1、科学计算与数学建模中南大学数学科学与计算技术学院中南大学数学科学与计算技术学院2022-6-23中南大学数学建模案例分析第九章 长江水质的综合评价 综合评价方法及其应用长江水质的综合评价模型长江水质的综合评价模型1 综合评价方法的基本概念综合评价方法的基本概念2评价指标的规范化处理评价指标的规范化处理3456 污染源的确定污染源的确定水质综合评价模型水质综合评价模型2022-6-23中南大学数学建模案例分析 1 长江水质的综合评价模型9.1.19.1.1长江水质的评价和预测（长江水质的评价和预测（20052005年大学数学建模年大学数学建模A A题）题） 1、问题、问题 水是人类赖以生存的资源
2、，保护水资源就是保护我们自己，对于水是人类赖以生存的资源，保护水资源就是保护我们自己，对于我国大江大河水资源的保护和治理应是重中之重。专家们呼吁：我国大江大河水资源的保护和治理应是重中之重。专家们呼吁：“以以人为本，建设文明和谐社会，改善人与自然的环境，减少污染。人为本，建设文明和谐社会，改善人与自然的环境，减少污染。” 长江是我国第一、世界第三大河流，长江水质的污染程度日趋严重，长江是我国第一、世界第三大河流，长江水质的污染程度日趋严重，已引起了相关政府部门和专家们的高度重视。已引起了相关政府部门和专家们的高度重视。2004年年10月，由全国月，由全国政协与中国发展研究院联合组成政协与中国发
3、展研究院联合组成“保护长江万里行保护长江万里行”考察团，从长江考察团，从长江上游宜宾到下游上海，对沿线上游宜宾到下游上海，对沿线21个重点城市做了实地考察，揭示了一个重点城市做了实地考察，揭示了一幅长江污染的真实画面，其污染程度让人触目惊心。为此，专家们提幅长江污染的真实画面，其污染程度让人触目惊心。为此，专家们提出出“若不及时拯救，长江生态若不及时拯救，长江生态10年内将濒临崩溃年内将濒临崩溃”（附件），并发（附件），并发出了出了“拿什么拯救癌变长江拿什么拯救癌变长江”的呼唤（附件的呼唤（附件2）。）。 附件附件3给出了长江沿线给出了长江沿线17个观测站（地区）近两年多主要水质指个观测站（地
4、区）近两年多主要水质指标的检测数据，以及干流上个观测站近一年多的基本数据（站点标的检测数据，以及干流上个观测站近一年多的基本数据（站点2022-6-23中南大学数学建模案例分析 距离、水流量和水流速）。通常认为一个观测站（地区）距离、水流量和水流速）。通常认为一个观测站（地区）的水质污染主要来自于本地区的排污和上游的污水。一般的水质污染主要来自于本地区的排污和上游的污水。一般说来，江河自身对污染物都有一定的自然净化能力，即污说来，江河自身对污染物都有一定的自然净化能力，即污染物在水环境中通过物理降解、化学降解和生物降解等使染物在水环境中通过物理降解、化学降解和生物降解等使水中污染物的浓度降低。
5、反映江河自然净化能力的指标称水中污染物的浓度降低。反映江河自然净化能力的指标称为降解系数。事实上，长江干流的自然净化能力可以认为为降解系数。事实上，长江干流的自然净化能力可以认为是近似均匀的，根据检测可知，主要污染物高锰酸盐指数是近似均匀的，根据检测可知，主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的降解系数通常介于和氨氮的降解系数通常介于0.10.50.10.5之间，比如可以考虑之间，比如可以考虑取取0.20.2( (单位：单位：1/1/天天) )。附件。附件4 4是是“1995200419952004年长江流域年长江流域水质报告水质报告”给出的主要统计数据。下面的附表是国标给出的主要统计数据。下面的附表是
6、国标(GB3838-2002) (GB3838-2002) 给出的给出的地表水环境质量标准地表水环境质量标准中中4 4个主个主要项目标准限值，其中要项目标准限值，其中、类为可饮用水。类为可饮用水。 2022-6-23中南大学数学建模案例分析请你们研究下列问题：请你们研究下列问题： （1）对长江近两年多的水质情况做出定量的综合）对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价，并分析各地区水质的污染状况评价，并分析各地区水质的污染状况 （2）研究、分析长江干流近一年多主要污染物高）研究、分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的污染源主要在哪些地区锰酸盐指数和氨氮的污染源主要在哪些地区? 20
