1、3.2.2 利用空间向量证明平行、利用空间向量证明平行、 垂直关系 自自 学学 导导 引引 (学生用书P80) 会用空间向量证明线与线、线与面、面与面之间的平行,垂垂直关系,掌握用向量解决立体几何问题的方法步骤. 课课 前前 热热 身身 (学生用书学生用书P80) 1.空间中的平行关系主要有_、_、_,空间中的垂直关系主要有_、_、_. 2.证明两条直线平行,只要证明这两条直线的方向向量是_即可. 线线平行 线面平行 面面平行 线线垂直 线面垂直 面面垂直 共线向量 3.证明线面平行的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量_. (2)证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量_.
2、(3)利用共面向量的定理,即证明直线的方向向量与平面内两个不共线的向量是_. 垂直 共线 共面向量 4.证明面面平行的方法 (1)转化为_、_处理; (2)证明这两个平面的法向量是_. 5.证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量_. 6.证明线面垂直的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量是_; (2)证明直线与平面内的_. 线线平行 线面平行 共线向量 互相垂直 共线向量 两条不共线向量互相垂直 7.证明面面垂直的方法 (1)转化为_、_; (2)证明两个平面的法向量_. 线线垂直 线面垂直 互相垂直 名名 师师 讲讲 解解 (学生用书学生用书P80) 1.利用空间向量证明线与面
3、平行:只要在平面内找到一条直线的方向向量为b,已知直线的方向向量为a,问题转化为证明a=b即可. 2.利用空间向量证明两条异面直线垂直:在两条异面直线上各取一个向量a、b,只要证明ab,即ab=0即可. 3.证明线面垂直:直线l,平面,要让l,只要在l上取一个非零向量p,在内取两个不共线的向量a、b,问题转化为证明pa且pb,也就是ap=0且bp=0. 4.证明面面平行、面面垂直,最终都要转化为证明线线平行、线线垂直. 典 例 剖 析 (学生用书P80) 题型一 证明线面平行 例例1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中中,M、N分别是C1C、B1C1的的中点,求证:MN平面A1BD. 分析:
4、分析1,如下图,易知MNDA1 因此得方法1. :证明111111111111MNA112211(),2BD,MNA BD.2/ /.MNC NC MC BC CD AD DDAMNDA?平面平面12:,A BD.MN分析建立直角坐标系 证明与平面的法向量垂直? ?1111:,Axyz.1,A0,0,1 ,B 1,0,0 ,D 0,1,011(1,1, ),(1, ,1).22,A BDn x,y,zn?n1 1(0,)2 2000 x1,y1,z1n1,1,10.MNMNADAByzxz?证明 如上图 建立空间直角坐标系设棱长为 则可求得设平面的法向量为则且得取则1111002n,MNA B
5、D.MNA BD2.MN nMN? ?又平面平面变式训练1:ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱,侧棱长为3,底面边长为2,E是棱BC的中点,求证:BD1平面C1DE. 证明证明:以以D为坐标原点,以以DA,DC,DD1为坐标轴建系如右图, 则则B(2,2,0),D1(0,0,3), E(1,2,0),C1(0,2,3), ?11111111112, 2,31,2,01,0,3( 2, 2,1,1.,BDC DE,BDC3),(1,2,0),( 1,0,3).,2,22,33,DE.,BDDEECBDDEECBDDE EC? ? ? ? ? ?设即得解得与共面又面面题型二 证明线面垂直 例2:
6、如下图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、D1B1的中点. 求证:EF平面B1AC. 分析:转化为线线垂直或利用直线的方向向量与平面的法向量平行. 证明:方法1:设A1B1的中点为G, 连结EG,FG,A1B. 则FGA1D1,EGA1B. A1D1平面A1B.FG平面A1B. AB1? ? 平面A1B,FGAB1, A1BAB1,EGAB1.EFAB1. 同理EFB1C.又AB1B1C=B1, EF平面B1AC. ?2222111111111,1,1()22: bac ac b ba0011()(),22.10() ()21212.ABa ADc AAbEFEBB
7、FBBBDAABDabcABABAAabEF ABabcab? ?方法设则1111111EFAB ,EFB C.ABB CB/,EFB AC,./EFAB?即同理又平面方法3:设正方体的棱长为2,建立如下图所示的空间直角坐标系, ? ? ? ? ? ?111(1,1,2)(2,2,1)( 1, 1,1).(2,2,2)(2,0,0)(0,2,2).(0,2,0)(2,0,0)( 2,2,0).A 2,0,0 ,C 0,2,0 ,B2,2,2 ,E 2,2,1 ,F 1,1,( 1, 1,1) (0,2,22 .102)1210. EFABACEF ABEF AC? ? ? ? ? ? ?则而?
