1、7.3 7.3 平面内两直线位置关系平面内两直线位置关系(1)(1) - -两条直线平行和垂直2022-6-23同一平面内两条直线的位置关系：同一平面内两条直线的位置关系：重合平行相交特殊：垂直）(设直线设直线l1和和l2分别有如下的斜截式方程：分别有如下的斜截式方程：l1: y=k1x+b1 , l2: y=k2x+b2 .1l如果2l,21bb 则的倾斜角相等但21,ll21,tantan21.21kk ,21bb 反之，如,21不重合和则ll，如果21kk ,tantan21,1800 ,18000200102121/ll1.1.平行平行1v2v), 1 (), 1 (222111kvl
2、kvl方向向量为方向向量为设不重合）与21212121(/llkkvvll当当直线直线l1和和l2有斜截式方程：有斜截式方程： l1: y=k1x+b1 , l2: y=k2x+b2时，时， 直线直线l1l2的充要条件是的充要条件是 k1= =k2 且且b1b2 当当直线直线l1和和l2 没有斜率时，直线没有斜率时，直线l1和和l2 均均垂直垂直x轴，不妨设这两条直线的方程为轴，不妨设这两条直线的方程为x= a1 ，x= a2 ,l1l2xy0则则l1l2的充要条件是的充要条件是 a1 a2直线直线l1与与l2的重合充要条件是的重合充要条件是 k1= =k2 且且b1b2.例例1.已知直线方程
3、已知直线方程 l1: 2 x-4 y +7=0 , l2: x-2 y +5=0，证明证明 l1l2.证明：证明：.2521:,4721:21xylxyl把的方程写成斜截式：,2121bbkk21/ll当当直线直线l1和和l2有斜截式方程：有斜截式方程： l1: y=k1x+b1 , l2: y=k2x+b2时，时， 直线直线l1l2的充要条件是的充要条件是 k1= =k2 且且b1b2 设两条直线的方程是设两条直线的方程是 l1: A1x+B1 y +C1=0， （A1B1 C1 0） l2: A2x+B2 y +C2=0. （A2B2 C20），），则则l1l2 的充要条件是的充要条件是_
4、.212121CCBBAA直线直线l1与与l2的重合充要条件是的重合充要条件是_._.212121CCBBAA例例1.已知直线方程已知直线方程 l1: 2 x-4 y +7=0 , l2: x-2 y +5=0，证明证明 l1l2.证明：证明：57241221/ll例例2.求过点求过点A（1，-4）且与直线）且与直线 2 x+3 y +5=0平行的直线方程。平行的直线方程。解：解：已知直线的斜率是已知直线的斜率是 因为所求直线与已知直线平行，因为所求直线与已知直线平行，所以所求直线的斜率是所以所求直线的斜率是 。3232).1(324xy方程是：由点斜式的所求直线的. 01032 yx即例例2
5、.求过点求过点A（1，-4）且与直线）且与直线 2 x+3 y +5=0平行的直线方程。平行的直线方程。解解2：设所求直线：设所求直线l的方程为的方程为2x3y+m=0,因为点因为点A (1,-4) 在直线在直线l 上，上，.10, 0)4(312mm即. 01032yx所求直线方程为. 01032 yx即平行的直线可表示为：思考：与直线0CByAx)( , 0/CCCByAx1、下列各组直线中，两条直线互相平行、下列各组直线中，两条直线互相平行的是（的是（ ）A、y=3x+1与与2y-6x-2=0B、y=-x与与2x-2y+5=oC、4x+3y=5与与8x-6y=7D、3x+y-1=0与与3
