1、上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第一章第一章 晶体结构晶体结构 第五章第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动晶体中电子在电场和磁场中的运动 5.1 5.1 晶体中电子的速度、加速度和有效质量晶体中电子的速度、加速度和有效质量5.2 5.2 稳恒电场作用下晶体电子的运动稳恒电场作用下晶体电子的运动 5.3 5.3 导体、半导体和绝缘体的能带论解释导体、半导体和绝缘体的能带论解释5.4 5.4 德哈斯德哈斯范阿尔芬效应范阿尔芬效应 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第一章第一章 晶体结构晶体结构 5.1 5.1 晶体中电子的速度、加速度和有效质量晶体中电子的速度、加速度和有效质量本节
2、主要内容：本节主要内容：5.1.1 5.1.1 波包和电子速度波包和电子速度5.1.2 5.1.2 电子的加速度和有效质量电子的加速度和有效质量上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第一章第一章 晶体结构晶体结构 5.1.1 5.1.1 波包和电子速度波包和电子速度 粒子粒子( (例如电子例如电子) )空间分布在空间分布在 附近的附近的 范围内，动量范围内，动量取值为取值为 附近附近 范围内；范围内； 满足测不准关系。把满足测不准关系。把波包中心波包中心 称为该粒子的位置，称为该粒子的位置， 称为该粒子的动量。称为该粒子的动量。0rr 0kk kr 与与0r0k波包：0k 晶体电子在波矢晶体
3、电子在波矢 状态的平均运动速度，相当于以状态的平均运动速度，相当于以 为中心为中心的波包移动的速度。的波包移动的速度。0k自由电子波包：德布罗意波组成。自由电子波包：德布罗意波组成。晶体周期性势场中的电子波包：布洛赫波组成。晶体周期性势场中的电子波包：布洛赫波组成。上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第一章第一章 晶体结构晶体结构 波包中心移动的速度为波包中心移动的速度为: :0)(1)(0kkEkv )()(kEkE )()(kvkv 5.1.2 电子的加速度和有效质量 如果有外力如果有外力 作用在电子上，显然在作用在电子上，显然在d dt时间内，外力对电时间内，外力对电子将作功，其值为
4、：子将作功，其值为： F1.加速度能带能带 中的晶体电子的运动速度：中的晶体电子的运动速度：( )E k1( )( )( )( )xyzE kE kE kv kijkkkk 1( )( )kv kE k 一维：一维：1( )( )dE kv kdk( )dF v kt 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第一章第一章 晶体结构晶体结构 根据功能原理得：根据功能原理得：Fkt )(dd 电子的准电子的准( (赝赝) )动量。动量。k由电子的平均速度即可求出它的平均加速度。由电子的平均速度即可求出它的平均加速度。 Ettvak dd1dd tkEkkdd12 tkEkkdd1 FEakk 21
5、1( )( )kv kE k d( )( )dkkE kF v ktd()( )0dkFv kt 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第一章第一章 晶体结构晶体结构 电子加速度公式用矩阵表示为电子加速度公式用矩阵表示为 zyxzyzxzzyyxyzxyxxzyxFFFkEkkEkkEkkEkEkkEkkEkkEkEaaa222222222222212.电子有效质量m1Fma1 上式与上式与 形式类似，只是现在一个二阶张量代替了形式类似，只是现在一个二阶张量代替了 ，称其为，称其为倒有效质量张量倒有效质量张量。 kkEm 2211倒有效质量张量的分量为：倒有效质量张量的分量为：上上 页页下下
6、 页页结结 束束返返 回回第一章第一章 晶体结构晶体结构 选选kx, ,ky, ,kz轴沿张量主轴方向，则有：轴沿张量主轴方向，则有： , 0, 02kkE 这时倒有效质量张量是对角化的。这时倒有效质量张量是对角化的。 22222220000001zyxkEkEkE kkEm 2211下面以一维情况为例对电子有效质量进行简单的讨论。下面以一维情况为例对电子有效质量进行简单的讨论。上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第一章第一章 晶体结构晶体结构 kkEm 2211(1)(1)有效质量反比于能谱曲线的曲率，有效质量反比于能谱曲线的曲率， dd22大大，有有效效质质量量小小；kEEk有效质有效
