1、Z变换的逆变换变换的逆变换2022-6-232复习提问l信号重建的首要条件是什么？l内插函数的频谱是怎样的？lZ变换与傅立叶变换的关系是什么？l什么是Z变换的收敛域，其形状如何？2022-6-2331.幂级数法如果一个如果一个Z变换变换 能表示成幂级数的形式，能表示成幂级数的形式，那么可以直接看出序列那么可以直接看出序列 是幂级数是幂级数中的中的 系数，因此，若能用现有的幂级数公系数，因此，若能用现有的幂级数公式将式将 展开，便可很容易求得展开，便可很容易求得 。 nnnznxzX1 zX nxnz zX nx2022-6-2341.幂级数法例例2.13 求求Z变换变换 的逆变换的逆变换解解：
2、利用：利用 的幂级数展开式，得到的幂级数展开式，得到由收敛域由收敛域 可知原序列为右边序列，因此可知原序列为右边序列，因此 nnnnznazX11 azzazX,1ln111lnzaaz 0, 01,1nnnanxnn2022-6-2351.幂级数法对于对于Z变换为变换为有理函数有理函数的情况，可用的情况，可用长除法长除法将将 展开成幂级数。在使用长除法之前，应展开成幂级数。在使用长除法之前，应先根据收先根据收敛域确定对应的是敛域确定对应的是右边序列右边序列(或或因果序列因果序列)还是左还是左边序列边序列(或或逆因果序列逆因果序列)。若为右边序列。若为右边序列(或因果序或因果序列列)，可将，可
3、将 展开成展开成负幂级数负幂级数，若为左边序，若为左边序列列(或逆因果序列或逆因果序列)，可将，可将 展开成展开成正幂级数正幂级数。 zX zX zX2022-6-2361.幂级数法例例2.14 求求Z变换变换 的逆变换的逆变换解：解：因为它的收敛域是一个因为它的收敛域是一个圆的外部圆的外部，所以对应的序列，所以对应的序列是是右边右边序列。又因为序列。又因为 时，时， 趋于有限的常趋于有限的常数数 ，因此它是一个，因此它是一个因果因果序列。用长除法将序列。用长除法将 展展开成开成负负幂级数。幂级数。 zX 1,2121211zzzzzX1z zX2022-6-23721434323232121
4、211217417107147474844212121zzzzzzzzzzzzzzzzzzz1.幂级数法解解(续续)：由此看出由此看出 或或 0, 00,13nnnnx nunnx13 2022-6-2381.幂级数法例例2.15 研究一个与上例形式相同，但收敛域不同的研究一个与上例形式相同，但收敛域不同的 ，即即的逆变换的逆变换解解：因为它的收敛域是一个：因为它的收敛域是一个圆的内部圆的内部，所以对应的序列是，所以对应的序列是左边左边序列。又因为序列。又因为 时，时， 的值有限，因此它的值有限，因此它是一个是一个逆因果逆因果序列。用长除法将序列。用长除法将 展开成展开成正正幂级数。幂级数。
5、zX 1,2121211zzzzzX0z zX zX2022-6-2391.幂级数法解解(续续)：由此看出由此看出 或或 0, 130, 0nnnnx 113nunnx3232322211128528118168585105252421212zzzzzzzzzzzzzzzzzz2022-6-23102.部分分式展开法 (Partial Fraction Expansion) 展开式部分分式可以表示成下列形式的只有一阶极点时，则且。当和的阶次分别为和的比，设和是两个多项式的逆变换。如果根据表格求各简单分式，然后是将其展开成部分分式变换常用的另一种方法对有理zXzXNMNMzQzPzQzPzXZ
6、NkkkNkkMMNNMMzdAzdzbzbzbbzazazaazbzbzbbzQzPzX1111321103211032110112022-6-23112.部分分式展开法 (Partial Fraction Expansion) 讨论。含多阶极点，我们不作若可直接用长除法求得。式中系数可展开成如下形式则如果可以由下式求得，即域，即模为半经的园的外部区收敛域是以最大极点的的的极点。是，式中zXBzdAzBzXzXNMzXzdAAdzzXzXNkdzdAzXnNkkkNMnnndzkkkkkNkkkk1101111 ,1 max , 2 , 112022-6-2312例例2.16 用部分分式法求