7、22-6-23中南大学数学建模案例分析序序号号类类 类类 类类 类类 类类劣劣类类 17.5（或饱（或饱和率和率90%） 65 3 2 0 2高锰酸盐指高锰酸盐指数数(CODMn) 2 4610 15 3氨氮氨氮（NH3-N） 0.15 0.5 1.0 1.5 2.0 4PH值（无值（无量纲量纲） 6-9 分类分类标准值标准值项目项目溶解溶解(DO) 附表附表: : 地表水环境质量标准地表水环境质量标准（GB3838GB383820022002）中）中4 4个主要项目标准限值个主要项目标准限值 单位：单位：mg/Lmg/L2022-6-23中南大学数学建模案例分析 2、问题说明、问题说明 针对
8、长江水质的综合评价这一问题，采用动态加权综合评价方法来解针对长江水质的综合评价这一问题，采用动态加权综合评价方法来解决。假设决。假设1717个城市为被评价对象个城市为被评价对象 ，共有四项评价指标（或，共有四项评价指标（或属性）属性）DODO、CODMnCODMn、NH3-N NH3-N 和和PHPH值，分别记为值，分别记为 和和 ，前三项指标都，前三项指标都有有6 6个等级个等级 ，相应的分类区间值如表（，相应的分类区间值如表（1 1）所示，而）所示，而PHPH值没有值没有等级之分。等级之分。 地表水环境质量标准地表水环境质量标准(GB3838(GB38382002)2002)中中4 4个主
9、要项目标准限值个主要项目标准限值 mg/Lmg/L121 7,SSS321,xxx4x126,ppp指 标 类类类类 类类 类类 类 劣劣类类 溶解氧溶解氧(DO) 7.5,) 6,7.5) 5,6) 3,5) 2,3) 0,2 高锰酸盐指数高锰酸盐指数(CODMn) (0,2 (2,4 (4,6 (6,10 (10,15 (15, ) 氨氮（氨氮（NH3-N） (0,0.15 (0.15,0.5(0.5,1 (1,1.5 (1.5,2 (2, ) PH值（无量纲值（无量纲 6 , 9 2022-6-23中南大学数学建模案例分析2 综合评价方法的基本概念 综合评价的问题综合评价的问题: :对被
10、评价对象所进行的客观、公正、合理的对被评价对象所进行的客观、公正、合理的全面评价。通常的综合评价问题都是有若干个同类的全面评价。通常的综合评价问题都是有若干个同类的被评价对象被评价对象( (或系统或系统) )，每个被评价对象往往都涉及到多个属性（或指标）。，每个被评价对象往往都涉及到多个属性（或指标）。 综合评价的目的综合评价的目的: :根据系统的属性判断确定这些系统的运行根据系统的属性判断确定这些系统的运行（或发展）状况哪个优，哪个劣，即按优劣对各被评价对象进排序（或发展）状况哪个优，哪个劣，即按优劣对各被评价对象进排序或分类或分类。这类问题又称为这类问题又称为多属性（或多指标）的综合评价问
11、题多属性（或多指标）的综合评价问题。 综合评价的应用综合评价的应用: :研究多目标决策问题的前提，因此研究解决研究多目标决策问题的前提，因此研究解决这类问题在实际中是很有意义的，特别是在政治、经济、社会及军这类问题在实际中是很有意义的，特别是在政治、经济、社会及军事管理、工程技术及科学决策等领域都有重要的应用价值。事管理、工程技术及科学决策等领域都有重要的应用价值。 构成综合评价问题的五个要素分别为构成综合评价问题的五个要素分别为: :被评价对象、评价指标、被评价对象、评价指标、权重系数、综合评价模型和评价者。权重系数、综合评价模型和评价者。2022-6-23中南大学数学建模案例分析 被评价对
12、象就是综合评价问题中所研究的对象，或称为系统。通被评价对象就是综合评价问题中所研究的对象，或称为系统。通常情况下，在一个问题中被评价对象是属于同一类的，且个数要大于常情况下，在一个问题中被评价对象是属于同一类的，且个数要大于1 1，不妨假设一个综合评价问题中有不妨假设一个综合评价问题中有 个被评价对象（或系统），分别记个被评价对象（或系统），分别记为为 。 9.2.29.2.2评价指标评价指标 评价指标评价指标是反映被评价对象是反映被评价对象( (或系统或系统) )的运行的运行( (或发展或发展) )状况的基本状况的基本要素。通常的问题都是有要素。通常的问题都是有多项指标多项指标构成，每一项指
