1、2022-6-232022-6-231 1第第4 4章章 控制系统的控制系统的李雅普诺夫稳定性分析李雅普诺夫稳定性分析1. 李雅普诺夫稳定性定义2. 李雅普诺夫稳定性判据3. 线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析2022-6-232022-6-232 2控制系统的稳定性，通常有两种定义方式：是指系统在零初始条件下通过其外部状态，即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性。：指系统在零输入条件下通过其内部状态变化所定义的内部稳定性。外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在满足一定的条件下两种定义才具有等价性。不管哪一种稳定
2、性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统本身的结构和参数有关，与输入输出无关。是控制系统能否正常工作的前提条件。系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收敛性。2022-6-232022-6-233 3 第一法（间接法第一法（间接法, ,定量方法）定量方法）：李雅普诺夫稳定性： 第二法（直接法，定性方法。第二法（直接法，定性方法。） 劳斯胡尔维茨稳定性判据 1）： 乃奎斯特稳定性判据 线性连续定常系统：线性、非线性；定常、时变系统等 1892年, 俄国数学家Lyapunov，博士论文运动稳定性的一般问题。根据系统矩阵的特征根在根平面的分布情况判断稳定性利用经验和技巧来构造李氏函数, 根据李氏
3、函数的特性判断稳定性（分析能量函数的变化趋势）分析特征方程的根在根平面的分布状况2022-6-232022-6-234 4第第1 1节节 李雅普诺夫稳定性定义李雅普诺夫稳定性定义1. 平衡状态2. 李雅普诺夫稳定性定义（4种） 稳定、渐近稳定、大范围渐近稳定、不稳定2022-6-232022-6-235 5：对所有时间t，如果满足 ，称xe为系统的平衡状态或平衡点。f一般为时变非线性函数。如果不显含t，则为定常非线性函数。李雅普诺夫稳定性针对平衡状态而言。(, )0eexf x t：1、对于线性定常系统： A为非奇异阵时，xe=0是其唯一的平衡状态。 A为奇异阵时，系统有无穷多个平衡状态。()
4、0eeexf xAx2、对于非线性系统，有一个或多个平衡状态，视系统方程而定。3、对任意已知的非零平衡状态 ，总可经过一定的坐标变换，把它移到坐标原点（即零状态）。为了方便，今后只讨论在坐标原点处的稳定性。0 ex2022-6-232022-6-236 64、李雅普诺夫稳定性针对某个平衡状态而言，不同的平衡状态点可能表现出不同的稳定性。所以，稳定性必须针对所有平衡状态分别加以讨论。 某非线性系统方程为： 试确定其平衡状态。1132122xxxxxx ：由 ，可得方程组：1200 xx1321221220(1)0 xxxxxxx解得3个平衡状态为：123000,011eeexxx （1）非负性：
5、当 当且仅当 （2） 齐次性： 为任意实数。,()nXRN XXXX向量范数定义：对于若某个实值函数满足如下三个条件，则称( )=为向量X的范数。N0,0XX0,0XX,kXk Xk（3） 三角不等式：对于 中的任意两个向量 都有nR,X YXYXY12( ,)nnXx xxR11122211(1)(2)()(3)m axniiniiiinXxXxXx 11(1,2,)nppipiXxp统一记为p范数12122(1)(2)(3)XXn XXXn XXXn X满足：2022-6-232022-6-239 9 设 为动力学系统的一个孤立平衡状态。如果对球域 或任意正实数 ，都可以找到另一个正实数
6、或球域 ，当初始状态 满足 时，对由此出发的X的运动轨迹有 ，则平衡状态 是李雅普诺夫意义下稳定的。如果 与初始时刻 无关，则称平衡状态是一致稳定的。0 )( S),(0t )( S0 x),(00txxe ( )ex tx 0texex2022-6-232022-6-231010： 表示初始偏差都在以 为半径，以平衡状态 Xe为中心的球域 里。其中 exx0 )( S1222201012020()()()eeennexxxxxxxx 表示状态偏差都在以 为半径，以平衡状态 Xe为中心的球域 里。( )ex tx)( S：李雅普诺夫稳定性针对平衡状态而言，反映的是平衡状态邻域的局部稳定性，即小
