1、1第第9 9章章 应力状态、强度理论及其工程应用应力状态、强度理论及其工程应用 应力状态的概念应力状态的概念 用解析法分析二向应力状态用解析法分析二向应力状态 三向应力状态三向应力状态 广义胡克定律广义胡克定律 强度理论概述强度理论概述 四种常用的强度理论四种常用的强度理论29 91 1 应力状态概述应力状态概述1 1、引言：、引言：（1）、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？M低碳钢铸铁PP铸铁拉伸 P铸铁压缩（2）、组合变形杆将怎样破坏？MP3z2 2、一点的应力状态：、一点的应力状态： 过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态（State of
2、Stress at a Given Point）。ys s xs sz s s y3 3、单元体、单元体：单元体构件内的点的代表物，是包围被研究 点的无限小的几何体，常用的是正六面体。 单元体的性质a、平行面上，应力均布； b、平行面上，应力相等。xt txy9 91 1 应力状态概述应力状态概述44 4、原始单元体（已知单元体）：、原始单元体（已知单元体）：例例1 1 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。PPAAs sxs sxMPxyzBCBC9 91 1 应力状态概述应力状态概述55 5、主单元体、主面、主应力：、主单元体、主面、主应力：主单元体(Principal bidy)： 各
3、侧面上剪应力均为零的单元体。主面(Principal Plane)： 剪应力为零的截面。主应力(Principal Stress ）： 主面上的正应力。主应力排列规定：按代数值大小，321sss9 91 1 应力状态概述应力状态概述61s2s3syxzs sxs sys szt txyt tyxt tyzt tzyt tzxt txz 单元体上没有切应力的面称为单元体上没有切应力的面称为主平面主平面；主平面上的正应力；主平面上的正应力称为称为主应力，主应力，分别用分别用 表示，并且表示，并且该单元体该单元体称为称为主应力单元。主应力单元。321,sss321s ss ss s 9 91 1 应
4、力状态概述应力状态概述7单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。 二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。三向应力状态（ ThreeDimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。As sxs sxt tzxs sxs sxBt txz9 91 1 应力状态概述应力状态概述8x xy ysxs syt tyxt txya a 0 nF 0 tF1.1.斜截面上的应力斜截面上的应力s sy as att txyd dA Axsyxt 9-2
5、 9-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态9 0 nF0sin)sin(cos)sin(cos)cos(sin)cos(ststsdAdAdAdAdAyyxxxy 0 tF0cos)sin(sin)sin(sin)cos(cos)cos(ststtdAdAdAdAdAyyxxxys sy as att txyd dA Axsyxt 9-2 9-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态10)2cos1(21sin2 利用三角函数公式利用三角函数公式)2cos1(21cos2 2sincossin2 并注意到并注意到 化简得化简得xyyxt tt t tsssss2sin2co
6、s)(21)(21xyyxyxtsst2cos2sin)(21xyyx 9-2 9-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态11x xy ysxs syt tyxt txya a使微元顺时针方向转动使微元顺时针方向转动为正；反之为负。为正；反之为负。角：角：由由x x 轴正向逆时针转到斜轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反之为负。截面外法线时为正；反之为负。s sy as att txyntxsyxtx 9-2 9-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态12tsssss2sin2cos)(21)(21xyyxyx确定正应力极值确定正应力极值tsss2cos22sin)(xy
7、yxdd设设0 0 时，上式值为零，即时，上式值为零，即02cos22sin)(00tssxyyx3. 正正应力极值和方向应力极值和方向0 02 2c co os s2 2s si in n2 22 2) )( (2 20 00 0 x xy y0 0y yx x即即0 0 时，切应力为零时，切应力为零 9-2 9-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态13yxxys ss st t 22tan0 由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。正应力和最小正应力所在平面。 所以，最大和最小正应力分别为：所以，最
8、大和最小正应力分别为： 22max4212xyyxyxt ts ss ss ss ss s 22min4212xyyxyxt ts ss ss ss ss s 主应力主应力按代数值按代数值排序：排序：1 1 2 2 3 3 9-2 9-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态14试求试求（1 1） 斜面上的应力；斜面上的应力； （2 2）主应力、主平面；）主应力、主平面； （3 3）绘出主应力单元体。）绘出主应力单元体。例题例题1 1：一点处的平面应力状态如图所示。一点处的平面应力状态如图所示。 ys s xs sxyt t。30MPa，60 xsMPa,30 xyt,MPa40ys已
