1、6/23/202200lim( )()xxf xf x 微积分讲义微积分讲义设计制作设计制作王新心王新心6/23/20224.8 变化率及相对变化率变化率及相对变化率（一）函数变化率（一）函数变化率边际函数边际函数（二）成本（二）成本在经济中的应用在经济中的应用（三）收益（三）收益（四）函数的相对变化率（四）函数的相对变化率函数的弹性函数的弹性（五）需求函数与供给函数（五）需求函数与供给函数（六）需求弹性与供给弹性（六）需求弹性与供给弹性（七）用需求弹性分析总收益的变化（七）用需求弹性分析总收益的变化6/23/2022（一）函数变化率（一）函数变化率边际函数边际函数第四章第四章 中值定理与导数
2、的应用中值定理与导数的应用设函数可导，( )yf x 导函数也称为( )fx 边际函数边际函数。00()()f xxf xyxx 称为在内的平均变化率平均变化率，00(,)xxx ( )f x它表00(,)xxx 示在内的平均变化速度平均变化速度。( )f x6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用际函数值，相应改变的真值应为。01x xxy y在点处，0 xx x从改变一个单位，0 x在处的导数称为在点( )f x0 xx 0()fx ( )f x0 xx 处的变化率， 也称为在点处的边( )f x0 xx 它表示在点处的变化速度。( )f x0 xx 单位很
3、小时，但当改变的x或的“一个单位”与值相对来说x0 x很小时， 则有6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用01x xdxdy 的改变时，x当产生一个单位这说明在处，( )f x0 xx 在应用问题中解释边际函数值的具体意义01x xxy 01( )x xdxfx dx 0()fx 0()fx 近似改变个单位。y时一般略去“近似”二字。6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用2,yx 例例1函数10 x 在点处边际函数值为(10)20,y 它表示当时，10 x 改变一个单位，x20（近似）改变个单位。y( )CC Q 例例2设某产
4、品成本函数（为C总成本，为产量），Q其变化率称为( )CC Q 边际成本。本。0()C Q 称为当产量为时的边际成0Q西方经济学家的解释是：西方经济学家的解释是：生产前最后一个单位产品所增添的成本。0Q当产量达到时，0Q2,yx 6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用（二）成本（二）成本某产品的总成本总成本是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入（劳动力、原料、设备等）的价格或费用总额。它由固定资本与可变资本组成。平均成本平均成本是生产一定量的产品， 平均每单位产品的成本。边际成本边际成本是总成本的变化率。6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应
5、用中值定理与导数的应用12( )( )CC QCC Q 在生产技术水平和生产要素的价格固定不变的条件下， 产品的总成本、平均成本、边际成本都是产量的函数。设为总成本，C为固定成本，1C为可变2C成本， 为平均成本，C为边际成本，C 为产量Q则有总成本函数平均成本函数12()()()C QCC QCC QQQQ 6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用2( )1004QCC Q 例例3已知某商品的成本函数为边际成本函数( )CC Q 本。解解由求：当时的总成本、平均成本及边际成10Q 21004QC 100,4QCQ有2QC 6/23/2022第四章第四章 中值定
6、理与导数的应用中值定理与导数的应用平均成本最小？(10)5C 平均成本解解由(10)125C 总成本(10)12.5C 当时，10Q 1004QCQ边际成本例例4例3中的商品当产量为多少时，Q210014CQ 3200CQ 令0C 得20Q (20)0C 又所以时，平均成本最小。20Q 6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用（三）收益（三）收益收益收益是生产者出售一定量产品时所得到的全部收入。平均收益平均收益是生产者出售一定量的产品， 平均每出售单位产品所得到的收入，边际收益边际收益是总收益的变化率。即单位产品的售价。总收益、平均收益、边际收益均为产量的函数。
7、6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用()PP Q 设为商品价格，P为商品数量，Q益， 为平均收益，R为边际收益，R 为总收R则有需求（价格）函数总收益函数平均收益函数( )RR Q ()RR Q 边际收益函数( )RR Q 6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用()()RR QQP Q 需求与收益的关系总收益与平均收益的关系()()()()R QQP QRR QP QQQ ( )( )( )RR QQP QP Q ( )( ),R QR QQ ()()R QQR Q 6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定
8、理与导数的应用总收益与边际收益的关系( )( )dR QR QdQ 0( )( )QR QR t dt （参见第六章）6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用105QP 例例5设某产品的价格与销售量的关系为( )( )10,5QR QP Q ()()()R QQP QP Q 收益。求销售量为时的总收益、平均收益的与边际30解解2()()10,5QR QQP QQ (30)120R (30)4R (30)2R 210,5Q6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用( )( )( )LL QR QC Q下面讨论最大利润原则：下面讨论最大
