1、第八章第八章 数字相关数字相关和数字卷积和数字卷积（Correlation and Convolution）PET ScannerSiemens / CTI PET Systems and GE Medical SystemsInner diameter 60 cm24-48 layer crystal, axial length 15cmSpace resolution (fwhm）：4-5 mmCT-PET融合后图像第一节第一节 线性相关（线性相关（Linear Correlation） 线性相关是相关的一种运算，这里的线性相关与医学统计中略有不同。线性相关是讨论两信号之间的同步性（syn
2、chronism）或相似性(similarity)或同相性(in-phase)或两信号的变化规律是否具有线性关系(linear relationship)或接近线性关系的程度。 设有离散信号和，其线性相关函数为：线性相关运算的简洁表示为：式中 “”表示线性相关运算符（correlation operator）。当和完全相等时(6-1)，(6-2)就由互相关函数变成自相关函数了。求解互相关函数有直接计算法、图形法、表格法。nxymnynxmr)()()()()()(nynxmrxy（3）图形法分别画出x(n)和y(n)以及位移的y(n)序列，把x(n) y(n+m)两两序列相乘然后相加就得到第二
3、节第二节 循环相关（循环相关（Circular Correlation） 循环相关是针对序列的循环移位的一种相关运算。有限长序列的循环移位是指，也就是先让序列以N为周期进行周期延拓，然后再进行左移位，只朝一个方向移位的原因是：对周期序列向左移动一个位置，也就相当于向右移动了N1个位置。最后取（0，N1）的N个值就得到了循环移位后的N个序列值 循环相关运算的简洁表示为： 式中 表示循环相关运算符 求两个序列的四点循环相关函数可以用直接计算法，图形法，表格法 )()(nxmrxy)(ny图形法循环相关的矩阵表示第三节第三节 相干函数与相干系数相干函数与相干系数（Coherent Function
4、and Coherent Coefficient）相关函数值的大小与x(n)和y(n) 序列值的大小有关，难于比较各组信号的相关程度，因而提出了相干函数（coherent function）的概念。设有两个离散信号x(n)和y(n)，为了比较这两个信号的相似程度，可以用常数a乘上其中一个信号，使得两者之间误差能量最小，a可以用最小二乘法来估计 误差能量使得误差能量最小令第四节第四节 线性卷积（线性卷积（Linear Convolution） 卷积运算是线性时不变系统分析的重要工具，很多滤波器的设计中都要用到卷积运算。给出线性卷积运算的定义，设有离散信号x(n)和y(n)，其线性卷积为：nxyn
5、mynxmc)()()(与线性相关运算不同的是：卷积运算时，y(n)要先反折得到y(-n)；m0表示y(-n)序列右移，m0表示左移，不同的m得到不同的 值。其余与相关计算相同。线性卷积运算的简洁表示为：式中 “*”表示线性卷积运算符 求解线性卷积也有直接计算法、图形法、表格法 )(mcxy)()()(nynxmcxy第五节第五节 循环卷积（循环卷积（Circular Convolution） 循环卷积和循环相关类似，也是针对序列的循环移位的一种运算。有限长序列的循环移位是指 ，也就是先让序列y(n)以N为周期进行周期延拓，再进行反折，然后朝右移位，只朝一个方向移位的原因是：对周期序列向右移动
6、一个位置，也就相当于向左移动了N1个位置。最后取（0，N1）的N个值就得到了循环移位后的N个序列值 )()(nRnmyNN设有序列和，其N点循环卷积为： 由于循环移位的关系最后得到的循环卷积的长度就是N点，m取0，1，2，N-1。循环卷积的简洁表示为： 式中 表示循环卷积运算符求解循环卷积也有直接计算法、图形法、表格法 10)()()()(NnNNxynRnmynxmc)()(nxmcxy)(ny第六节第六节 相关技术的应用相关技术的应用（Application of Correlation）自相关函数用来研究信号本身，例如信号波形的同步性、周期性等；互相关函数用来研究两个信号的同一性程度，例
7、如测定两信号间的时间滞后或从噪声中检测信号，如果两个信号完全不同，则互相关函数接近于零，如果两个信号波形相同，则在提前、滞后处出现峰值。对于确定信号x(n)的自相关函数为：如果信号是随机的或周期的，其自相关函数定义为：下面给出几种常用信号的自相关函数：nxxmnxnxmr)()()(10)()(1lim)(NnNxxmnxnxNmr1. 信号为正弦波的自相关函数 设 ，周期为M，则自相关函数为)sin()(0nAnx10000)sin()sin(1lim)(NnNxxmnAnANmr )22cos()cos(21lim100002NnNmnmAN)cos(202mA2.信号为白噪声的自相关函数当观测信号x(n)中包含了周期信号s(n)和白噪声w(n)时，即 ，如果信号和噪声互不相关，则自相关函数为：当m足够大时，观测信号的自相关函数仍不为零，则表明在背景噪声中含有周期信号，并且可以估计出该信号的周期。 )()()(nwnsnx)()()(mrmrmrwwssxx 结合生物医学信号，相关技术可以应用在生物系统的自发振荡的检测和振荡周期的估计；可以利用互相关技术对微血管中红血球的流速进行测量；用相关技术检测超声脉冲回波；脑诱发电位提取中的应用等等。