13、标都是从不同的侧构成，每一项指标都是从不同的侧面刻画系统所具有某种特征大小的一个度量。面刻画系统所具有某种特征大小的一个度量。 一个综合评价问题的评价指标一般可用一个综合评价问题的评价指标一般可用一个向量一个向量表示，其中每一表示，其中每一个分量就是从一个侧面反映系统的状态，即称为个分量就是从一个侧面反映系统的状态，即称为综合评价的指标体系。综合评价的指标体系。 n12,(1)nS SS n 9.2.19.2.1被评价对象被评价对象2022-6-23中南大学数学建模案例分析9.2.39.2.3权重系数权重系数 每一综合评价的问题都有相应的评价目的，针对某种评价目每一综合评价的问题都有相应的评价
14、目的，针对某种评价目的，各评价指标之间的相对重要性是不同的，评价指标之间的这种的，各评价指标之间的相对重要性是不同的，评价指标之间的这种相对重要性的大小可以用权重系数来刻画。如果用相对重要性的大小可以用权重系数来刻画。如果用 来表示评价来表示评价指标指标 的的权重系数权重系数，则应有则应有 且且 。jw(1,2,)jxjm0(1,2,)jwjm11mjjw 评价指标体系应遵守的原则：系统性、科学性、可比性、可测性评价指标体系应遵守的原则：系统性、科学性、可比性、可测性（即可观测性）和独立性。这里不妨设系统有（即可观测性）和独立性。这里不妨设系统有 个评价指标（或属个评价指标（或属性），分别记为
15、性），分别记为 ，即评价指标向量为，即评价指标向量为 。 12,(1)mx xxm m12( ,)Tmx xxx2022-6-23中南大学数学建模案例分析 注意到注意到: :当各被评价对象和评价指标值都确定以后，问题的综当各被评价对象和评价指标值都确定以后，问题的综合评价结果就完全依赖于权重系数的取值了，即权重系数确定的合评价结果就完全依赖于权重系数的取值了，即权重系数确定的合理与否，直接关系到综合评价结果的可信度，甚至影响到最后合理与否，直接关系到综合评价结果的可信度，甚至影响到最后决策的正确性。决策的正确性。 9.2.49.2.4综合评价模型综合评价模型 对于多指标（或多因素）的综合评价问
16、题对于多指标（或多因素）的综合评价问题, ,就是要通过建立合就是要通过建立合适的综合评价数学模型将多个评价指标综合成为一个适的综合评价数学模型将多个评价指标综合成为一个整体的综合整体的综合评价指标评价指标，作为综合评价的依据，从而得到相应的评价结果。，作为综合评价的依据，从而得到相应的评价结果。 不妨假设不妨假设n n个被评价对象的个被评价对象的m m个评价指标向量为个评价指标向量为 指标权重向量为指标权重向量为 ，由此构造综合评价函数为，由此构造综合评价函数为 。 12( ,)Tmx xxx12(,)Tmw www( , )yfw x2022-6-23中南大学数学建模案例分析 如果已知各评价
17、指标的如果已知各评价指标的 个观测值为个观测值为 5 5 ，其中，其中 ，则可以计算出各系统的综合，则可以计算出各系统的综合评价值评价值 ， 。根据。根据 值的大小将这值的大小将这 个系统进行排序或分类，即得到综合评价结果。个系统进行排序或分类，即得到综合评价结果。 9.2.59.2.5评价者评价者 评价者是直接参与评价的人，可以是某一个人，也可以是一个团评价者是直接参与评价的人，可以是某一个人，也可以是一个团体。对于评价目的选择、评价指标体系确定、评价模型的建立和权重体。对于评价目的选择、评价指标体系确定、评价模型的建立和权重系数的确定都与评价者有关。系数的确定都与评价者有关。 n (1,2
18、, ;ijxin1,2,)jm( )( ,)iiyfw x( )12(,)iTiiimxxxx(1,2, )in(1,2, )iy inn2022-6-23中南大学数学建模案例分析综合评价的一般步骤：综合评价的一般步骤： 明确评价目的；确定被评价对象；建立评价指明确评价目的；确定被评价对象；建立评价指标体系（包括评价指标的原始值、评价指标的若标体系（包括评价指标的原始值、评价指标的若干预处理等）；确定与各项评价指标相对应的权干预处理等）；确定与各项评价指标相对应的权重系数；选择或构造综合评价模型；计算各系统重系数；选择或构造综合评价模型；计算各系统的综合评价值的综合评价值, ,并给出综合评价结
19、果。并给出综合评价结果。2022-6-23中南大学数学建模案例分析9.3.1 9.3.1 评价指标类型的一致化评价指标类型的一致化 一般说来，在评价指标一般说来，在评价指标 中可能包含有中可能包含有“极极大型大型”指标、指标、“极小型极小型”指标、指标、“中间型中间型”指标和指标和“区间型区间型”指标。指标。 极大型指标极大型指标:总是期望指标的取值越大越好；总是期望指标的取值越大越好； 极小型指标极小型指标:总是期望指标的取值越小越好；总是期望指标的取值越小越好； 中间型指标中间型指标:总是期望指标的取值既不要太大，也不要太小为好，即取总是期望指标的取值既不要太大，也不要太小为好，即取适当的
