1、工 程 力 学单元单元8 梁的弯曲梁的弯曲8-1 平面弯曲和梁的类型平面弯曲和梁的类型8-2 梁的内力梁的内力8-3 简捷法画梁的内力图简捷法画梁的内力图8-4 叠加法画弯矩图叠加法画弯矩图8-5 练习题练习题8-1 平面弯曲平面弯曲和梁的类型和梁的类型一、一、 弯曲变形与梁弯曲变形与梁 1、弯曲变形、弯曲变形：杆件受到垂直与杆轴的外力作用或在纵向平面内受到力：杆件受到垂直与杆轴的外力作用或在纵向平面内受到力偶作用，杆轴由直线变成曲线，这种变形成为弯曲变形。偶作用，杆轴由直线变成曲线，这种变形成为弯曲变形。 2、梁、梁：以弯曲变形为主要变形的杆件。：以弯曲变形为主要变形的杆件。 工程中梁式桥的
2、主梁工程中梁式桥的主梁F1F2ABFAFBqFM 工程中房屋建筑的楼面梁工程中房屋建筑的楼面梁 工程中房屋建筑阳台挑梁工程中房屋建筑阳台挑梁楼面楼面梁（a）（b）梁挑板台阳（c）（d）二、直梁的平面弯曲二、直梁的平面弯曲 1、平面弯曲（对称弯曲）、平面弯曲（对称弯曲）：梁具有纵向对称面，若梁上所有外力（荷载和反力）都作用在纵向对称面内，梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。 受力特点受力特点：外力垂直与梁轴线。 变形特点变形特点：轴线在纵向对称面变成一条曲线。三三、梁的类型梁的类型 1、悬臂梁 2、简支梁 3、外伸梁 8-2 梁梁的内力的内力aP的内力偶矩作用面与横截面相垂直弯矩相切与横截
3、面剪力内力:M:Q剪力和弯矩一、梁的内力一、梁的内力PaP二二、截面法求内力截面法求内力aPP步骤：1、求反力0Y0QyAAyQ 0CM0MxyAxyMA 2、求m面上内力 切断m断面（垂直于梁轴） 绘受力图 应用平衡条件求解 aPP三三、剪力弯矩的正负号规定剪力弯矩的正负号规定左右右左左左右右1、剪力剪力：当截面上的剪力使所考虑的分离体有顺时针转动的当截面上的剪力使所考虑的分离体有顺时针转动的 趋势时为正。趋势时为正。2、弯矩弯矩：当截面上的弯矩使所考虑的分离体产生向下凸的变当截面上的弯矩使所考虑的分离体产生向下凸的变 形时（即上部受拉，下部受压）为正。形时（即上部受拉，下部受压）为正。c左
4、c右左右右左c右c左四四、简捷方法计算指定截面内力简捷方法计算指定截面内力大小大小：在数值上等于截面一侧所有外力在垂直与轴：在数值上等于截面一侧所有外力在垂直与轴 线上投影的线上投影的 代数和。代数和。Q=P。1、某指定截面上剪力、某指定截面上剪力Q正负正负：以外力定内力。：以外力定内力。 截面左侧向上，或界面向下的外力使截面产截面左侧向上，或界面向下的外力使截面产 生正剪力。生正剪力。 即即“左上右下为正左上右下为正”。2、某指定截面上弯矩、某指定截面上弯矩M大小大小：在数值上等于截面一侧所有外力对截面形心：在数值上等于截面一侧所有外力对截面形心 力矩的代数和。力矩的代数和。M=m。正负正负
5、：截面左侧外力矩顺时针，截面右侧外力矩逆：截面左侧外力矩顺时针，截面右侧外力矩逆 时针使截面产生正弯矩。时针使截面产生正弯矩。 即即“左顺右逆为正左顺右逆为正”。例一例一 求下图所示简支梁求下图所示简支梁1-1与与2-2截面的剪力和弯矩。截面的剪力和弯矩。2112m21.5mq=12kN/m3m1.5m1.5mF=8kNAB解：解： 1、求支反力、求支反力)0(kN29030kN1502335 .460y的正误或校核求也可由BBABBAAABFFMFqFFFFFqFFMmkN26)5 .12(2kN7A1A1SFFMFFF2、计算、计算1-1截面的内力截面的内力F=8kNFAS1F1M3、计算
