pnXvrpk,.X记为),(pnb二项分布二项分布1 n两点分布两点分布.,400,02. 0,率率试试求求至至少少击击中中两两次次的的概概次次独独立立射射击击设设每每次次射射击击的的命命中中率率为为某某人人进进行行射射击击解解,X设击中的次数为设击中的次数为).02. 0 ,400( bX则则的的分分布布律律为为X,)98. 0()02. 0(400400 kkkkXP .400, 1 , 0 k因此因此1012 XPXPXP399400)98. 0)(02. 0(400)98. 0(1 .9972. 0 例例3 这是不放回抽样这是不放回抽样.但由于这批元
21、件的总数很但由于这批元件的总数很大大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.?)20, 1 , 0(20.20, 2 . 0.1500,一一级级品品的的概概率率是是多多少少只只中中恰恰有有只只元元件件问问只只现现在在从从中中随随机机地地抽抽查查品品率率为为级级已已知知某某一一大大批批产产品品的的一一小小时时的的为为一一级级品品用用寿寿命命超超过过某某种种型型号号电电子子元元件件的的使使按按规规定定 kk分析分析.2020,重重伯伯努努利利试试验验只只元元件件相相当当于于做做检
22、检查查验验一一级级品品看看成成是是一一次次试试把把检检查查一一只只元元件件是是否否为为例例2解解,20 只只元元件件中中一一级级品品的的只只数数记记以以 X),2 . 0,20( bX则则因此所求概率为因此所求概率为.20, 1 , 0,)8 . 0()2 . 0(2020 kkkXPkk012. 00 XP058. 01 XP137. 02 XP205. 03 XP218. 04 XP175. 05 XP109. 06 XP055. 07 XP022. 08 XP007. 09 XP002. 010 XP时时当当11,001. 0 kkXP作出上表的图形，如下图所示 直至达到先是随之增加增加
23、时，概率从上图可以看出，当,kXPk4knp最大值（），随后单调减少.一般地，对于固定的 及 ，二项分布都有类似的结果),(pnb例例4 4 设有设有80台同类型设备台同类型设备,各台工作是相互独立的各台工作是相互独立的发生故障的概率都是发生故障的概率都是 0.01，且一台设备的故障能，且一台设备的故障能由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法 , 其一是由四人维护，每人负责其一是由四人维护，每人负责20台；其二是由台；其二是由3人共同维护台人共同维护台80。试比较这两种方法在设备发生。试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。故障时不能
24、及时维修的概率的大小。解解 按第一种方法按第一种方法台台中中人人维维护护的的表表示示事事件件“第第20i)4 , 3 , 2 , 1( iAi以以发生故障时不能及时维修发生故障时不能及时维修”,而不能及时维修的概率为而不能及时维修的概率为则知则知80台中发生故障台中发生故障以以X记记“一个人维护的一个人维护的20台中同时发生故障的台数台中同时发生故障的台数”,)(4321AAAAP)()(14321APAAAAP .2 XP),01. 0 ,20( bX而而故有故有1012XPXPXP即有即有0169. 0)(4321AAAAP0169. 099. 001. 099. 011912020C 按
25、第二种方法按第二种方法.80障的台数障的台数台中同一时刻发生故台中同一时刻发生故记记以以Y),01. 0 ,80( bY则有则有故故 80 台中发生故障而不能及时维修的概率为台中发生故障而不能及时维修的概率为4YP301kkYP0087. 099. 001. 01803080kkkkC（三）泊松分布（三）泊松分布0,1,2,X设随机变量所有可能取值为，！kkXPke， 210k0其中是常数( )X 记为且有显然，, 2 , 1, 0kkXP1eeee000kkkkkkkkXP！而取各个值的概率为X则称 服从参数为 的泊松分布，满足分布律的两个条件即kXP 在生物学在生物学、医学医学、工业统计、