20、中间值为最好适当的中间值为最好; 区间型指标区间型指标:总是期望指标的取值最好是落在某一个确定的区间内为最总是期望指标的取值最好是落在某一个确定的区间内为最好。好。 1.1.极小型指标极小型指标: 对于某个极小型指标对于某个极小型指标 ，则通过变换，则通过变换 ,或变换或变换 ,其中其中 为指标为指标 的可能取值的最大值，即可将的可能取值的最大值，即可将指标指标 极大化。极大化。 3 评价指标的规范化处理 xMx Mxxx1(0)xxx 12,(1)mx xxm 2022-6-23中南大学数学建模案例分析2 2. .中间型指标中间型指标: 对于某个中间型指标，则通过变换对于某个中间型指标，则通
21、过变换2()1,()22()1,()2xmmxMmMmxMxMmxMMm 其中其中 和和 分别为指标分别为指标 的可能取值的最大值和最小值，即的可能取值的最大值和最小值，即可将中间型可将中间型 指标极大化。指标极大化。Mmxx3 3. .区间型指标区间型指标： 对于某个区间型指标对于某个区间型指标 ，则通过变换，则通过变换x2022-6-23中南大学数学建模案例分析 其中其中 为指标为指标 的最佳稳定的区的最佳稳定的区间，间， ， 和和 分别为指分别为指标标 的可能取值的最大值和最小值。即可将区间型的可能取值的最大值和最小值。即可将区间型指标指标 极大化。极大化。1,1,1,axxacxaxb
22、xbxbc xxxMm , a bmax,cam Mb2022-6-23中南大学数学建模案例分析9.3.2 评价指标的无量纲化 在实际中的评价指标在实际中的评价指标 之间，往往都存在着各自不之间，往往都存在着各自不同的单位和数量级，使得这些指标之间存在着不可公度性，这就为综合同的单位和数量级，使得这些指标之间存在着不可公度性，这就为综合评价带来了困难，尤其是为综合评价指标建立和依据这个指标的大小排评价带来了困难，尤其是为综合评价指标建立和依据这个指标的大小排序产生不合理性。序产生不合理性。 如果不对这些指标作相应的无量纲处理，则在综合评价过程中就会如果不对这些指标作相应的无量纲处理，则在综合评
23、价过程中就会出出“大数吃小数大数吃小数”的错误结果，从而导致最后得到错误的评价结论。的错误结果，从而导致最后得到错误的评价结论。 无量纲化处理又称为指标数据的标准化无量纲化处理又称为指标数据的标准化,或规范化处理或规范化处理 常用方法常用方法:标准差方法、极值差方法和功效系数方法等。标准差方法、极值差方法和功效系数方法等。 假设假设 个评价指标个评价指标 ，在此不妨假设已进行了类，在此不妨假设已进行了类型的一致化处理，并都有型的一致化处理，并都有 组样本观测值组样本观测值 ，则将其作无量纲化处理。则将其作无量纲化处理。12, , ,(1)mx xx mm12,mxxxn(1,2, ;1,2,)
24、ijxin jm2022-6-23中南大学数学建模案例分析其中其中 。显然显然 指标的均值和均方差分别为指标的均值和均方差分别为0和和1，即即 是无量纲的指标，称之为是无量纲的指标，称之为 的标准观测值。的标准观测值。2.极值差方法极值差方法: 令令 ，其中其中 。则。则 是是无量纲的指标观测值。无量纲的指标观测值。3.功效系数法功效系数法: 令令 ，其中其中 均为确定的常数。均为确定的常数。 表示表示“平移量平移量”， 表示表示“旋转量旋转量”， 即表示即表示“放大放大”或或“缩小缩小”倍数，则倍数，则 。 譬如若取譬如若取 ，则，则 。1221111,() (1, 2,)nnjijjijj
25、iixxsxxjmnn(1,2, ;1,2,)ijx in jm0,1ijxijxijjijjjxmxMm (1, 2,;1, 2,)injm11m ax,m in(1, 2,)jijjijininMxmxjm 0,1ijx ijjijjjxmxcdMm (1, 2,;1, 2,)injm, c dcd ,ijxc cd 60,40cd60,100ijx 1.标准差方法标准差方法: 令令 ，ijjijjxxxs (1,2, ;1,2,)in jm2022-6-23中南大学数学建模案例分析4 水质综合评价模型9.4.1 基本假设基本假设 （1）本文只以长江流域中的）本文只以长江流域中的17个观测