6、、计算2-2截面的内截面的内FBq=12kN/mS2F2MmkN3025 . 15 . 15 . 1kN115 . 1B2B2SqFMFqFFAFB8-3 简捷法画梁的内力图简捷法画梁的内力图一、弯矩、剪力、荷载集度之间的微分关系一、弯矩、剪力、荷载集度之间的微分关系MF1q(x)ABdxOxdxyxM(x)FS(x)M(x)+dM(x)FS(x)+dFS(x)q(x)结论结论1：梁：梁上任意横截面上的剪力对上任意横截面上的剪力对X的一阶导数等于作用在的一阶导数等于作用在 该该截面上的分布荷载集度。截面上的分布荷载集度。结论结论2：梁：梁上任意横截面上的弯矩对上任意横截面上的弯矩对X的一阶导数
7、等于该截面的一阶导数等于该截面 上的剪力。上的剪力。结论结论3：梁：梁上任意横截面上的弯矩对上任意横截面上的弯矩对X的二阶导数等于该截面的二阶导数等于该截面 上的分布荷载集度。上的分布荷载集度。二、剪力图、弯矩图的图形规律二、剪力图、弯矩图的图形规律外力情况外力情况q0(向下向下)无荷载段无荷载段集中力集中力F作用作用处：处：集中力偶集中力偶M作作用处：用处：剪力图上的剪力图上的特征特征(向下斜直向下斜直线线)水平线水平线突变突变，突变突变值为值为F不变不变弯矩图上的弯矩图上的特征特征(下凸抛物线下凸抛物线)斜直线斜直线有有尖点尖点有有突变突变，突变突变值为值为M最大弯矩可最大弯矩可 能的截面
8、位能的截面位置置剪力为零的截剪力为零的截面面剪力突变的剪力突变的截面截面弯矩突变的某弯矩突变的某一侧一侧1 1、各种荷载下剪力图与弯矩图的形态表：、各种荷载下剪力图与弯矩图的形态表： 2 2、其它规律：、其它规律： |M|max可能发生在剪力为零处、集中力作用处、集中力偶作用处；可能发生在剪力为零处、集中力作用处、集中力偶作用处； q突变反向，剪力图有尖点，弯矩图有凸凹性反转拐点；突变反向，剪力图有尖点，弯矩图有凸凹性反转拐点； 荷载图关于梁左右对称，则剪力图关于梁中点反对称，弯矩图左右对荷载图关于梁左右对称，则剪力图关于梁中点反对称，弯矩图左右对 称；荷载图关于梁中点反对称，则剪力图左右对称
9、，弯矩图关于梁中称；荷载图关于梁中点反对称，则剪力图左右对称，弯矩图关于梁中 点反对称。点反对称。3 3、具体诠释：、具体诠释： 剪力= 0 Q图：0线 M图：水平线 剪力= 常数 Q图：水平线 M图：斜直线 剪力Q0 弯矩M递减 剪力Q0 弯矩M递增mll/2ABm/lm/lQM -m/lmpABlPPlQ +PMPl当一段梁上荷载集度当一段梁上荷载集度q(x) = 0 （无荷段）（无荷段）-当一段梁上有均布荷载当一段梁上有均布荷载 q（x）=常数常数 Q图：斜直线 M图：二次抛物线q Q 图 下斜直线 M 图 下凸抛物线ql/2ql/2qlABQ+-ql/8Mql/2ql/2qBAlqlq
10、l/2Qql-ql/2M-+q Q 图 上斜直线 M 图 上凸抛物线ql/2ql/2qlABQ+-ql/8Mql/2ql/2qlql/2Qqlql/2M+qBAl+-M图的极值图的极值 Q（x）= 0 处 M（x）有极值Q（x）由（+）经零到（-） M图有极大值Q（x）由（-）经零到（+） M图有极小值X = Q端/q M极=M端Q面积 Q端+-xM端+qQMM极集中力作用处集中力作用处 剪力Q图有突变集中力向下 Q图从左到右下突集中力向上 Q图从左到右上突 弯矩值不变 弯矩图折变500500100100+-+ Q（N）100400N200N1m 1m1m100N 同号相减突变值=集中力的值