9、利润原则：( )( )( )L QR QC Q取得最大值的必有条件为( )L Q( )0L Q 即( )( )R QC Q 取得最大利润的必有条件：取得最大利润的必有条件：设总利润为L边际收益边际成本边际收益边际成本6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用取得最大值的充分条件为( )L Q()0L Q 即( )( )R QCQ 取得最大利润的充分条件：取得最大利润的充分条件：边际收益的变化率边际成本的变化率边际收益的变化率边际成本的变化率 6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用105QP 例例6已知某产品的需求函数为成本函数为求
10、产量为多少时总利润502,CQ解解由2()()105QR QQP QQ ( )( )( )L QR QC Q 28505QQ并验证是否符合最大利润原则。最大？L10,5QP 502CQ有6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用(20)2 ,R 2( )85L QQ 20 ,Q 令，( )0L Q 得2(20)0 ,5L 所以当时，20Q 总利润最大。L此时(20)2 ,C 有(20)(20)RC 2(20),5R (20)0 ,C 有(20)(20)RC 所以符合最大利润原则。6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用例例7某工厂生
11、产某种产品，每生产一单位产品，元，20000问每年生产多少产品时，24000400( )280000 400QQQRR QQ 元，总利润最大？固定成本100成本增加已知总收益是年产量的函数RQ此时总利润是多少？6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用得总利润函数为2300200000400260000100 400QQQQQ 总成本函数为解解由题意知，()20000100CC QQ ( )( )( )LL QR QC Q6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用3000400()100 400QQL QQ 300 ,Q 令，( )0
12、L Q 得(300)10L 所以时最大。300Q L(300)25000 ,L 此时即当年产量为个单位时，300总利润最大，此时总利润为元。250006/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用（四）函数的相对变化率（四）函数的相对变化率函数的弹性函数的弹性前面谈到的函数的改变量与函数的变化率是绝对改变量与绝对变化率，到，仅仅研究函数的绝对改变量和变化率是不够的。商品乙每单位价格1000元，例如例如， 商品甲每单位价格10元，品的绝对改变量都是1元，从实践中我们体会涨价1元；也涨价1元。 两种商但各与其原价相比，两者涨价的百分比却有很大不同， 商品甲涨了6/23/2
13、022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用10%，因此我们有必要研究函数的相对改变量和变化率。此时自变量与因变量的绝对改例如例如，而商品乙只涨了0.1%。100改变到144，而2,yx 当由10改变到12时，x由y变量分别为2,44,xy 20%,44%xyxy 这表明当改变到时，12x 10 x 的改变量，产生了x20%产生了的改变。44%y6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用这就是相对改变量。函数的平均相对变化率。2yx 44%2.220%y yx x 这表明在内，(10,12)从，10 x 改变时，1%x平均改变，2.2%y称它为从到
14、，10 x 12x 6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用函数的相对改变量0000()()()f xxf xyyf x 【定义【定义4.5】设函数在点( )yf x 0 xx 称为与自变量的相对改变量之比，0 xx 00y yx x 处可导，函数从到两点间的相对两点间的相对( )f x0 xx 0 xxx 变化率变化率， 或称为两点间的弹性两点间的弹性。0 x 当时，6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用即000limxxyxy 0 x xEyEx 的极限称为在处的相对变化在处的相对变化( )f x0 xx 00y yx x
15、率率（或弹性弹性），记作0()Ef xEx或0000limx xxy yEyExx x 当为定值时，0 x为定值。0 x xEyEx 000()()xfxf x 6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用则对一般的，x0limxEyy yExx x ( )f x若可导，( )f x称为的弹性函数弹性函数。的变化反应的强烈程度强烈程度或灵敏度灵敏度。0limxyxxyxyy 是的函数，x函数在点的弹性反映了随( )f xx( )Ef xEx着的变化变化的幅度的大小，( )f xxx即对( )f x6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应
16、用的改变时，在应用问题中解释弹性的具体意义时，“相对性”是相对初始值而言的。表示在点处，0 xx 0()Ef xEx说明说明两点间的弹性是有方向的，因为当产生1%x( )f x 近似地改变。( )%Ef xEx经常略去“近似”二字。6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用解解2y 232EyxxyExyx 32yx例例8求函数在处的弹性3x 3322323xxEyxExx 6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用解解3300 xye 333003100 xxEyxexExe2326xEyEx 例例9求函数的弹性函数及函数3100
17、xye 2x 在点的弹性6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用解解1yx 1EyxxExx 函数例例10求幂函数（为常数）的弹性yx 说明说明幂函数的弹性函数为常数， 即在任意点处弹性不变， 称其为不变弹性函数不变弹性函数。6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用（五）需求函数与供给函数（五）需求函数与供给函数（1）需求函数）需求函数“需求”是指在一定价格条件下，消费者愿意购买并且有支付能力购买的商品量。现在不考虑价格以外的因素，只研究需求与价格的关系。6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用设表