8、1111, 1,12,2,02200,EFAB ,EFAC.ABACA,EFB AC.? ?又平面规律技巧规律技巧:(1)方法方法1是传统的几何法证明是传统的几何法证明,利用线面垂直的性质及判定质及判定,需添加辅助线需添加辅助线. 方法2选基底,将相关向量用基底表示出来将相关向量用基底表示出来,然后利用向量的计算来证明. 方法3建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系,利用向量,且将向量的运算转化为且将向量的运算转化为实数实数(坐标坐标)的运算的运算,以达到证明的目的以达到证明的目的. (2)几何的综合推理有时技巧性较强,而向量代数运算属程序而向量代数运算属程序化操作化操作,规律性较强规律性较强,
9、但有时运算量大但有时运算量大,两种处理方法各有优两种处理方法各有优点,不能偏废. 2:,PABCD,ABCD,CBABAD9120 ,BCBAAD1,PAABCD,PA1.:CDPAC.? ?变式训练如下图 四棱锥中 底面为直角梯形平面求证平面分析:由判定定理,只要证明CD垂直于面PAC中的两条相交直线即可,或者用向量法证明CD的方向向量与平面PAC的法向量平行. 证明:方法1:如下图,分别以AB、AD、AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系, 则C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1), ? ?(1,1,0),( 1,10,0,1 ,111 10,CDAC,CDAP,CDP
10、AC.,0),0,ACCDAPCD ACCD AP? ? ? ? ?同理平面?2:1,PACnx,y,0,00000( 1zyx,x1,PACn1, 1,0 ,n,CDPA,1,0.).Cn APn ACxyzxyCDnCD? ? ? ? ? ?方法建系同方法设平面的法向量令平面的一个法向量平面题型三 证明面与面垂直 例3:三棱柱ABC-A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱,D是侧棱CC1的中点. 求证:平面AB1D平面ABB1A1. 分析:转化为线线垂直、线面垂直或者利用法向量垂直. 证明:方法1:取AB的中点E. 三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱, CEAB且AA1CE,得 CE面A
11、BB1A1. 另取AB1中点M,得MDCE. MD面ABB1A1. 又MD? ? 面AB1D, 面AB1D面ABB1A1. 111111,1().212:,ABM,ABE,()211()0,(22AB AC AACEDMDMCECA CBDM AACA CBAACA AACB AADM ABC?方法取为空间基底 另取中点中点则由题意可得111111111AB)1()0,2,AAADMABB A .DMAB D,AB DABB A .A CBABCA AB CB ABDMAB DMAADMABDMAA?即且平面又面面面方法方法3:建系如下图,正三棱柱底面边长为正三棱柱底面边长为a,高为高为a,取
12、取AB1的中的中点点M,则相关点的坐标如下: 1111111113(0,),(0,0,),(,0,0),2222(,0,0),(,0, )223(0,0),(0,0, ),2( ,0,0),0,DMABB A .DMAB D,AB DABB A0.,aaaDaMAaaBAaDMaAAaABaDM AADM AB?则得面又面面面规律技巧:证明面面垂直有传统方法和向量法两种途径,传统方法考查逻辑思维能力较多,常需作辅助线解决,思维量大,向量法思维量小,但有时运算量较大,特别是建系时一定要根据题目所给空间体建立合适的坐标系,建系不当,会人为增加计算的难度. 变式训练变式训练3:如图所示,在六面体在六
13、面体ABCD-A1B1C1D1中中,四边形ABCD是边长为是边长为2的正方形,四边形四边形A1B1C1D1是边长为1的的正方形正方形,DD1平面平面A1B1C1D1,DD1平面平面ABCD,DD1=2. (1)求证求证:A1C1与与AC共面,B1D1与与BD共面共面; (2)求证求证:平面平面A1ACC1平面平面B1BDD1. 证明:以以D为原点,以以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz,如图所示,则有D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(1,0,2),B1(1,1,2),C1(0,1,2),D1(0,0,2).