11、异号相加M（Nm）集中力偶作用处集中力偶作用处 剪力Q图无变化 弯矩M图有突变集中力偶 M图从左到右上突集中力偶 M图从左到右下突 同号相减突变值=集中力偶值 异号相加+-200Nm1m1m1m100Nm400Nm200500100100300 Q（N） M（Nm）梁端有集中力、集中力偶梁端有集中力、集中力偶Q端=P（集中力）M端=m（集中力偶）500500500100100+-+ Q（N）100400N200N1m 1m1m100N+-200Nm1m1m1m100Nm400Nm200100100300 Q（N） M（Nm） M（Nm）三、用微分关系法绘制剪力图和弯矩图三、用微分关系法绘制剪力
12、图和弯矩图简捷法简捷法1、简捷法、简捷法 ：根据剪力图和弯矩图的图形规律快速绘制：根据剪力图和弯矩图的图形规律快速绘制 剪力图和弯矩图的方法。剪力图和弯矩图的方法。 2、简捷法绘图、简捷法绘图步骤步骤 （1）求反力（悬臂梁除外）求反力（悬臂梁除外） （2）分段）分段 确定控制截面确定控制截面 梁端内侧梁端内侧Q图图 集中力左、右集中力左、右 分布荷载起终处分布荷载起终处 梁端梁端图图 集中力集中力集中力偶左、右集中力偶左、右 分布荷载起终处分布荷载起终处（3）判断各段）判断各段Q、M图的图形规律（定性分析）图的图形规律（定性分析）（4）求控制截面内力值（定量分析）求控制截面内力值（定量分析）（
13、5）检查）检查例例 ：简捷法画图示梁的：简捷法画图示梁的Q、M图图Q（kN） M（kNm)75+45- 75+ 1525-1.5m +355083.75-1015.625+0.75mACDEB30kN/m1m1m4m2m60kN20kN/m120kN80kNm25kN75kN75 练习练习: :简捷法画图示梁的简捷法画图示梁的Q Q、M M图图BA3m2m1m2kN/m2kN3kNmCD2+3-3+1m2-+43Q(KN) M（kNm） 练习练习: :简捷法画图示梁的简捷法画图示梁的Q Q、M M图图Q(N)M (Nm)+100100-400+200100+400300+400N300N3m1
14、m1m200NmCAB100N200N/m 2m 四、总结 五、布置作业 1、弯矩、剪力、荷载集度间的 微分关系的意义是什么？习题：教材140页 942、如何确定弯矩的极值？ 弯矩图上的极值是否 就是梁内的最大弯矩？8-4 叠加法画梁的弯矩图叠加法画梁的弯矩图1、叠加原理叠加原理：当梁在各项荷：当梁在各项荷载作用下某一横截面上的弯矩载作用下某一横截面上的弯矩等于各荷载单独作用下同一横等于各荷载单独作用下同一横截面上的弯矩的代数和。截面上的弯矩的代数和。2、区段叠加法作弯矩图区段叠加法作弯矩图：设简支梁同时承受跨间荷载设简支梁同时承受跨间荷载q与端部力矩与端部力矩MA、MB的作用。的作用。其弯矩
15、图可由简支梁受端部力其弯矩图可由简支梁受端部力矩作用下的直线弯矩图与跨间矩作用下的直线弯矩图与跨间荷载单独作用下简支梁弯矩图荷载单独作用下简支梁弯矩图叠加得到。即：叠加得到。即： xMxMxM0BMAAqMBlB+MAMBM0+MAMBM0 注意注意：这里所说的弯矩叠加，是纵坐标的叠加而不是指图这里所说的弯矩叠加，是纵坐标的叠加而不是指图形的拚合。形的拚合。d图中的纵坐标如同图中的纵坐标如同M图的纵坐标一样，也是垂图的纵坐标一样，也是垂直于杆轴线直于杆轴线AB。利用内力图的特性和弯矩图利用内力图的特性和弯矩图叠加法，将梁弯矩图的一般叠加法，将梁弯矩图的一般作法作法归纳如下归纳如下：（1）选定外