7、下列用部分分式法求下列Z变换的的逆变换变换的的逆变换解解：因为它的收敛域是一个：因为它的收敛域是一个圆的外部圆的外部，所以对应的序列是，所以对应的序列是右边右边序列。又因为序列。又因为 时，时， 为有限值，因此它是为有限值，因此它是一个一个因果因果序列。将序列。将 展开成部分分式。展开成部分分式。2.部分分式展开法 (Partial Fraction Expansion) zX 2,5 . 0121111zzzzXz zX 12115 . 0121zAzAzX2022-6-2313例例2.16 解解(续续)：其中：其中即即查常用序列查常用序列Z变换表变换表2.部分分式展开法 (Partial
8、Fraction Expansion) 345 . 0112121211zzzzzXA 312115 . 015 . 015 . 012zzzzzXA 115 . 01121431zzzX 0, 00,5 . 031234nnnxnn nunxnn5 . 031234或或2022-6-2314例例2.17 用部分分式法求下列用部分分式法求下列Z变换的的逆变换变换的的逆变换解解：由：由收敛域收敛域知对应的序列是一个知对应的序列是一个双边双边序列。将序列。将 展展开成部分分式。开成部分分式。2.部分分式展开法 (Partial Fraction Expansion) zX 32,615211zzz
9、zzX 1211111312131215zAzAzzzzX 131521211211zzzzzzXA 121531311312zzzzzzXA2022-6-2315例例2.17 解解(续续)：最后得：最后得所以所以2.部分分式展开法 (Partial Fraction Expansion) 0,30,2nnnxnn 132nununxnn或或 11311211zzzX 0 ,3 ,311, 33 0 ,2 ,211, 22221111nnxnxzzznnxnxzzznn果序列对应的是一个逆因所以说明对应极点是收敛条件序列对应的是一个因果所以说明对应极点是收敛条件2022-6-2316l 用用M
10、ATLAB进行部分分式展开进行部分分式展开部分分式展开：r,p,k=residuez(num,den)（其中r为留数向量，p为极点向量，k为常数向量。）逆运算：num,den=residuez(r,p,k)2.部分分式展开法(Partial Fraction Expansion)2022-6-2317用用MATLAB计算逆计算逆Z变换变换impz:h,t=impz(num,den)h,t=impz(num,den,L)filter:y=filter(num,den,x)x为冲激信号，y为冲激响应的时域表达2022-6-2318例：计算逆例：计算逆Z变换变换 2( )231zX zzz12120
11、( )23123zzX zzzzz 1111( )11 0.5X zzz( )( )(0.5)( )nx nu nu n2022-6-2319使用使用柯西积分公式柯西积分公式可以方便地导出求逆可以方便地导出求逆Z变换的公式，柯西变换的公式，柯西积分公式为积分公式为式中，式中， 是反时针方向环绕原点的围线。又根据是反时针方向环绕原点的围线。又根据Z变换定义变换定义有有或者或者 ，这就是，这就是逆逆Z变换计算公式变换计算公式。其中其中 是是 的收敛域内的一条环绕原点的的收敛域内的一条环绕原点的积分围线积分围线。3.留数定理法0, 00, 1211kkdzzjCk 111122kknCCnXz zd
12、zx n zdzx kjj dzzzXjnxCn121CC zX2022-6-2320对于对于有理有理Z变换变换，围线积分，围线积分 可用留数定可用留数定理来计算。设在有限的理来计算。设在有限的Z平面上，平面上， 是是 在围线在围线 内部的极点内部的极点集，集， 是是 在围线在围线 外部的极点外部的极点集。根据集。根据柯西留数定理柯西留数定理，有，有或或3.留数定理法 11Res,Nkkkx nXz za dzzzXjnxCn121CNkak, 2 , 1, 1nzzXMkbk, 2 , 1, 1nzzXC 111Res,Res,Mkkkkx nXz zbXz z 2022-6-2321当当
13、在在 处有处有二阶或二阶以上的零点二阶或二阶以上的零点，即，即 的分母多项式的阶数比分子多项式的阶数高二阶或二阶以上时，的分母多项式的阶数比分子多项式的阶数高二阶或二阶以上时，无穷远处的留数为零无穷远处的留数为零，所以上式可表示为，所以上式可表示为围线围线 内的极点内的极点一般对应于一个一般对应于一个因果因果序列，而围线序列，而围线 外的极外的极点点对应于一个对应于一个逆因果逆因果序列，因此序列，因此3.留数定理法C 1nzzX 1nzzX 11Res,Mkkkx nXz zb zC 111110Res,20Res,NkkkMkkknx nXz zanx nXz zb 当时，当时，2022-6
