1、32第三章第三章不等式不等式基本不等式与最大基本不等式与最大(小小)值值 第三章第三章不等式不等式 基本不等式与最值基本不等式与最值 已知已知x，y都为正数，都为正数， (1)若若xys(和为定值和为定值)，则当，则当xy时，积时，积xy取得最大值取得最大值 s2 4 ； (2)若若xyp(积为定值积为定值)，则当，则当xy时，和时，和xy取得最小值取得最小值 2 p 栏目栏目导引导引 第三章第三章不等式不等式 判断判断(正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“” ) (1)两个正数的和为定值时，它们的积有最大值两个正数的和为定值时，它们的积有最大值(2)两个正数的积为定值时，它们的和有
2、最小值两个正数的积为定值时，它们的和有最小值(3)对任意的对任意的a，bR，若，若a与与b的和为定值，则的和为定值，则值值( ) (4)若若xy4，则，则xy的最小值为的最小值为 4.( ) (5)函数函数f(x)x22x21的最小值为的最小值为 2 21.( ( ) ( ) ab有最大有最大) 栏目栏目导引导引第三章第三章不等式不等式 如果如果ab1，那么，那么ab的最大值是的最大值是( ) A.18 C.12 答案：答案：B B14 D1 栏目栏目导引导引 第三章第三章不等式不等式 已知已知 0 x0，则则1m2n的最小值为的最小值为_ 解析：因为点解析：因为点A(2，1)在直线在直线mx
3、ny10 上，上， 所以所以 2mn1， 所以所以122mn2（2mn）?n4mnmn4?mm?n?8. 答案：答案：8 栏目栏目导引导引第三章第三章不等式不等式 利用基本不等式求最值的关注点利用基本不等式求最值的关注点 (1)利用基本不等式，通过恒等变形，以及配凑，造就利用基本不等式，通过恒等变形，以及配凑，造就“和和”或或“积积”为定值，从而求得函数最大值或最小值这种方法在应为定值，从而求得函数最大值或最小值这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：用的过程中要把握下列三个条件： “一正一正”各项为正数；各项为正数；“二定二定”“和和”或或“积积”为定值；为定值；“三相等三相等” 等等号一
4、定能取到这三个条件缺一不可号一定能取到这三个条件缺一不可 栏目栏目导引导引第三章第三章不等式不等式(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件， 解题时应对解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件等方法创建应用基本不等式的条件 (3)在求最值的一些问题中，在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的p结果
5、往往是错误的，这时通常可以借助函数结果往往是错误的，这时通常可以借助函数yx (p0)的单的单x调性求得函数的最值调性求得函数的最值 栏目栏目导引导引第三章第三章不等式不等式 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值 (1)已知已知x2，则，则yx4x2的最小值为的最小值为_(2)若若 0 x2， 所以所以x20， 所以所以yx44x2x2x22 2 （x2）4x226， 当且仅当当且仅当x24x2，即，即x4 时，等号成立时，等号成立所以所以yx4x2的最小值为的最小值为 6. 第三章第三章不等式不等式 栏目栏目导引导引第三章第三章不等式不等式1(2)因为因为 0 x0， 2?111?2x1
6、2x?211所以所以y x(12x) 2x(12x)? ?244?442?111，当且仅当，当且仅当 2x12x，即当，即当x 时，时，ymax. 164161答案：答案：(1)6 (2) 16栏目栏目导引导引第三章第三章不等式不等式 若把本例若把本例(1)中的条件中的条件“x2” 改为改为“x2” 其他条件不变，其他条件不变，则结论则结论如何？如何？ 解：因为解：因为x0， 所以所以yx4x2?4?（2x）2x?2 2 （2x）?4?2x?22， 栏目栏目导引导引第三章第三章不等式不等式2x42x，得，得x0 或或x4(舍去舍去x4)，x0 时，等号成立时，等号成立 yx4x2的最大值为的最