7、范围稳定性。：系统做等幅振荡时，在平面上描出一条封闭曲线，只要不超过 ，就是李雅普诺夫稳定的，而古典则认为不稳定。)( S二范数2022-6-232022-6-231111如果 与初始时刻 无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。 设xe为系统的孤立平衡状态，如果它是李雅普诺夫意义下稳定的，且当t趋向于无穷大时，有：lim( )0etx tx即收敛于平衡状态xe，则称平衡状态xe为渐近稳定的。 0t稳定和渐近稳定不同。稳定只要求状态轨迹永远不会跑出球域 ，在球域内如何变化不作规定。渐近稳定不仅要求状态的运动轨迹不跑出球域，最终要收效或无限趋近平衡状态xe。)( S古典的稳定性，就是李雅普诺夫意义
8、下的渐近稳定。2022-6-232022-6-231212（即从状态空间中所有初始状态出发的轨迹），都有渐近稳定特性。即： 对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。lim( )0etx tx：整个状态空间中，只有一个平衡状态。渐近稳定比稳定更重要，但它是一个局部概念，平衡状态局部稳定并不意味着整个系统能正常工作。确定其渐近稳定的最大区域很重要。或者说，如果系统的平衡状态渐近稳定的吸引域为整个状态空间，则称系统的平衡状态为大范围渐近稳定的。1x2x大范围渐近稳定xe=00 xe=01x0 x2x0渐近稳定0 xnRx),(txfx 0),(txfe线性系统：如果它是渐近稳定的，必是大范
9、围渐近稳定的.非线性系统：可能只在小范围稳定，状态轨迹收敛到xe 或其附近。非线性系统稳定性与初始偏差的大小有关!线性系统稳定性与初始偏差的大小无关!2022-6-232022-6-231515 如果对于某一实数 ，不论 取得多么小，由 内出发的轨迹，只要有一个轨迹超出 ，则称平衡状态xe是不稳定的。0 )( S)( S 虽然不稳定的轨迹超出了 ，但并不一定趋向于无穷远处，有可能趋向于 外的某个极限环。)( S)( S2022-6-232022-6-231616经典控制理论(线性系统）不稳定 Re(s)0不稳定（临界情况 ）Re(s)=0稳定 Re(s)004/5104/ 1414141452
10、P系统渐近稳定2022-6-232022-6-234949 用李雅普诺夫第二法，求使下列系统稳定的K值( )范围 2xuy1x1 sk3x21 ss11、写出状态空间表达式 ky 2x2 u1x1 3x0k 2022-6-232022-6-235050( )( ),kX sU ssp回顾 kyxp x u模拟结构图：)()(sXsY 则： xykupxx 对上两式进行拉氏反变换，可得到如下的状态空间描述：psksUsYsG )()()(2022-6-232022-6-235151,0010120010321321ukxxxkxxx 321001xxxy状态空间描述为：2、用李雅普诺夫第二法判稳
11、（令u=0）状态状态所以原点是其唯一平衡所以原点是其唯一平衡, 0| kA1）Q能不能取做半正定？ 100000000QQ可以取半正定：可以取半正定：所以所以0)(,)(23不恒等于不恒等于故故xVxQxxxVT 2）计算使实对称矩阵P为正定的k值范围由定理 得：QPAPAT 2022-6-232022-6-235252 1000000001012001010120010332313232212131211332313232212131211kppppppppppppppppppkT注意：P为正定实对称矩阵。kkkkkkkkkkkkkkP2126212021221232126021262121
12、22解得：根据赛尔维斯特法则：如果P正定，则12-2k0，且k0 所以系统稳定的k值范围为0k62022-6-232022-6-235353 设系统方程为： 试确定其平衡状态的稳定性。（验证：上一节不稳定例子）112212xxxxxx ：1）平衡状态 令 ，得 是系统唯一的平衡状态。0, 021 xx0, 021 xx 2）选标量函数 ，其中对称阵P由下式确定： ( )TV xx PxTA PPAQ 选择QI11221111xxAxxx13133232111110111101TTppppA PPApppp 3）判断P的正定性。 2022-6-232022-6-235454解得：12101120,012402 所以P负定，系统是不稳定的。 210021P2022-6-232022-6-2355551、李雅普诺夫第二法判稳： 注意：Q 取做正定； ，Q可取半正定。2、李雅普诺夫第二法判稳过程：1）写出状态空间描述；2）选定正定或半正定Q阵。3）由以下公式得到使P阵为正定实对称阵的P元素满足的条件0)(不恒等于不恒等于QxxxVT QPAPAT IQ 10000001正定：正定： 100000000Q半正定：半正定：