9、知已知 9-2 9-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态15解：解： （1 1） 斜面上的应力斜面上的应力tsssss2sin2cos22xyyxyx)60sin(30)60cos(2406024060MPa02. 9tsst2cos2sin2xyyx)60cos(30)60sin(24060MPa3 .58ys s xs sxyt t 9-2 9-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态16（2 2）主应力、主平面）主应力、主平面2yxssxyyx22)2(tssmaxsMPa3 .682yxssxyyx22)2(tssminsMPa3 .48MPa3 .48, 0MPa
10、,3 .68321sssys s xs sxyt t 9-2 9-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态17主平面的方位：主平面的方位：yxxytgsst2206 . 0406060,5 .1505 .105905 .150ys s xs sxyt t代入代入 表达式可知表达式可知 s s主应力主应力 方向：方向：1s5 .150主应力主应力 方向：方向：3s s5 .1050 9-2 9-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态18（3 3）主应力单元体：）主应力单元体：ys s xs sxyt t5 .151s3s 9-2 9-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力
11、状态191.1.定义定义2s3s1s三个主应力都不为零的应力状态三个主应力都不为零的应力状态 9-3 9-3 三向应力状态三向应力状态20 9-3 9-3 三向应力状态三向应力状态弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。整个单元体内的最大剪应力为：231maxssts s2s s1xyzs s3211. 1. 基本变形时的胡克定律基本变形时的胡克定律xxE s s Exxys s xsyx1 1）轴向拉压胡克定律）轴向拉压胡克定律横向变形横向变形2 2）纯剪切胡克定律）纯剪切胡克定律 t tG t 9-4 9-4 广义胡克定律广义胡克定律222
12、 2、三向应力状态的广义胡克定律、三向应力状态的广义胡克定律叠加法叠加法2s3s1s32111sssE1s2s3s1E1sE2sE3s 9-4 9-4 广义胡克定律广义胡克定律232s3s1s32111sssE13221sssE21331sssE 9-4 9-4 广义胡克定律广义胡克定律24)(1zyxxEs ss s s s Gxyxyt t 3 3、广义胡克定律的一般形式、广义胡克定律的一般形式)(1xzyyEs ss s s s )(1yxzzEs ss s s s Gyzyzt t Gzxzxt t s sxs sys szt txyt tyxt tyzt tzyt tzxt txz
13、9-4 9-4 广义胡克定律广义胡克定律25 9-5 9-5 强度理论概述强度理论概述max,maxssAFN（拉压）（拉压）maxmaxs ss s WM（弯曲）（弯曲）（正应力强度条件）（正应力强度条件）*maxttzzsbISF（弯曲）（弯曲）（扭转）（扭转）maxttpWT（切应力强度条件（切应力强度条件）maxs ss s maxt tt t 1. 1. 杆件基本变形下的强度条件杆件基本变形下的强度条件maxs smaxt t满足满足maxs ss s maxt tt t 是否强度就没有问题了？是否强度就没有问题了？26 9-5 9-5 强度理论概述强度理论概述强度理论：强度理论：人
14、们根据大量的破坏现象，通过判断推人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论。在一定范围与实际相符合，上升为理论。 为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法。的关于材料破坏原因的假设及计算方法。27 9-9- 四种常用强度理论四种常用强度理论构件由于强度不足将引发两种失效形式构件由于强度不足将引发两种失效形式 (1) (1)
15、 脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。如铸铁受拉、扭，低温脆断等。关于关于屈服的强度理论：屈服的强度理论：最大切应力理论和形状改变比能理论最大切应力理论和形状改变比能理论 (2) (2) 塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。
16、关于关于断裂的强度理论：断裂的强度理论：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论最大拉应力理论和最大伸长线应变理论281. 1. 最大拉应力理论最大拉应力理论（第一强度理论）（第一强度理论） 材料发生断裂的主要因素是最大拉应力达到极限值材料发生断裂的主要因素是最大拉应力达到极限值01s ss s 构件危险点的最大拉应力构件危险点的最大拉应力1s s 极限拉应力，由单拉实验测得极限拉应力，由单拉实验测得bs ss s 00s s 9-9- 四种常用强度理论四种常用强度理论29 9-9- 四种常用强度理论四种常用强度理论b1s ss s 断裂条件断裂条件 s ss ss s nb1强度条件强度条件1.