26、保险科学及工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等话呼唤次数等, 都服从泊松分布都服从泊松分布.二项分布二项分布 泊松分布泊松分布)(nnp 泊松定理泊松定理当当n很大，很大，p很小（很小（np=）时，有以下近似式）时，有以下近似式)(!)1 (npekppCkknkkn其中 设设1000 只产品中的次品数为只产品中的次品数为 X , 则则可利用泊松定理计算可利用泊松定理计算,.100101000所求概率为所求概率为100019991000
27、10.9990.001 0.9990.2642411C.!264241101e1e111解解2 XP101XPXP),001.0,1000Xb(例例5 有计算机硬件公司制造某种特殊型号的微有计算机硬件公司制造某种特殊型号的微型芯片，次品率达型芯片，次品率达0.1%，各芯片成为次品相互，各芯片成为次品相互独立。求在独立。求在1000 只产品中至少有只产品中至少有2只次品的概率。只次品的概率。2XP实例实例 在区间在区间0，1上随机地投点，上随机地投点， 随机变量随机变量X 为为“点的位置（坐点的位置（坐标）标）”.则则 连续型连续型r.v. X 的取值范围为的取值范围为 0，1)(xXP任取一实
28、数任取一实数 1,0 x01x)(处点落在坐标xP几何概率几何概率010没有多大的意义没有多大的意义 为了对离散型和连续型为了对离散型和连续型r.v.以及以及其它其它类类型的型的r.v.给出一种统一的描述方法，我们考给出一种统一的描述方法，我们考虑一个虑一个r.v.的取值落在区间的取值落在区间 的概率。的概率。,(21xx21xXxP 12xXPxXP )(2xF)(1xF21xXxP ).()(12xFxF ?F(x) 是是r.v X取值不大于取值不大于 x 的概率；的概率；在几何上，在几何上，它表示它表示r.v.r.v.X的取值的取值落落在区间在区间(- , x的的概率。概率。第三节第三节
29、 随机变量的分布函数随机变量的分布函数是任意实数，函数是一个随机变量，设xX定义 xxXPxF,)(的分布函数称为X其定义域是整个实数轴其定义域是整个实数轴XxF(x)是一个普通的函数，是一个普通的函数，1)(0 xF1.的不减函数是xxF)(2.1)(lim)(0)(lim)(xFFxFFxx，)()0(xFxF是右连续的即)(xF3.对任意实数 x1x2，r.v.X的取值落在区间（ x1 , x2 的概率为：)()(121221xFxFxXPxXPxXxP分布函数 的基本性质： xXPxF)(0例例 抛一枚均匀硬币抛一枚均匀硬币, 令令 ., 0, 1出反面出反面出正面出正面X求随机变量求
30、随机变量 X 的分布函数的分布函数.解解1 Xp0 Xp,21 0 1x,0时时当当 x, 0 0)( xXPxF 0 1x,10时时当当 x)(xXPxF 0 XP;21 ,1时时当当 x)(xXPxF 0 XP1 XP2121 . 1 . 1, 1, 10,21, 0, 0)(xxxxF得得离散型离散型r.v.的分布函数的分布函数0110.5的分布律为的分布律为设随机变量设随机变量 XXkp321 412141解解,)(, 03, 2, 1xXPxFxX 且且处概率不为处概率不为仅在仅在由于由于例例1.32,2523,21, XPXPXPX并求并求的分布函数的分布函数求求 . 3, 1,
31、32,21, 21,1, 1, 0)(xxXPXPxXPxxF得得 . 3, 1, 32,43, 21,41, 1, 0)(xxxxxF即即, )(xXPxF 由由,41 )23()25(2523FFXP ,214143 2)2()3(32 XPFFXP21431 .43 )21(21FXP 得得 )(2XP)()(32XPXP434121，21kpxXPkk的分布函数为由概率的可列可加性得 XxxkkpxF)(kxxk对所有满足的 求和。xxxxpxxxpxxxFkikki10)(112111也可表示为一般地，设离散型r.v.X的分布律为 离散型r.v.的分布函数 是一种概率的累加，是分段函
32、数，它的图形是阶梯状曲线，在 处有跳跃，其跳跃值为 。 , 2 , 1,kxxkkkxXPp)(xF.例例2 一个靶子是半径为一个靶子是半径为2m的圆盘的圆盘,设击中靶上任设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶并设射击都能中靶,以以X表示弹着点与圆心的距离表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量试求随机变量 X 的分布函数的分布函数.解解,0时时当当 x,是不可能事件是不可能事件xXP ,20时时当当 x.,02是常数是常数kkxxXP , 120 XP由由, 14 k得得.41 k即即.402xxXP 因而因而; 0)(