14、-2322如果如果 是是 的有理函数，且在的有理函数，且在 处有处有 阶极阶极点，即点，即式中，式中， 在在 处无极点，那么处无极点，那么 在在 处处的留数可用下式计算的留数可用下式计算特别当特别当 时，有时，有3.留数定理法 1nzzX 1nzzXz 01101!11,zzsskzdzdszzzX0zz s s01zzzzzXn z0zz 0zz 1s 00zznxzz2022-6-2323例例2.18 求下列求下列Z变换的的逆变换变换的的逆变换3.留数定理法 1, 1,11111azzazzX解解：围线积分的被积函数为：围线积分的被积函数为ReIm平面z收敛域a1C azzzzzXnn11
15、12022-6-2324例例2.18 解解(续续)：当当 时，两个极点时，两个极点 和和 都包含在围线都包含在围线 之内，所以有之内，所以有当当 时，因为时，因为 在在 外无极点，且外无极点，且 的分的分母与分子多项式阶数之差为母与分子多项式阶数之差为 ，所以有所以有最后得最后得3.留数定理法C0n11zaz 2 0,11111,Re1 ,Re1111naaaaaazzXszzXsnxnnnn0n 1nzzXC 1nzzX为负值因为nnn2112 0, 0nnx nuaanxn1112022-6-23253.留数定理法 是双边序列。应的序列不会恒等于零，这时对值，负的的形式，则对于正的或如果收
16、敛域具有；可确定据计算式子内就没有极点，因此根在时当之外，都在围线的形式，则所有的极点如果收敛域具有；可以迅速确定由式子阶或二阶以上，这时分子多项式的阶数高二的分母多项式的阶数比零点，即处有二阶或二阶以上的在时当包含了所有极点，的形式，则围线如果收敛域具有nxnxnRzRnnxazzXsnxCzzXnCRznnxzzXsbzzXsnxzzXszzXzzzXnCRzxxkkNknxkkkMknnnx030, 0 ,Re020, 0 ,Re,Re, 0,Re011111111112022-6-2326例例2.19 求下列求下列Z变换的的逆变换变换的的逆变换3.留数定理法 10,1,/1/1aazz
17、azazaazzX其中解解： 有两个极点，即有两个极点，即被积函数为被积函数为ReIm平面z收敛域aa/1C azazaazzzXnn/1/11azaz1,21 zX2022-6-2327例例2.19 解解(续续)：当当 时，围线时，围线 仅包含极点仅包含极点 ，所以有，所以有当当 时，因为在围线时，因为在围线 外仅有一个极点外仅有一个极点 ，且，且 在在 处有处有 阶零点，所以有阶零点，所以有最后得最后得3.留数定理法C0naz/12az 1 naznnaazaazazzXsnx/1/1,Re10n 1nzzXC22 nz naznnaazaazazzXsnx/11/1/1/1 ,Re 1n
18、uanuanxnn2022-6-2328常用序列Z变换的对照表(一)序列序列Z变换变换收敛域收敛域 n nu11111zzz平面整个z1z nuan111zaazzaz 2022-6-2329常用序列Z变换的对照表(二)序列序列Z变换变换收敛域收敛域 nRN nun11111zzzzzNNN0z nuannaz 211211zzzz1z21121zazaazza2022-6-2330常用序列Z变换的对照表(三)序列序列Z变换变换收敛域收敛域1z nuenj010011zeezzjnj1z1z nun0sin nun0cos20101020cos21sin1cos2sinzzzzzz201010
19、202cos21cos11cos2coszzzzzzz2022-6-2331常用序列Z变换的对照表(四)序列序列Z变换变换收敛域收敛域 nunena0sinaez1z nun0sin201010202cos21sinsin1cos2sinsinzzzzzzz nunena0cosaezaaaezezez220101cos21sinaaaezezez220101cos21cos12022-6-2332常用序列Z变换的对照表(五)序列序列Z变换变换收敛域收敛域 nuann1az az az nuannn!221 nuammnnnn!21212211zaazz313311zaazz111111mmmzaazz