18、示商品价格，P则有称为需求函数需求函数。( )Qf P Q（为自变量，为因变量）P表示需求量，Q一般而言， 商品价格低，需求大；格高，需求小。商品价因此，一般需求函数( )Qf P 是单调减少函数。求函数。其反函数也称为需1( )PfQ 6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用经济学中用表示需求曲线，D如图所示常用下列一些初等函数来拟合需求函数，QPO( )Qf P D建立经验曲线：6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用线性函数反比函数幂函数kQP QbaP 指数函数称为边际需求边际需求。需求函数的边际函数( )Qf P ,0a
19、 b 0 ,0kPakQP ,0,0a kP bPQae ,0a b ( )QfP 6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用例如例如若已知需求函数为2124PQ 则边际函数当时，8P 2PQ 4Q 称为时的边际需求8P 它表示：当时，8P 价格上涨（下跌）1个单位需求将减少（增加）4个单位。6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用（2）供给函数）供给函数“供给”是指在一定价格条件下，生产者愿意出售并且有可供出售的商品量。现在不考虑价格以外的因素，只研究供给与价格的关系。6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与
20、导数的应用设表示商品价格，P则有称为供给函数供给函数。( )QP Q（为自变量，为因变量）P表示供给量，Q一般而言， 商品价格低，供给少；格高，供给多。商品价因此，一般供给函数( )QP 是单调增加函数。给函数。其反函数也称为供1( )PQ 6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用经济学中用表示供给曲线，S如图所示QPO( )Qf P DE需求曲线需求曲线( )QP S供给曲线供给曲线6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用线性函数幂函数QaPb 指数函数,0a b aQkP ,0a k bPQae ,0a b 常用下列一些初等函
21、数来拟合供给函数，建立经验曲线：6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用（3）均衡价格）均衡价格均衡价格是市场上需求量与供给量相等时的价格，如图所示QPO( )Qf P DE需求曲线需求曲线( )QP S供给曲线供给曲线是在需求曲线与供给是在需求曲线与供给D横坐标。横坐标。0PP 0P0Q曲线相交的点处的曲线相交的点处的SE6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用当时，0PP 消费者希望购买的商品量为，DQ市场上出现“供不应求”，QPO( )Qf P DE( )QP S0P1PDQSQ生产者愿意出售的商品量为，SQ,SDQQ 商品
22、短缺， 会形成抢购、黑市等情况。这种情况不会持久，必然会导致价格上涨，增大。P6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用当时，0PP 消费者希望购买的商品量为，DQ市场上出现“供过于求”，QPO( )Qf P DE( )QP S0P2PSQDQ生产者愿意出售的商品量为，SQ,SDQQ 商品滞销。这种情况也不会持久，必然会导致价格下跌，减小。P市场上的商品价格将市场上的商品价格将围绕均衡价格波动围绕均衡价格波动6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用例例11设某商品的需求函数和供给函数解解( ,0) ,QbaPa b 分别为( ,0)
23、QcPdc d 0P求均衡价格00baPcPd 0bdPac 得均衡价格6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用（六）需求弹性与供给弹性（六）需求弹性与供给弹性函数，00,P Q为正数，只讨论需求与供给对价格的弹性性，为了用正数表示需求弹采用需求函数相对变化率的相反数（绝对需求弹性是刻画当商品价格变动时需求变动的强弱。( )Qf P 由于需求函数为单调减少P Q 与异号，00Q QP P 于是及皆为负数。000()PfPQ 值）来定义需求弹性。6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用【定义【定义4.6】某商品需求函数在( )Qf
24、P 记为0PP 处可导，两点间的需求弹性需求弹性，0PPP 称为该商品在与00Q QP P 0PP 000(,)0P PPPQPQ 6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用记作000000lim()()()PQ QPfPP Pf P 称为该商品在处的需求弹性需求弹性，0PP 00000()()()P PPPfPf P 6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用例例12已知某商品的需求函数为1200QP 30P 求（1）从到各点间的20,25,32,50P 需求弹性；（2）时的需求弹性30P 解解（1）列表如下6/23/2022第四章
25、第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用30PQP Q 0PP 0QQ 2520325060484037.52410 5 2202082.5 16 100.3330 50.1730 20.06730 200.6730 200.540 80.240 2.50.062540 160.440 1.51.20.930.600001200,30 ,40PQQPQPPQ 6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用举两个例子说明其经济意义举两个例子说明其经济意义(30,20)1.5, 时，(20,30)在区间内，20说明当商品价格从降至P30从每降低1%，30P需求从平