6、x+3y+6=02、经过点、经过点M（4，-1），且与直线），且与直线3x-4y+6=0互相平行的直线的方程是（互相平行的直线的方程是（ ） A、3x-4y-16=0 B、4x+3y-13=0 C、4x+3y-9=0 D、3x-4y-8=0 DA课堂练习课堂练习3、如果直线、如果直线(2m2+m-3)x+(m2-m)y=4m-1与与直线直线2x-3y=5互相平行，那么实数互相平行，那么实数m的值等的值等于于 8/94、已知三条直线、已知三条直线3x-y+2=0,2x+y+3=0,mx+y=0不能构成三角形，则值不能构成三角形，则值m为为 -3或或 2 或或 -1复习引入：复习引入：直线上的向量
7、直线上的向量 及与它平行的非零向量都是直及与它平行的非零向量都是直线的方向向量线的方向向量.当当k存在时，向量存在时，向量(1，k）为直线）为直线P1P2 的方向向量，的方向向量，其中其中k是直线是直线P1P2的斜率的斜率.21PP（1）（2） 两非零向量两非零向量 、 互相垂直的充要条件是什么互相垂直的充要条件是什么? ab 0abab2.2.垂直垂直x0y2设直线设直线l1和和l2的斜率分别是的斜率分别是k1 和和 k2 ，则直线则直线l1 有方向向量有方向向量 =（1， k1），），直线直线 l2有方向向量有方向向量 =（1， k2），则），则ab01102121kkbaball1212
8、1kkll即如果两条直线的斜率分别是如果两条直线的斜率分别是k1 和和 k2 ，那么，这两条直线垂直，那么，这两条直线垂直的充要条件是的充要条件是k1 k2= 1。例例3 已知两条直线已知两条直线 l1: 2 x-4 y +7=0 , l2: 2x+ y -5=0，求证求证 l1l2.证明：证明：。的斜率，的斜率2212211klkl, 122121kk.21ll 12121kkll即垂直垂直设两条直线的方程是设两条直线的方程是 l1: A1x+B1 y +C1=0， l2: A2x+B2 y +C2=0. 则则l1 l2 的充要条件是的充要条件是_. 02121BBAA证明：证明：, 01)
9、4(22.21ll 垂直垂直1)()(2211BABA例例3 已知两条直线已知两条直线 l1: 2 x-4 y +7=0 , l2: 2x+ y -5=0， 求证求证 l1l2.例例4.求过点求过点A（2，1）且与直线）且与直线2 x+y -10=0垂直的直线垂直的直线 l 的方程。的方程。解：解：直线直线2 x+y -10=0的斜率是的斜率是-2，因为直线，因为直线l 与已知直线垂直，所以它的斜率与已知直线垂直，所以它的斜率.2121k由点斜式得直线由点斜式得直线l 的方程是的方程是),2(211xy. 02 yx即解解2：设所求直线：设所求直线l的方程为的方程为x-2y+m=0,因为点因为
10、点A (2,1) 在直线在直线l 上，上，. 0, 0122mm即. 02yx所求直线方程为一般地，与直线一般地，与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0,其中其中m待定待定.例例4.求过点求过点A（2，1）且与直线）且与直线2 x+y -10=0垂直的直线垂直的直线 l 的方程。的方程。. 02 yx即allallayaxlaayxl求）若；（求若、已知两直线例,2,/) 1 (1:, 22:5212121时的斜率不存在，即）若直线解：（011al21/ll不满足1:,221:21aaxylaaxayl21/llaaaaa2211且1a所以allallayaxlaayxl求）若；（求若、已知两直线例,2,/) 1 (1:, 22:5212121时的斜率不存在，即）若直线解：（011al21ll 满足1:,221:021aaxylaaxayla时，当21ll 1)()1(aa0a所以无解a例例6.已知已知ABC的顶点坐标为的顶点坐标为A(1,2),B(-1,1),C(0,3),求求BC边上边上 的高所在的直线方程的高所在的直线方程.例例7.已知两点已知两点A（7，），），B（5，6），求线段），求线段AB的的 垂直平分线的方程垂直平分线的方程.作业:习题7.3 1、2、3、4、5、6、7
