1、韦达定理及其综合应用韦达定理及其综合应用 韦达定理的应用：韦达定理的应用： 1.已知方程的一个根，求另一个根和未知系数 2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值 3.已知方程两根满足某种关系，确定方程中 字母系数的值 4.已知两数的和与积，求这两个数 5.已知方程的两根x1，x2 ，求作一个新的一元二次 方程x2 (x1+x2) x+ x1x2 =0 6.利用求根公式在实数范围内分解因式 ax2+bx+c = a(x- x1)(x- x2) 题题1： （1）若关于x的一元二次方程2x2+5x+k=0 的一根是另一根的4倍，则k= _ （2）已知：a,b是一元二次方程x2+2000 x+1=0
2、的两个根，求：（1+2006a+a2)（1+2005b+b2) = _ 解法一：（1+2006a+a2)（1+2005b+b2) = （1+2000a+a2 +6a)（1+2000b+b2 +5b) = 6a?5b=30ab 解法二：由题意知 a2 +2000a+1=0； b2 +2000b+1=0 a2 +1=- 2000a; b2 +1=- 2000b （1+2006a+a2)（1+2005b+b2) =（2006a - 2000a) （2005b - 2000b) =6a?5b=30ab ab=1， a+b=-200 （1+2006a+a2)（1+2005b+b2) = （ ab +20
3、06a+a2)（ ab +2005b+b2) =a(b +2006+a) ?b( a +2005+b) =a(2006-2000) ?b(2005-2000) =30ab 解法三：由题意知 a2 +2000a+1=0； b2 +2000b+1=0 a2 +1=- 2000a; b2 +1=- 2000b （1+2006a+a2)（1+2005b+b2) =（2006a - 2000a)（2005b - 2000b) =6a?5b=30ab 题2： 已知:等腰三角形的两条边a,b是方程 x2-（k+2）x+2 k =0的两个实数根,另 一条边c=1， 求:k的值。 题题3 3：已知关于x的一元二
4、次方程x2+3x+1-m=0 （1）请为m选取一个你喜爱的数值，使方程 有两个不相等的实数根。 （2）设x1,x2是（1）中方程的两个根，不解方程 求：（x1-2）（x2 2） （x1- x2) 2 （3）请用（1）中所选取的m值，因式分解：x2+3x+1-m （4）若已知x12+ x22=10，求此时m的值。 （5）问：是否存在符合条件的 m，使得x12+ x22=4？若存在，求出m，若不存在，请说明理由。 题题4 4：已知是方程x22x70的两个实数根。求2324的值。 解法1 、是方程x2 2x70的两实数根 2270 2 270 且2 272 2 72 2324723（72）4282（
5、）282（2）32 解法2 由求根公式得12 12 2324 （12 ）23(12 )24(12 ) 943(9448)32 22222解法3 由已知得：2 7 22（）2218 令2324A 2324B AB4（22 ）4（）4184（2）64 AB2(22)4()2() ()4()0 得：2A64 A32 题题5 5：已知x1、x2是方程x2x90的两个实数根，求代数式。x137x223x266的值。的值。 解：x1、x2是方程x2x90的两根 x1x21 且x12x190 x22x290 即 x12x19 x22x29 x137x223x266 x1(x19)7(x29)3x266 x1
6、29x110 x23 x199x110 x23 10(x1x2)616 题题6 6：已知aa210，bb210，ab，求abab的值 分析：显然已知二式具有共同的形式：x2x10于是a和b可视为该一元二次方程的两个根再观察待求式的结构，容易想到直接应用韦达定理求解 解：由已知可构造一个一元二次方程x2x1=0，其二根为a、b 由韦达定理，得ab1，ab1 故abab2 题题7 7：若实数x、y、z满足x6y，z2xy9 求证xy 证明：将已知二式变形为xy6，xyz29 由韦达定理知x、y是方程u26u(z29)0的两个根 x、y是实数，364z2360 则z20，又z为实数， z20，即0 于是，方程u26u(z29)0有等根，故xy 由已知二式，易知x、y是t23t80的两个根，由韦达定理 可得。 题题9 9：已知方程x2pxq0的二根之比为12，方程的判别式的值为1求p与q之值，解此方程 解解：设x2pxq0的两根为a、2a，则由韦达定理，有 a2aP， a2aq， P24q1 把、代入，得(3a)242a21，即9a28a21，于是a=1 方程为x23x20或x23x20 解得x11，x22，或x11，x22