33、 xXPxF于是于是于是于是)(xXPxF ,2时时当当 x故故 X 的分布函数为的分布函数为 . 2, 1, 20,4, 0, 0)(2xxxxxF0 XP0 xXP .42x )(xXPxF . 1 其图形为一连续曲线其图形为一连续曲线 ., 0, 20,2)(其它其它若记若记tttf.d)()(ttfxFx 则则,()()(上的积分上的积分在区间在区间恰是非负函数恰是非负函数xtfxF.为连续型随机变量为连续型随机变量此时称此时称 X注意注意 两类随机变量的分布函数图形的特点两类随机变量的分布函数图形的特点不一样。离散型不一样。离散型r.v.的分布函数是的分布函数是分段函数分段函数；连续
34、；连续型型r.v. 的分布函数是的分布函数是连续函数连续函数。第四节第四节 连续型随机变量连续型随机变量定义，使对于任意实数有负函数如果存在非的分布函数对于随机变量)(),(xfxFX xttfxFd.)(概率密度的概率密度函数，简称为称其中函数称为连续型随机变量，则XxfX 具有以下性质由定义知道，概率密度xf (1)0fx (2)1fx dx1212(3),x xxx对于任意实数有 dxxfxFxFxXxPxx211221(4)( )( )( )f xxF xf x若在点 连续，则有121212(,(,( )()Xx xP xXxx xf x落在区间上的概率等于区间上曲线之下的曲边梯形的面
35、积 如图性质(1),(2)是两个最基本的性质xo)(xf11S1x 2x 有的连续点对于知由性质xxf)(,)4( xxxXxPxxFxxFxfxx00limlim直观述它的分布比分布函数机变量，用概率密度描因此对于连续型随附近的值的概率大小取映出的大小能反的概率分布的密集程度在点而是的概率取值不是随机变量上式表明概率密度xXxfxXxXxf)(,)(补例 设连续型随机变量X具有概率密度 1, 02,0 , .kxxfx其他k确定常数) 1 ( xFX的分布函数求)2(2523)3( XP求20(1)( )d1,(1)d1f xxkxx由得1/ 2k 解得02001kx(2)X的分布函数为xx
36、dtdttfxFx00)()(,0时当00) 121(0)()(,20 xxdttdtdttfxFx时当xx 241201) 121()()(,2dttdttfxFxx时当解解： 20, 01d, 0241, 2 xxF xf ttxxxx5335(3)22221 0.93750.0625PXFF 0625.00)121()(2232522523dxdxxdxxf或.271)3(;)2(;)1(., 0, 43,22, 30,)( XPXkxxxkxxfX求求的分布函数的分布函数求求确定常数确定常数其它其它具有概率密度具有概率密度随机变量随机变量设设例例1的的概概率率密密度度为为知知由由Xk6
37、1)2( ., 0, 43,22, 30,6)(其其它它xxxxxf, 1d)22(d3043 xxxkx得得.61 k解之得解之得解解, 1d)()1( xxf由由 . 4, 1, 43,d)22(d6, 30,d6, 0, 0)(3030 xxxxxxxxxxxFxx得得由由 xxxfxFd)()( . 4, 1, 43,423, 30,12, 0, 0)(22xxxxxxxxF即即271)3( XP)1()27(FF .4841 注意注意 对于任意可能值对于任意可能值 a ,连续型随机变量取连续型随机变量取 a 的概率等于零的概率等于零.即即. 0 aXP证明证明aXP . 0 由此可得
38、由此可得xxfxaaxd)(lim0 连续型随机变量取值落在某一连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关区间的概率与区间的开闭无关bXaP bXaP bXaP .bXaP 注意注意是是不不可可能能事事件件aX . 0 aXP若若 X 为离散型随机变量为离散型随机变量, 若若X是连续型随机变量，是连续型随机变量，是是不不可可能能事事件件aX .0aXP概率为概率为0的事件不一定是不可能事件的事件不一定是不可能事件概率为概率为1的事件不一定是必然事件的事件不一定是必然事件（一）均匀分布（一）均匀分布具有概率密度设连续型随机变量 X , , 0, ,1其他bxaabxf),(,),(ba