17、1. 最大拉应力理论（第一强度理论）最大拉应力理论（第一强度理论）铸铁拉伸铸铁拉伸铸铁扭转铸铁扭转302. 2. 最大伸长拉应变理论最大伸长拉应变理论（第二强度理论）（第二强度理论） 无论材料处于什么应力状态无论材料处于什么应力状态, ,只要发生脆性断裂只要发生脆性断裂, ,都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单拉伸时的破坏伸长应变数值。拉伸时的破坏伸长应变数值。 01 构件危险点的最大伸长线应变构件危险点的最大伸长线应变1 极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得0 E/)(3211s ss s s s Eb/0s
18、 s 9-9- 四种常用强度理论四种常用强度理论31 9-9- 四种常用强度理论四种常用强度理论实验表明：实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论更接近实际情况。更接近实际情况。强度条件强度条件)(321sssssnb2. 2. 最大伸长拉应变理论最大伸长拉应变理论（第二强度理论）（第二强度理论）断裂条件断裂条件EEbssss)(1321bssss)(321即即32 9-9- 四种常用强度理论四种常用强度理论 无论材料处于什么应力状态无论材料处于什么应力状态,
19、,只要发生屈服只要发生屈服, ,都都是由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。是由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。0maxt tt t 3. 3. 最大切应力理论最大切应力理论（第三强度理论）（第三强度理论） 构件危险点的最大切应力构件危险点的最大切应力maxt t 极限切应力，由单向拉伸实验测得极限切应力，由单向拉伸实验测得0t t2/0ss st t 2/ )(31maxsst33 9-9- 四种常用强度理论四种常用强度理论s31s ss ss s 屈服条件屈服条件 s ss ss ss s ss31n强度条件强度条件3. 3. 最大切应力理论最大切应力理论（第三强度理论）（第三强度
20、理论）低碳钢拉伸低碳钢拉伸低碳钢扭转低碳钢扭转34 9-9- 四种常用强度理论四种常用强度理论实验表明：实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生塑性变形或断裂的事实。塑性变形或断裂的事实。局限性：局限性： 2 2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象，、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象，1 1、未考虑、未考虑 的影响，试验证实最大影响达的影响，试验证实最大影响达15%15%。2s3. 3. 最大切应力理论最大切应力理论（第三强度理论）（第三强度理论）35 无
21、论材料处于什么应力状态无论材料处于什么应力状态, ,只要发生屈服只要发生屈服, ,都是都是由于微元的最大形状改变比能达到一个极限值。由于微元的最大形状改变比能达到一个极限值。0sfsfvv 4. 4. 形状改变比形状改变比能理论能理论（第四强度理论）（第四强度理论） 213232221sf)()()(61s ss ss ss ss ss s Ev 构件危险点的形状改变比能构件危险点的形状改变比能sf 20f261ssEvs 形状改变比能的极限值，由单拉实验测得形状改变比能的极限值，由单拉实验测得0f s 9-9- 四种常用强度理论四种常用强度理论36屈服条件屈服条件22132322212)()
22、()(ss ss ss ss ss ss ss s 强度条件强度条件 ssssssssss213232221)()()(21n4. 4. 形状改变比形状改变比能理论能理论（第四强度理论）（第四强度理论）实验表明：实验表明：对塑性材料，此理论比第三强度理对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。 9-9- 四种常用强度理论四种常用强度理论3711 ,s ss ss s r)(3212 ,s ss ss s s ss s r )()()(212132322214 ,s ss ss ss ss ss ss ss s r强度理论的统一表达式：强度理论的统一表达式：s ss s r相当应力相当应力313 ,ssssr 9-9- 四种常用强度理论四种常用强度理论