7、质量小量小有效质有效质量大量大 (2) (2)有效质量是有效质量是k的函数，的函数，在能带底附近总是取正值；在在能带底附近总是取正值；在能带顶附近总是取负值能带顶附近总是取负值。 例例1 1：以体心立方晶格，紧束缚近似下的：以体心立方晶格，紧束缚近似下的s能带为例，讨论能带为例，讨论有效质量的特点。有效质量的特点。小小，有有效效质质量量大大22ddkE。上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第一章第一章 晶体结构晶体结构 2cos2cos2cos8)(zyxsatssakakakJCEkE 2cos2sin2sin2222zyxxyyxakakakJakkEkkE 2cos2cos2cos2
8、2222222zyxzyxakakakJakEkEkE 2sin2sin2cos2222zyxyzzyakakakJakkEkkE 2sin2cos2sin2222zyxxzzxakakakJakkEkkE 解：由紧束缚近似可得体心立方解：由紧束缚近似可得体心立方s能带的能量表达式：能带的能量表达式：2cos2cos2sin4zyxxakakakJakE 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第一章第一章 晶体结构晶体结构 在能带底部，在能带底部，kx= =ky= =kz=0=0处，处， ，002kkE0222 Jammmzzyyxx在能带顶部，在能带顶部，); 20, (0, ; ,0)2
9、(0, ,0,0)2(aaa ；0222 Jammmmzzyyxx而在而在 处，处， ) (aaak ， zzyyxxmmm,都变成都变成 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第一章第一章 晶体结构晶体结构 晶体中电子的有效质量为什么可能为负值？晶体中电子的有效质量为什么可能为负值？ 甚至还会变成甚至还会变成无穷大呢？无穷大呢？晶体中的电子除受外力作用外，还和晶格相互作用。晶体中的电子除受外力作用外，还和晶格相互作用。)(1lFFma 但是但是 的具体表达式是难以得知的，要使上式中不出现的具体表达式是难以得知的，要使上式中不出现lFlF又要保持式子恒等，上式只好写成又要保持式子恒等，上式只
10、好写成Fma 1lF设电子与晶格之间的作用力为设电子与晶格之间的作用力为 ，则牛顿定律简单记为，则牛顿定律简单记为也就是说电子的有效质量也就是说电子的有效质量m* *本身已概括了晶格的作用。本身已概括了晶格的作用。上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第一章第一章 晶体结构晶体结构 mtFmtFmtFlddd 将冲量用动量的增量来代换，上式化为：将冲量用动量的增量来代换，上式化为：二式比较得：二式比较得： 电电子子给给予予晶晶格格的的外外力力给给予予电电子子的的)()(1PPm mp 晶晶格格给给予予电电子子的的)(P 外力给予电子的外力给予电子的)( Pm1)(1lFFma Fma 1 从
11、上式可以看出，当电子从外场获得的动量大于电子传递从上式可以看出，当电子从外场获得的动量大于电子传递给晶格的动量时，有效质量给晶格的动量时，有效质量m* *00；当电子从外场获得的动量小；当电子从外场获得的动量小于电子传递给晶格的动量时，于电子传递给晶格的动量时，m* *00；当电子从外场获得的动量；当电子从外场获得的动量全部交给晶格时，全部交给晶格时，m* * ，此时电子的平均加速度为零。，此时电子的平均加速度为零。 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第一章第一章 晶体结构晶体结构 有效质量有效质量m* *是固体物理学中的一个重要概念。是固体物理学中的一个重要概念。 (1)(1)m* *
12、不是电子的惯性质量，而是在能量周期场中电子受不是电子的惯性质量，而是在能量周期场中电子受外力作用时，在外力与加速度的关系上相当于牛顿力学中的惯外力作用时，在外力与加速度的关系上相当于牛顿力学中的惯性质量；性质量； （2)2)m* *不是一个常数，而是不是一个常数，而是 的函数。一般情况下，它是的函数。一般情况下，它是一个张量，只有特殊情况下，它才可化为一标量的形式；一个张量，只有特殊情况下，它才可化为一标量的形式；k （3)3)m* *可以是正值，也可以是负值，特别有意义的是：在可以是正值，也可以是负值，特别有意义的是：在能带底附近，能带底附近，m* *总是正值，表示电子从外场得到的动量多于电