26、均增加1.5%。40(30,50)0.6 , 时，(30,50)在区间内，50说明当商品价格从涨至P30从每上涨1%，30P需求从平均减少0.6%。406/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用21200( )1,1200PPPP 21200QP （2）减少1%；价格上涨1%，(30)1 这说明在时，30P 需求则价格下跌1%，需求则增加1%。此需求函数为幂函数，是不变弹性函数，1 即为任何值时均有。P6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用例例13设某商品的需求函数为，5PQe 求（1）需求弹性函数；（2）时的需求弹性3 ,5 ,
27、6PPP 解解（1）515PQe 551()55PPPPPee （2）3(3)0.6 ,5 (5)1, (6)1.2 6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用(5)1, 说明当时，5P 价格与需求变动的的幅度相同；(3)0.61, 说明当时，3P 需求变动的幅度小于价格变动的幅度，价格上涨1%即时，3P 需求只减少0.6%；(6)1.21, 说明当时，6P 需求变动的幅度大于价格变动的幅度，价格上涨1%即时，6P 需求减少1.2%。6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用【定义【定义4.7】某商品供给函数在( )QP 记为0PP
28、处可导，两点间的供给弹性供给弹性，0PPP 称为该商品在与00Q QP P 0PP 000(,)0P PPPQPQ 由于供给函数是单调增加的， 所以与0PP 0QQ 同号， 给出下列供给弹性定义：6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用记作000000lim()()PQ QPPP PQ 称为该商品在处的供给弹性供给弹性，0PP 00000()()()P PPPPP 6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用（七）用需求弹性分析总收益（或市场（七）用需求弹性分析总收益（或市场()RPQPf P 销售总额）的变化销售总额）的变化即需求变
29、动的幅度小于价格变总收益是商品价格与销售量的乘积RPQ( )( )Rf PPfP ()(1()()Pf PfPf P ()(1)f P （1）若，1 动的幅度，0R 此时， 递增，R即价格上涨，6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用需求变动的幅度大于价格变（2）若，1 总收益增加；0R 此时， 递减，R即价格上涨，价格下跌， 总收益减少。动的幅度，总收益减少； 价格下跌， 总收益增加。需求变动的幅度等于价格变（3）若，1 0R 此时， 取得最大值。R动的幅度，总之， 总收益的变化受需求弹性的制约， 随商品价格的变化而变化， 其关系如图所示RPO1 1 1 6/
30、23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用例例14设某商品的需求函数为( )122PQf P（1）求需求弹性函数；（2）求时的需求弹性；6P （3）在时，6P 若价格上涨1%， 总收益增加还是减少？将变化百分之几？（4）为何值时，P总收益最大？ 最大总收益是多少？6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用解解 （1）12Q （2）（3）所以价格上涨1%， 总收益将增加。1( )224122PPPPP 61(6)2463 1(6)1,3 下面求增长的百分比即的弹性RR122PQ 6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与
31、导数的应用( )(1)Rf P 66(6)(6)PERREPR 212,2PRP12(6)(6)(1)9633Rf (6)54R 所以， 当时，6P 价格上涨1%，总收益约增加0.67%。6260.675436/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用12RP 所以， 当时总收益最大，12P （4）令，0R 则12 ,(12)72PR 最大总收益为726/23/2022内容小结内容小结1.函数变化率函数变化率边际函数边际函数2.成本成本3.收益收益4.函数的相对变化率函数的相对变化率函数的弹性函数的弹性5.需求函数与供给函数需求函数与供给函数第四章第四章 中值定理与
32、导数的应用中值定理与导数的应用6.需求弹性与供给弹性需求弹性与供给弹性7.用需求弹性分析总收益的变化用需求弹性分析总收益的变化作业作业P199 37-476/23/2022备用题备用题第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用1.设某商品的需求函数，1005QP 其中价格(0,20) ,P Q为需求量（1）求（需求量对价格的弹性函数）(0)ddEE （2）推导（为收益），(1)ddRQEdPR并用弹性说明价格在何范围内变化时，dE而收益增加。降低价格反（2004）6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用解解（1）dRdQQPdPdP20dP dQPE
33、Q dPP （2）21005RPQPP(1)(1)dP dQQQEQ dP若降低价格收益增加，0dRdP 则即120dPEP 1020P 解得当价格在范围内时，1020P 而增加收益。降低价格反1005QP 6/23/2022第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用解解（1）商品剩余量为( ),0, ,0 ,x tkt tTk 即0( ),y TAkT( )y tAkt02.设某商品从时刻到时刻的销售量为t该商品销售完欲在时将数量为的TA试求（1） 时的商品剩余量，t并确定的值；k（2）在时间段上的平均剩余量。0, TAkT ( )Ay tAtT （2）01()2TAAyAt dtTT （2003）