39、UXbaX记为上服从均匀分布在区间则称 1d, 0)(xxfxf且易知满足连续型随机变量的两个最基本性质dxdxabdxbbaa010 fx 的图形与子区间的位置无关而子区间的长度子区间的概率只依赖于落在或者说可能性是相同的一等长度的子区间内的中任落在变量上服从均匀分布的随机在,),(,),(),(baXbaXba的分布函数为X bxbxaabaxaxxF , 1 , , 0( )F x 相应的图形为解解由题意由题意,R 的概率密度为的概率密度为.,),()(其他0110090090011001rrf故有故有1050950 RP. 5 . 0d20011050950 r例例2 设电阻值设电阻值
40、 R 是一个随机变量，均匀分布在是一个随机变量，均匀分布在900 1100 求求 R 的概率密度及的概率密度及 R 落在落在950 1050 的概率的概率W WW WW WW W补例补例 设随机变量设随机变量X X在在22，55上服从均匀分布，现对上服从均匀分布，现对X X进行三次独立观测。求至少有两次观测值大于进行三次独立观测。求至少有两次观测值大于3 3的概率。的概率。设设Y表示三次独立观测其测值大于表示三次独立观测其测值大于3的次数，则的次数，则 解：解：5332d31)3(xXP则2720)32(31)32()2(333223CCYP.32,3 bY ., 0, 52,31)(其他其他
41、xxf X 的概率密度函数为的概率密度函数为11010dxedxxfxfx)(,)(易知易知.,.,)(的指数分布的指数分布服从参数为服从参数为则称则称为常数为常数其中其中的概率密度为的概率密度为设连续型随机变量设连续型随机变量定义定义XxxxfXx0000e1的分布函数为X .,其其他他， 00 ,e11xxFx满足连续型随机变量的两个最基本性质（二）指数分布（二）指数分布指数分布的概率密度及分布函数分别如图所示 应用应用 某些元件或设备的寿命服从指数分布某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线电元件的寿命例如无线电元件的寿命 、电力设备的寿命、动、电力设备的寿命、动物的寿命等都服从指数分
42、布物的寿命等都服从指数分布.补例补例 设某类日光灯管的使用寿命设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为服从参数为=2000的指数分布的指数分布(单位单位:小时小时).(1)任取一只这种灯管任取一只这种灯管, 求能正常使用求能正常使用1000小时以小时以上的概率上的概率. (2) 有一只这种灯管已经正常使用了有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以小时以上上,求还能使用求还能使用1000小时以上的概率小时以上的概率. . 0, 0, 0,e1)(20001xxxFxX 的分布函数为的分布函数为解解1000)1( XP10001 XP)1000(1F .607. 0e21 10002000)2
43、( XXP10001000,2000 XPXXP10002000 XPXP1000120001 XPXP)1000(1)2000(1FF .607. 0e21 指数分布的重要性质指数分布的重要性质 :“无记忆性无记忆性”. 见书见书P46).,(,)0(,e21)(22)(22NXXxxfXx记记为为的的正正态态分分布布或或高高斯斯分分布布服服从从参参数数为为则则称称为为常常数数其其中中的的概概率率密密度度为为设设连连续续型型随随机机变变量量定定义义 （三）正态分布（三）正态分布(或或高斯分布高斯分布)10dxxfxf)(,)(可以证明可以证明易知易知满足连续型随机变量的两个最基本性质 正态分
44、布是最常见最重要的一种分布正态分布是最常见最重要的一种分布,例如例如测量误差测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等人的生理特征尺寸如身高、体重等 ;正常情况下生产的产品尺寸正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景正态分布的应用与背景 正态概率密度函数的几何特征正态概率密度函数的几何特征;)1(对称对称曲线关于曲线关于x ;21)(,)2(xfx取得最大值取得最大值时时当当 ;)4(处有拐点处有拐点曲线在曲线在x ; 0)(,)3(xfx时时当当即曲线以即曲线以x轴为渐近线轴为渐近线;,)(,)(轴轴作作