7、大值为2. 栏目栏目导引导引当且仅当当且仅当 即即故故第三章第三章不等式不等式 利用基本不等式求最大值或最小值的注意事项利用基本不等式求最大值或最小值的注意事项 (1)x，y一定都是正数一定都是正数 (2)求积求积xy最大值时，应看和最大值时，应看和xy是否为定值；求和是否为定值；求和xy最最小值时，应看积小值时，应看积xy是否为定值是否为定值 (3)等号是否能够成立等号是否能够成立 以上三点可简记为以上三点可简记为“一正、二定、三相等一正、二定、三相等” 栏目栏目导引导引第三章第三章不等式不等式t4t1 1.(1)已知已知t0，则函数，则函数y的最小值的最小值t为为_ (2)设设 00)的最
8、小值是的最小值是2. t2栏目栏目导引导引第三章第三章不等式不等式(2)因为因为 0 x2，所以，所以 00， 故故f(x)x（82x） 122x（82x） 1 2x（1282x） 2822 2， 当且仅当当且仅当 2x82x， 即即x2 时取等号，时取等号， 所以当所以当x2 时，时，f(x)x（82x）的最大值为）的最大值为 2 2.答案：答案：(1)2 (2)2 2 栏目栏目导引导引 第三章第三章不等式不等式 利用基本不等式求条件最值利用基本不等式求条件最值 (1)设设a、b是实数，且是实数，且ab3，则，则 2 2 的最小值是的最小值是( ) A6 C2 6 22abB4 2 D8 (
9、2)若实数若实数x，y满足满足x yxy1，则，则xy的最大值是的最大值是_ 栏目栏目导引导引第三章第三章不等式不等式【解析】【解析】 (1)因为因为a，b是实数，是实数， 所以所以 2a0，2b0， 于是于是 2a2b2 2a2b2 2ab2 234 2， 当且仅当当且仅当ab32时取得最小值时取得最小值 4 2. 栏目栏目导引导引第三章第三章不等式不等式(2)注意到消元有难度，而目标是注意到消元有难度，而目标是xy，且条件可以构造出，且条件可以构造出xy的平方，于是的平方，于是?xy?232221(xy) xy(xy) ? (xy) ，?4?2?42 3222所以所以 (xy) ，所以，所
10、以xy，当且仅当，当且仅当xy0 且且xy333xy1，即，即xy时等号成立时等号成立 32 3答案：答案：(1)B (2) 3栏目栏目导引导引第三章第三章不等式不等式 利用基本不等式求条件最值的基本方法利用基本不等式求条件最值的基本方法 (1)有为有为“1”的等式时，的等式时， 将将“1”整体代入，整体代入， 展开，展开， 运用基本不等式运用基本不等式 (2)利用条件等式统一变形，利用条件等式统一变形，然后配凑出利用基本不等式的条件然后配凑出利用基本不等式的条件 (3)直接将条件变形配凑出积直接将条件变形配凑出积 (和和)为定值的形式为定值的形式 (4)含有二次函数、指数函数、对数函数模型的
11、不等式，应将函含有二次函数、指数函数、对数函数模型的不等式，应将函数的单调性与基本不等式有机地结合起来，使问题得以解决数的单调性与基本不等式有机地结合起来，使问题得以解决 栏目栏目导引导引第三章第三章不等式不等式1 2.(1)已知已知m，n0，且，且mn16，则，则 mn2的最大值为的最大值为_ (2)已知已知x0，y0，lg xlg y1，求，求25xy的最小值的最小值 解：解：(1)因为因为m，n0 且且mn16， 所以由基本不等式可得所以由基本不等式可得mn?mn?2?2?16?2?2?64. 当且仅当当且仅当mn8 时，时，mn取到最大值取到最大值 64. 所以所以12mn的最大值为的
12、最大值为 32.故填故填 32. 栏目栏目导引导引第三章第三章不等式不等式(2)因为因为 lg xlg y1， 所以所以xy10，所以，所以2510 xy2 xy2， 当且仅当当且仅当25xy， 即即x2，y5 时，等号成立，时，等号成立， 故故25xy的最小值为的最小值为 2. 栏目栏目导引导引第三章第三章不等式不等式 利用基本不等式解实际应用题利用基本不等式解实际应用题 如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目含有大小相等的左右两个矩形栏目 (如图中阴影部如图中阴影部分分)，这两栏的面积之和为，这两栏的面积之和为 18 000