14、?1111111111111111( 1,1,0),( 2,2,0),(1,1,0),(2,2,0) 1A C,.A CAC,B D.BD.2,2ACACD BDBACAC BDD BACDBD B? ? ?与平行与平行于是与共面与共面? ?1111111111111(0,0, 2) ( 2,2,0)0,(2,2,0) ( 2,2,0)0,2DDDBB BDD,ACB BDD .A ACCAC,A ACCB BD,.D .DDACDB ACDDAC DBAC? ? ?与是平面内的两条相交直线平面又平面过平面平面技 能 演 练 (学生用书P82) 基础强化 1.在空间直角坐标系中,平面xOz的一
15、个法向量是( ) A.(1,0,0) B.(0,1,0) C.(0,0,1) D.(0,1,1) 答案:B 2.平面的一个法向量为(1,2,0),平面的一个法向量为(2,-1,0),则平面与平面的关系是( ) A.平行 B.相交但不垂直 C.相交且垂直 D.无法判定 答案:C 3.在空间四边形ABCD中,E、F分别是AB、BC的中点,则AC与平面DEF的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.在平面内 D.不能确定 答案:A 解析:如图所示,易知EFAC, 又AC? 平面DEF,EF? 平面DEF, AC平面DEF. 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE
16、垂直于( ) A.AC B.BD C.A1D D.A1A 答案:B 解析:如图,B1D1CC1,B1D1A1C1, 又CC1A1C1=C1, B1D1平面AA1C1C,而CEAA1C1C, B1D1CE,又B1D1BD, CEBD. 5.平面ABC中,A(0,1,1),B(1,2,1),C(-1,0,-1),若a=(-1,y,z),且a为平面ABC的法向量,则y2等于( ) A.2 B.0 C.1 D.无意义 答案:C ?2a1,y, zABC:(1,2,1)(0,1,1)(1,1,0)( 1,0, 1)(0,1,1)( 1, 1, 2),0,0,10,aay1,2y1.10,ABACAB a
17、ACABa ACyyz? ? ? ?解析又为平面的法向量6.若直线l的方向向量a=(-2,3,1),平面的一个法向量n=(4,0,8),则直线l与平面的位置关系是_. 解析:a5n=(-2)4+30+81=0, an,l?或l. 答案:l?或l 能力提升 7.在正方体AC1中中,O、M分别是DB1、D1C1的中点. 证明:OMBC1. 证明:如图,以以D为原点,分别以DA、DC、DD1为为x、y、z轴建立空间直角坐标系D-xyz. ?1111111( 1,0,1),( 2,0, 2),2,O 1,1,1M 0,1,2B 2,2,0C0,2,2 ,OB BCC ,O1MBC .,.2OMBCOM
18、BCOMBC? ? ?设正方体的棱长为则、又平面8.在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中,E、F分别是AB、BC上的动点,且AE=BF,求证:A1FC1E. 证明:以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(a,0,a),C1(0,a,a). 设AE=BF=x, E(a,x,0),F(a-x,a,0). ?1111112211x,a,aa,xa, aaxaxaa0.(, ,),( ,).,A FC E.AFx aa C Ea xaaAF C EAFC E? ? ?即9.如右图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G分别是A1D1、D1D、D1C1的中点.求证
19、:平面EFG平面AB1C. 111111111111,1111,22222,/ /.11:EGAC22.ABa ADb AAcEGEDDGADDCbaACABADabACEGACEGEFEDD FADD D?证明 设则而故即又11111111EF B C.EGEFE,ACB CC,EFGA11,222,B C.bcBCBCC CbcEFEFBC?而即又平面平面品味高考 10.(北京卷)如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点,求证:AC1平面CDB1. 证明:因直三棱柱ABC-A1B1C1底面三边长AC=3,BC=4,AB=5, 所以AC2+BC2=AB2.所以ACBC, ? ?1111111113( ,2,0)ACBCC C,C,CACBCCxyz,C 0,0,0 ,A 3,0,0 ,C0,0, 4 ,B 0,4,0 ,B0,4,4 ,.23(,0, 2),( 3,0,4).21,2CBC BE,DEE 0,2,2 ,DDEACDEACDEAC? ? ?所以、两两垂直 以 为坐标原点直线、分别为 、 、 轴 建立空间直角坐标系 则设与的交点为连结则因所以所以1111111DEAC,DEAC ,DECDB ,ACCDB .ACCDB .,?又与不共线 所以因平面平面所以平面