26、点为研究对象，不考虑长江个观测点为研究对象，不考虑长江流域的其它部分和未提到的其它支流。流域的其它部分和未提到的其它支流。 （2）假设高锰酸盐和氨氮的降解系数都为）假设高锰酸盐和氨氮的降解系数都为0.2。 （3）各年的水质情况的检测数据互不影响。）各年的水质情况的检测数据互不影响。 （4）各个污染指标不相关，互不影响。）各个污染指标不相关，互不影响。 （5）评价和预测水质时忽略其他环境因素。）评价和预测水质时忽略其他环境因素。 （6）各监测站的监测数据代表该地区的水质情况）各监测站的监测数据代表该地区的水质情况 （7）长江干流的水流速度均匀变化。）长江干流的水流速度均匀变化。 2022-6-2
27、3中南大学数学建模案例分析9.4.2 符号说明符号说明（1） DO表示水中溶解氧表示水中溶解氧（2） CODMn表示水中高锰酸盐指数表示水中高锰酸盐指数（3） NH3-N表示水中氨氮表示水中氨氮2022-6-23中南大学数学建模案例分析9.4.3 问题分析问题分析 整个水质评价工作应包括五个环节：整个水质评价工作应包括五个环节： 1、确定调查范围，设计检测站点；、确定调查范围，设计检测站点； 2、水污染调查与监测，得到各站点的监测值；、水污染调查与监测，得到各站点的监测值； 3、确定评价指标与水质分级以及各指标在各等级的标准值；、确定评价指标与水质分级以及各指标在各等级的标准值； 4、建立数学
28、模型，进行综合评价；、建立数学模型，进行综合评价； 5、划分水环境质量等级，并作出评价结论。、划分水环境质量等级，并作出评价结论。 可用下面的流程图（图可用下面的流程图（图1）来表示，其中环节）来表示，其中环节4和环节和环节5是本文要是本文要做的工作，即建立数学模型进行综合评价，并划分水环境质量等级，做的工作，即建立数学模型进行综合评价，并划分水环境质量等级，作出评价结论。作出评价结论。2022-6-23中南大学数学建模案例分析图图1 1 水质评价流程图水质评价流程图 2022-6-23中南大学数学建模案例分析9.4.4 各观测站点分布图各观测站点分布图 水质评价工作的第一步就是确定调查范围，
29、设计检测站点。由水质评价工作的第一步就是确定调查范围，设计检测站点。由题目中的附件题目中的附件3可知此次水质评价工作的范围为长江中下游地区（从可知此次水质评价工作的范围为长江中下游地区（从四川攀枝花到江苏扬州），在这之间设计了四川攀枝花到江苏扬州），在这之间设计了17个监测站点。个监测站点。 参照中国地图册，画出长江中下游流域与各个观测站点（地区）参照中国地图册，画出长江中下游流域与各个观测站点（地区）的大致分布，如下面图的大致分布，如下面图3所示：所示：2022-6-23中南大学数学建模案例分析2022-6-23中南大学数学建模案例分析9.4.5 监测数据的采取监测数据的采取 水质评价工作的
30、第二步是每隔一段时间对水质调查与水质评价工作的第二步是每隔一段时间对水质调查与监测，得到各个指标的监测值序列。题目中的附件监测，得到各个指标的监测值序列。题目中的附件3已给已给出了这出了这17个检测站近两年多主要水质指标的监测数据。个检测站近两年多主要水质指标的监测数据。 2022-6-23中南大学数学建模案例分析9.4.6 标准的选取标准的选取 水质评价工作的第三步是确定评价指标、水质分级水质评价工作的第三步是确定评价指标、水质分级以及质量标准值。这里质量标准值采用以及质量标准值。这里质量标准值采用地表水环境质量地表水环境质量标准标准(GB3838-2002)中的标准值。评价指标为水质的中的
31、标准值。评价指标为水质的3个主要指标：个主要指标： DO（溶解氧）、（溶解氧）、CODMn（高锰酸盐指数）（高锰酸盐指数）和和NH3-N（氨氮）。评价等级设为（氨氮）。评价等级设为6个等级：个等级：类、类、类、类、类、类、类、类、类和劣类和劣类。类。2022-6-23中南大学数学建模案例分析9.4.7模型建立模型建立 水质评价工作的第三步是建立数学模型，进行综合水质评价工作的第三步是建立数学模型，进行综合评价。由于水质污染物浓度受水文流量及污染物排放因素评价。由于水质污染物浓度受水文流量及污染物排放因素的影响较大，存在随机性，而水质综合评价又存在模糊性。的影响较大，存在随机性，而水质综合评价又