13、cm ，四周空白，四周空白的宽度为的宽度为 10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为 5 cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸怎样确定广告牌的高与宽的尺寸 (单位：单位：cm)，能使矩形广，能使矩形广告牌面积最小？告牌面积最小？ 2栏目栏目导引导引第三章第三章不等式不等式【解】【解】 法一：设矩形广告牌的高为法一：设矩形广告牌的高为x cm，宽为，宽为y cm，则每，则每?y25?栏的高和宽分别为栏的高和宽分别为 (x20)cm，?cm，其中，其中?2?x20，y25，y2518 000则两栏面积之和为则两栏面积之和为 2(x20)18 000， 由此得由此得y2x20
14、25，所以广告牌的面积，所以广告牌的面积Sxy ?18 000?18 000 x?x?x2025?25x， x20?360 000整理得整理得S25(x20)18 500. x20栏目栏目导引导引第三章第三章不等式不等式因为因为x200， 所以所以S2360 00025（x20）18 50024 500. x20360 00025(x20)时等号成立，时等号成立， 当且仅当当且仅当x20此时有此时有(x20) 14 400，解得，解得x140， 18 00025，得，得y175. 代入代入yx20即当即当x140，y175 时，时，S取得最小值取得最小值 24 500. 故当广告牌的高为故当广
15、告牌的高为 140 cm，宽为，宽为 175 cm 时，可使矩形广告牌时，可使矩形广告牌的面积最小的面积最小 栏目栏目导引导引2第三章第三章不等式不等式法二：设矩形栏目的高为法二：设矩形栏目的高为a cm，宽为，宽为b cm，则，则ab9 000，其，其中中a0，b0. 易知广告牌的高为易知广告牌的高为 (a20)cm，宽为，宽为(2b25)cm. 广告牌的面积广告牌的面积S(a20)(2b25)2ab40b25a50018 50025a40b18 5002 25a40b24 500，当且仅当当且仅当 25a540b时等号成立，此时时等号成立，此时ba， 8代入代入ab9 000 得得a120
16、，b75. 即当即当a120，b75 时，时，S取得最小值取得最小值 24 500. 故当广告牌的高为故当广告牌的高为 140 cm，宽为，宽为 175 cm 时，可使矩形广告牌时，可使矩形广告牌的面积最小的面积最小 栏目栏目导引导引第三章第三章不等式不等式 利用基本不等式解决实际问题的思路利用基本不等式解决实际问题的思路 利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说，利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说，都是从具体的几何图形，通过相关的关系建立关系式在解题都是从具体的几何图形，通过相关的关系建立关系式在解题b过程中尽量向模型过程中尽量向模型axx2 ab(a0，b0，
17、x0)上靠拢上靠拢 栏目栏目导引导引第三章第三章不等式不等式 3.(1)某公司购买一批机器投入生产，据市场某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，分析，每台机器生产的产品可获得的总利润每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：单位：万元万元)与机与机器运转时间器运转时间x(单位：年单位：年)的关系为的关系为yx18x25(xN)，则当每台机器运转则当每台机器运转 _年时，年平均利润最大，最大值是年时，年平均利润最大，最大值是_万元万元 (2)用一段长为用一段长为 36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