13、总是正值，表示电子从外场得到的动量多于电子交给晶格的动量，而在能带顶附近，子交给晶格的动量，而在能带顶附近，m* *总是负的，表示电子总是负的，表示电子从外场得到的动量少于电子交给晶格的动量。从外场得到的动量少于电子交给晶格的动量。上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第一章第一章 晶体结构晶体结构 有效质量与准动量都是人为定义的，用来描述晶体中电有效质量与准动量都是人为定义的，用来描述晶体中电子的粒子性。用这些概念，处理晶体中电子的输运问题，可以子的粒子性。用这些概念，处理晶体中电子的输运问题，可以把布洛赫电子看成是具有质量把布洛赫电子看成是具有质量m* *、动量为、动量为 的准电子，使我
14、的准电子，使我们能够只考虑外力作用下这样的准电子的运动。由于通常晶体们能够只考虑外力作用下这样的准电子的运动。由于通常晶体周期场的作用是未知的，也不象外力那么容易求出，所以引入周期场的作用是未知的，也不象外力那么容易求出，所以引入这两个量，给处理问题带来很大的方便这两个量，给处理问题带来很大的方便。k上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第一章第一章 晶体结构晶体结构 例题例题 2 对于简单立方晶体，在紧束缚近似下计算对于简单立方晶体，在紧束缚近似下计算s能带状能带状态电子的速度和有效质量。态电子的速度和有效质量。 解：紧束缚近似下，简单立方晶体的解：紧束缚近似下，简单立方晶体的s能带函数为
15、能带函数为:( )2 cos()cos()cos()ixyzE kEk ak ak a状态状态k的电子速度的电子速度: : 12( )( )( sinsinsin)xyzkav kE kik ajk akk a 对于倒有效质量张量，容易计算得到非对角元为零，即对于倒有效质量张量，容易计算得到非对角元为零，即:20,Ekk上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第一章第一章 晶体结构晶体结构 即倒有效质量张量是对角化的，即倒有效质量张量是对角化的， 轴沿着张量的主轴方向轴沿着张量的主轴方向 ,xyzk kk12*2(cos)020 xk ama10(cos)0yk a100(cos)zk a在能
16、带底在能带底 ，有效质量张量为：，有效质量张量为：(,)(0,0,0)xyzkkk2*21020ma010220021a有效质量张量退化为标有效质量张量退化为标量。在能带底，晶体电量。在能带底，晶体电子的有效质量大于零。子的有效质量大于零。 在能带顶在能带顶 ，有效质量为，有效质量为:(,)(,)xyzkkka a a 2*21020ma 010220021a 晶体电子在能带顶的晶体电子在能带顶的有效质量小于零。有效质量小于零。 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第一章第一章 晶体结构晶体结构 例题例题3 在紧束缚近似下，计算一维单原子链在紧束缚近似下，计算一维单原子链s态电子的能带函数
17、、态电子的能带函数、能带电子的速度和有效质量。能带电子的速度和有效质量。 解：解： ()mik RmimEEeR 任选一个原子为原点，最近邻任选一个原子为原点，最近邻2 2个原子位置矢量的坐标个原子位置矢量的坐标分别是：分别是： 计算得计算得 ：(0,)a( )2 cosiE kEka电子速度：电子速度： 1( )2( )sinE kav kkak倒有效质量为倒有效质量为： 22*122211( )2()cosEv kamkakk上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第一章第一章 晶体结构晶体结构 作业：作业：1 1、一个晶格常数为一个晶格常数为a a的二维正方晶格，求：的二维正方晶格，求：（1 1）用紧束缚近似求）用紧束缚近似求S S能带表示式，能带顶及能带底的位能带表示式，能带顶及能带底的位置及能带宽度；置及能带宽度；（2 2）带底电子和带顶空穴的有效质量；）带底电子和带顶空穴的有效质量；（3 3）S S带电子的速度表示式。带电子的速度表示式。2 2、已知一维晶体的电子能带可写成已知一维晶体的电子能带可写成 其中其中a a为晶格常数，求：为晶格常数，求：（1 1）能带宽度；（）能带宽度；（2 2）电子在波矢）电子在波矢K K状态的速度；状态的速度； （3 3）带顶和带底的电子有效质量。）带顶和带底的电子有效质量。 2271( )(coscos2)88E kkakama