32、存在模糊性。因此，本文提出了水质评价的模糊概率综合评价模型，把因此，本文提出了水质评价的模糊概率综合评价模型，把概率统计与模糊数学有机地结合起来，它能较全面地评价概率统计与模糊数学有机地结合起来，它能较全面地评价水质状况。水质状况。2022-6-23中南大学数学建模案例分析（1） 确定评价指标、水质分级与各指标标准值确定评价指标、水质分级与各指标标准值 设评价指标有设评价指标有m个，水域水质分个，水域水质分n级，则级，则 评价指标集合评价指标集合 U= （1） 水质分级集合水质分级集合 V= （2） i指标（指标（i=1，2，m），），j级水质（级水质（j=1，2，n） 的指标标准值的指标标准
33、值参考参考地表水环境质量标准地表水环境质量标准(GB3838-2002)中的相关数值。中的相关数值。12mu ,u ,u 12nv ,v ,v , i jA2022-6-23中南大学数学建模案例分析（2） 污染物监测值统计概率分析污染物监测值统计概率分析 设设i指标污染物监测值共有指标污染物监测值共有 个，其中介于个，其中介于 至至 之间的监之间的监测值有测值有 个，那么，对于个，那么，对于i指标而言，介于至之间的监测值发生的统指标而言，介于至之间的监测值发生的统计概率为计概率为 （3） 其中其中 i=1，2，m； j=1，2，n。iL,1i jA, i jA, i jl,i ji jilpL
34、2022-6-23中南大学数学建模案例分析（3） 隶属度刻划水质分级界限隶属度刻划水质分级界限 已知水质等级标准值为已知水质等级标准值为 ，i指标污染物介于指标污染物介于 至至 之间之间的的 个监测值的平均值为个监测值的平均值为 ，则，则 （4） 式中，式中， 为第为第i指标污染物监测值中介于指标污染物监测值中介于 至至 之间的之间的 个个监测值的第监测值的第k个。个。 , i jA,1i jA, i jA, i jz, i jl,1,()i jli kki ji jxzl, i kx,1i jA, i jA, i jl2022-6-23中南大学数学建模案例分析 则对则对i指标而言，分别属于第
35、指标而言，分别属于第j级水质和第级水质和第j-1级水质的程度，即级水质的程度，即对第对第j级水质和第级水质和第j-1级水质的隶属度可由下列各式推求，即级水质的隶属度可由下列各式推求，即 对对DO，有，有 （5）,1,1,1,1,1,1,1, ,1,1,1,1, ,1, ,1, ,1,1,1,1,1002,3,0002,3,001iiiiii ji ji j ji ji ji ji ji ji ji ji j ji ji ji j ji ji j ji nni ni nni ni nrzArzzArAzAAAAzrjnAArzrjnrzrzA2022-6-23中南大学数学建模案例分析 对其他指标
36、（对其他指标（CODMn，NH3-N），正好与上述方法），正好与上述方法相反，即相反，即 （6）,1,1,1,1,1,1,1, ,1,1,1,1, ,1, ,1, ,1,1,1,1,1002,3,0002,3,001iiiiii ji ji j ji ji ji ji ji ji ji ji j ji ji ji j ji ji j ji nni ni nni ni nrzArzAzrAzAAAzArjnAArzrjnrzrzA2022-6-23中南大学数学建模案例分析（4） 相对距离法计算权重相对距离法计算权重 根据各评价参数超标情况进行加权，超标越多，加权越大，权重根据各评价参数超标情况进
37、行加权，超标越多，加权越大，权重可采用下式计算，即可采用下式计算，即 对对DO： （7） 对其他指标（对其他指标（CODMn，NH3-N）：）： （8） 式中式中 第第i种污染物的监测值算术平均值种污染物的监测值算术平均值 DO的饱和浓度的饱和浓度 第第i种污染物各级标准值算术平均值种污染物各级标准值算术平均值00iiixxxsiiixsix0 xis2022-6-23中南大学数学建模案例分析 为了避免这一现象的发生，可用相对距离法计算单为了避免这一现象的发生，可用相对距离法计算单项指标的权重。具体计算如下：项指标的权重。具体计算如下： 对对DO： （9） 其中其中 i= 1,2.m, j =
38、 1,2.n.,1,1,1,1niiii jiii jii ji ji jiii nxssxjsxsssxs2022-6-23中南大学数学建模案例分析 对其他指标（对其他指标（CODMn，NH3-N）：）： (10) 式中其中式中其中 i= 1,2.m, j = 1,2.n 第第i种污染物第种污染物第j级标准值级标准值 ,1,1,1,1niiiii jii jii ji ji jiii nxsxsjsxsssxs, i js2022-6-23中南大学数学建模案例分析 用（用（9）、（）、（10）式计算权重，方法简单客观，同时也肯定了污）式计算权重，方法简单客观，同时也肯定了污染超标大者其权重亦