18、长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 2栏目栏目导引导引第三章第三章不等式不等式?25?y解：解：(1)每台机器运转每台机器运转x年的年平均利润为年的年平均利润为x18?xx?，且，且?yx0，故，故x182 258，当且仅当，当且仅当x5 时等号成立，此时年时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为平均利润最大，最大值为 8 万元故填万元故填 5；8. 栏目栏目导引导引第三章第三章不等式不等式(2)设矩形菜园的长为设矩形菜园的长为x m、宽为、宽为y m， 则则 2(xy)36，xy18，矩形菜园的面积为，矩形菜园的面积为xy m2. 由由xyxy18229，可得，可得xy81，
19、当且仅当，当且仅当xy， 即即xy9 时，等号成立时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为 9 m 时，菜园的面积最大，最大时，菜园的面积最大，最大面积为面积为 81 m2. 栏目栏目导引导引第三章第三章不等式不等式 思想方法思想方法 分类讨论思想求函数的值域分类讨论思想求函数的值域 2x 求函数求函数y2的值域的值域 x 12x2【解】【解】 当当x0 时，时，y2， 1x 1xx12因为因为xx2，所以，所以 01， 1xx所以所以 0y1， 当且仅当当且仅当x1 时取等号时取等号 栏目栏目导引导引第三章第三章不等式不等式当当x0 时，时， y2x22x21x11
20、. x（x）（x）因为因为x0，所以，所以x0，所以，所以(x)1（x）2， 所以所以 0211，所以，所以120，（x）（）（x）x1x所以所以1y0，当且仅当，当且仅当x1 时，取等号时，取等号 当当x0 时，时，y0， 所以函数所以函数y的值域为的值域为1，1 栏目栏目导引导引 第三章第三章不等式不等式 应用基本不等式求值域应用基本不等式求值域 (或最值或最值)时，时，需要涉及的字母均为正数，需要涉及的字母均为正数，若字母的正负不确定，若字母的正负不确定，需分正、需分正、 负两种情况讨论求值域负两种情况讨论求值域 (最值最值)，在验证等号成立的条件时，有些尽管形式上适合于用基本不等在验证
21、等号成立的条件时，有些尽管形式上适合于用基本不等式求解，但等号不一定能取到，此时，要采用分类讨论思想解式求解，但等号不一定能取到，此时，要采用分类讨论思想解决决 栏目栏目导引导引第三章第三章不等式不等式 11若若x4，则函数，则函数yx的最值情况是的最值情况是( ) x4A有最大值有最大值6 B有最小值有最小值 6 C有最大值有最大值2 D有最小值有最小值 2 1解析：选解析：选 B.因为因为x4，所以，所以x40，所以，所以yx(x4)x4114246.当且仅当当且仅当x4， 即即x5 时，时， 取取“”x4x4号号 栏目栏目导引导引第三章第三章不等式不等式?19?2设设x，y为正数，则为正
22、数，则(xy)?xy?的最小值为的最小值为( ) A16 B9 C12 D15 解析：选解析：选 A.因为因为x，y为正数，为正数， 所以所以(xy)?19?y9x?xy?19xy16，当且仅当，当且仅当y3x号成立号成立 栏目栏目导引导引时，等时，等第三章第三章不等式不等式3 已知已知a，bR， 若若a b1， 则则ab有最有最_值为值为_；若若ab1，则，则ab有最有最_值为值为_ 1解析：由解析：由ab2ab可知，当可知，当ab1 时，时，ab ，故，故ab有有22222222212222最大值为最大值为 ；当；当ab1 时，时，ab2，ab有最小值有最小值2. 21答案：大答案：大 小小 2 2栏目栏目导引导引第三章第三章不等式不等式x4 若对任意若对任意x0，2a恒成立，恒成立， 求实数求实数a的取值范围的取值范围 x 3x1解：因为解：因为x0，所以，所以xx23x1 111. x31235x所以所以a15. 栏目栏目导引导引第三章第三章不等式不等式按按ESC键退出全屏播放键退出全屏播放栏目栏目导引导引本部分内容讲解结束本部分内容讲解结束