45、平平移移变变换换着着只只是是沿沿图图形形的的形形状状不不变变的的大大小小时时改改变变当当固固定定xxf5故称故称为位置参数为位置参数.,)(,)(图形越矮越胖图形越矮越胖越大越大图形越高越瘦图形越高越瘦越小越小而形状在改变而形状在改变不变不变图形的对称轴图形的对称轴的大小时的大小时改变改变当固定当固定xf6故称故称为形状参数为形状参数正态分布的分布函数正态分布的分布函数txFxtde21)(222)( ? 如如图图所所示示)(xF21)()(FXP但但).1, 0(,1, 0),(2NN记为记为态分布态分布的正态分布称为标准正的正态分布称为标准正这样这样时时中的中的当正态分布当正态分布 标准正
46、态分布的概率密度表示为标准正态分布的概率密度表示为,e21)(22 xxx 标准正态分布标准正态分布标准正态分布的分布函数表示为标准正态分布的分布函数表示为.,de21)(22 xtxxt解解225. 1 XP)25. 1 ()2( 8944. 09772. 0 .225. 1),1 , 0( XPNX求求已已知知补例补例 . 0828. 0 查查p382标准正态分布表标准正态分布表正态分布下的概率计算正态分布下的概率计算()1( ) xx易知补例补例 设XN(0,1)，求P( | X |1.96 )解解 P( | X |1.96)=P(-1.96X1.96) =20.975-1=0.95=(
47、1.96)-1- (1.96)=2(1.96)-1=(1.96)-(-1.96)816816(2)0.977344XP XP880( 2)1(2)0.022744 XP XP12882081220(3)(1)4440.99870.84130.1574XPXP查表得由引理,已知求16, 0P XP X及1220PX)(8,4 2NX引理若2(,)XN 则(0,1)XYN解解例例 设2(,)XN 内的概率落在区间求),(kkX), 3 , 2 , 1 (kP XkPkXk于是2(1) 10.6826 P X2 2(2) 10.9544 P X3 2(3) 10.9973P X 3 13 0.002
48、70.003P XP X 则有.003. 0)3,3(不会发生在实际问题中常认为它，以外的概率小于落在 X1)(2)()(kkkkXkP例例 解解?,99. 080)2(.89,90)1().5 . 0,(,)(,.o2oo至至少少为为多多少少问问低低于于的的概概率率不不至至少少为为若若要要求求保保持持液液体体的的温温度度的的概概率率小小于于求求若若且且是是一一个个随随机机变变量量计计以以液液体体的的温温度度调调节节器器整整定定在在容容器器内内贮贮存存着着某某种种液液体体的的将将一一温温度度调调节节器器放放置置在在dCXddNXCXCd (1) 所求概率为所求概率为89 XP)(.250908
49、95090XP)2(1 9772. 01 .0228. 0 解解例例399. 080)2( XP99. 0801 XP99. 05 . 0801 d ,01. 099. 015 . 080 d 327. 20.5-80 d即即.1635.81 d)(,),(如下图所示如下图所示分位点分位点为标准正态分布的上为标准正态分布的上称点称点则则满足条件满足条件若若设设uuXPuNX1010uux1)( 的图形的对称性可知：由第五节第五节 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布).(,)(,)(XgYXYxgyxXYxXxg记作记作的函数的函数为随机变量为随机变量则称随机变量则称随机变量的值的值而取而
50、取取值取值随着随着若随机变量若随机变量的集合上的函数的集合上的函数的一切可能值的一切可能值是定义在随机变量是定义在随机变量设设问题问题?)(的的分分布布分分布布求求得得随随机机变变量量的的量量如如何何根根据据已已知知的的随随机机变变XgYX2(1)2;(2)(1)XYXZX设随机变量 具有以下分布(如下表)，试求的分布律。P-10120.20.30.10.4一、离散型随机变量的函数的分布一、离散型随机变量的函数的分布例例1。的所有可能取值为4 , 2 , 0 , 2) 1 (Y的分布律为得由YpkXPkYPk2YP-20240.20.30.10.4解解4 , 1 , 0)2(的所有可能取值为Z