39、大的基本思想，但也存在如下的问题：染超标大者其权重亦大的基本思想，但也存在如下的问题： 按照国际（按照国际（GB38382002）给出的）给出的地表水环境质量标准地表水环境质量标准，同一污染物的五类标准同一污染物的五类标准 是单向递增的，因此，如果两种指标分别是单向递增的，因此，如果两种指标分别属于属于k类和类和r类水质，设类水质，设kr，按照污染超标大者其权重亦大，则应，按照污染超标大者其权重亦大，则应有有 。但由于不同的污染指标的相邻两级标准值增长不同步，。但由于不同的污染指标的相邻两级标准值增长不同步，可能造成上述次序的混乱。可能造成上述次序的混乱。iskr2022-6-23中南大学数学
40、建模案例分析 为了进行模糊运算，各单项指标权重进行归一化处理，即为了进行模糊运算，各单项指标权重进行归一化处理，即 (i = 1,2,.m) (11) m个指标权重构成权重矩阵，即个指标权重构成权重矩阵，即 (12)iii121(,)mmW 2022-6-23中南大学数学建模案例分析（5） 单指标模糊概率评价单指标模糊概率评价 根据上述方法，分别求出根据上述方法，分别求出i指标，并分别统计指标，并分别统计j级水和级水和j-1级水的隶级水的隶属度和，以及介于至之间的属度和，以及介于至之间的i指标监测值发生的统计概率，就可以应指标监测值发生的统计概率，就可以应用模糊概率方法对用模糊概率方法对i指标
41、进行单指标评价。指标进行单指标评价。 i指标发生各级水质的模糊概率分别为指标发生各级水质的模糊概率分别为 (13) 其中其中i=1，2，m。 , ,1,1, ,1,2,1i j ji ji jji ji ji j ji jrprpjnprpjn2022-6-23中南大学数学建模案例分析 i指标分别发生指标分别发生n级水质的概率就构成级水质的概率就构成i指标单指标模指标单指标模糊概率评价矩阵，即糊概率评价矩阵，即 m个指标的单指标模糊概率矩阵就构成模糊概率关系个指标的单指标模糊概率矩阵就构成模糊概率关系矩阵，即矩阵，即 (14)1,11,21,2,12,22,1,2,( )nnm ni jmmm
42、 npppppppRpppp1,1,2,( )(,)niii np ippp2022-6-23中南大学数学建模案例分析（6） 多指标模糊概率综合评价多指标模糊概率综合评价 已求出权重矩阵及模糊概率关系矩阵，则对已求出权重矩阵及模糊概率关系矩阵，则对m个评价个评价指标综合评价，得到多指标模糊概率综合评价矩阵，即指标综合评价，得到多指标模糊概率综合评价矩阵，即 (15) 其中，其中， (16) 即为水域水体出现即为水域水体出现j级水质的模糊综合概率。级水质的模糊综合概率。1112( )(,)nmm njnPWpRPP PP,1miji jiPp2022-6-23中南大学数学建模案例分析（7） 综合
43、评价指数综合评价指数 定义水域水质综合评价指数定义水域水质综合评价指数P为各个等级水质出现的为各个等级水质出现的概率与等级序号相乘在求和（类似于概率论中的全概率公概率与等级序号相乘在求和（类似于概率论中的全概率公式），即为：式），即为： (17)njj=1P=j P2022-6-23中南大学数学建模案例分析 9.4.8模型求解模型求解 把水质评价工作中的第二步工作所采集的监测数据代入模型，把水质评价工作中的第二步工作所采集的监测数据代入模型，经过计算可求得结果如下表：经过计算可求得结果如下表：等级等级等级等级等级等级综合评价指数四川攀枝花0.84040.09860.05550.0055001.
44、2261重庆朱沱0.74040.24590.01370001.2737湖北宜昌南津关0.70870.26630.02500001.3163湖南岳阳城陵矶0.48400.46620.04990001.5659江西九江河西水厂0.81360.186400001.1864安徽安庆皖河口0.72200.27150.00650001.2845江苏南京林山0.76800.23060.00140001.2335四川乐山岷江大桥0.15920.37740.26580.14200.055602.5573四川宜宾凉姜沟0.70390.20210.041860.02870.023401.4657四川泸州沱江二桥0.
45、50270.27590.12880.04160.05100.04922.1575湖北丹江口胡家岭0.98760.012400001.0124湖南长沙新港0.30800.29950.29080.1018002.1864湖南岳阳岳阳楼0.42670.42030.14410.0090001.7355湖北武汉宗关0.58570.36270.04850.0030001.4688江西南昌滁槎0.17580.12990.26780.11640.31020.30515.0859江西九江蛤蟆石0.57530.31520.08360.0259001.5601江苏扬州三江营0.58270.36640.04860.0
46、023001.47062022-6-23中南大学数学建模案例分析 结果分析：由上表可以发现，长江流域干流上监测站点水质都在结果分析：由上表可以发现，长江流域干流上监测站点水质都在第一等级和第二等级之间，水质情况较好。长江流域支流上部分监测第一等级和第二等级之间，水质情况较好。长江流域支流上部分监测点水质处于第一等级和第二等级之间，水质情况较好；部分监测点点水质处于第一等级和第二等级之间，水质情况较好；部分监测点（四川乐山岷江大桥、四川泸州沱江二桥（四川乐山岷江大桥、四川泸州沱江二桥 和湖南长沙新港）和湖南长沙新港） 处于第处于第二与第三等级之间，水质受到轻度污染；但在监测站江西南昌滁槎二与第三
47、等级之间，水质受到轻度污染；但在监测站江西南昌滁槎（赣江）水质处于劣五级，污染十分严重。通过查阅资料发现（赣江）水质处于劣五级，污染十分严重。通过查阅资料发现 ：由：由于目前赣江的主要流经城市南昌市内大量工业废水和生活废水不经处于目前赣江的主要流经城市南昌市内大量工业废水和生活废水不经处理就排入江内，造成氨氮、粪大肠菌群浓度过高，而南昌市只建有一理就排入江内，造成氨氮、粪大肠菌群浓度过高，而南昌市只建有一个日处理污水能力个日处理污水能力8万吨的朝阳污水处理厂，但对于目前市内每日万吨的朝阳污水处理厂，但对于目前市内每日100万吨的污水排放量，城市处理污水能力远远跟不上工业的的发展，万吨的污水排放
48、量，城市处理污水能力远远跟不上工业的的发展，造成现在赣江的水体质量严重超标，达到重度污染级，这里是改善长造成现在赣江的水体质量严重超标，达到重度污染级，这里是改善长江水质的重点处理区之一。江水质的重点处理区之一。2022-6-23中南大学数学建模案例分析 总的说来，长江流域（干流及支流）的大部分水质情况还是比较总的说来，长江流域（干流及支流）的大部分水质情况还是比较理想的，但是个别地区污染比较严重，不容忽视。理想的，但是个别地区污染比较严重，不容忽视。 河流的水质污染程度随径污比变化。河流的径流量和排入河流的河流的水质污染程度随径污比变化。河流的径流量和排入河流的污水、污物量决定了径污比。排污
49、量相同，河流的径流量大则污染轻，污水、污物量决定了径污比。排污量相同，河流的径流量大则污染轻，反之就重。河流的径流量随时间变化，因此河水污染程度也随时间变反之就重。河流的径流量随时间变化，因此河水污染程度也随时间变化。这点在模型求解过程中没有考虑到，将在下面的模型的进一步求化。这点在模型求解过程中没有考虑到，将在下面的模型的进一步求解中给出。解中给出。2022-6-23中南大学数学建模案例分析 9.4.9模型的进一步求解：模型的进一步求解：（1）时间的分段处理）时间的分段处理 现在先对时间进行分段处理，即分为丰水期（现在先对时间进行分段处理，即分为丰水期（5月到月到10月）、枯水期（月）、枯水
50、期（1月到月到4月）和平水期（月）和平水期（11月到月到12月）月）三个时期。然后对各个时期的监测数据进行模糊概率综合三个时期。然后对各个时期的监测数据进行模糊概率综合评价，计算得到的结果如下表：评价，计算得到的结果如下表： 2022-6-23中南大学数学建模案例分析表表2 各监测点各时期污染等级分布各监测点各时期污染等级分布 监测点丰水期平水期枯水期水文年四川攀枝花1.32181.05591.19711.2261重庆朱沱1.17391.35721.51021.2737湖北宜昌南津关1.44821.12481.19011.3163湖南岳阳城陵矶1.56851.51781.60291.5659江