16、力的不连续点）选定外力的不连续点(如如集中力、集中力偶的作用点，集中力、集中力偶的作用点，分布力的起点和终点等分布力的起点和终点等)为控制为控制截面，求出控制截面的弯矩值。截面，求出控制截面的弯矩值。（2）分段画弯矩图。当控制）分段画弯矩图。当控制截面之间无荷载时，该段弯矩截面之间无荷载时，该段弯矩图是直线图形。当控制截面之图是直线图形。当控制截面之间有荷载时，用叠加法作该段间有荷载时，用叠加法作该段的弯矩图。的弯矩图。 例例 作图示简支梁的弯矩图作图示简支梁的弯矩图。2FCl/2ABFl/2l/22/FlM2/Fl2/Fl4/Fl8-5 练习题练习题1 1、 求图所示各梁中指定截面上的剪力和
17、弯矩。求图所示各梁中指定截面上的剪力和弯矩。 (a)11A1m0.5m1.2kNB2kNm5mA5kN11(b)2m1m1m22B6m(d)3m11BA3kN/mq5aA11(c)3aaa33Bqa225kN5m(e)3m11BA2210kNm2.5m(f)1m11BA226.6m(g)3.3m1.7m18.5kN18.5kN10kN/mB11A1.7m5a(h)3aaqB11A2 2、 用简易法作图所示各梁的剪力图和弯矩图用简易法作图所示各梁的剪力图和弯矩图1mC1mDA3m10kN.m10kN.m(b)BCB1mA2.5m5kN/m(c)1mACB(d)2m15kN10kN.mCBAD(e
18、)35qCBA3M0(f)ALBq(a)CBADE1m1m1m(h)4m10kN10kN30kNB4(k)qqAB4(l)AppD20kN.m4mB(g)4kN.m4kN/mA1mACB(j)2m20kN/mACBADE(i)pp4aAB5am(m)a4mA10kN/m(n)B80kNm80kNm3 3、用简便方法画下列各梁的剪力图和弯矩图。、用简便方法画下列各梁的剪力图和弯矩图。AB(1)Me1=8kN.m4mMe2=20kN.mAB(3)2m2mMe=8kN.mMe=8kN.mF=20kNAB(2)Me=8kN.m4m2mCq=5kN/mAB(4)3m3mCq=4kN/mF=8kNAB(6
19、)2m6m2mCDq=6kN/mF=9kNAB(5)1m2m1mCF=2kNq=4kN/mDBACDL0.2L0.2Lq(8)5mB1mCA30kN.m20kN(9)2mB20kN.m20kN.m10kN/m(10)AlBqA2ql2ql2(11)3BAq(12)C3mA6kN/m1m2kN(7)BAB(14)ACqB(15)ACDqB(16)ACDFMe=1/4FAB(13)MeCB(17)Aq2q2CBAq(18)qqaFS65max.2max65qaMACDBFAFBq24 4、画出图所示简支梁的剪力图和弯矩图，并在图上标出各、画出图所示简支梁的剪力图和弯矩图，并在图上标出各段端面的相应
20、位置，并注明段端面的相应位置，并注明F FS,maxS,max及及M Mmaxmax。答：max.SFmaxMkNFS94max.mkNM.9 .140maxACBD2m2m8m20kN/m20kN100kNm5 5、 画图所示梁的剪力图和弯矩图，并指出画图所示梁的剪力图和弯矩图，并指出及及答：。8/qlql/4l/4l/2PPq44322plplql16qlP 24322PlPlql1/41/41/2P1/41/41/2剪力图弯矩图6 6、外伸梁如图，已知、外伸梁如图，已知P P的取值范围在的取值范围在0 0与与之间，之间，值给定的情况下，问值给定的情况下，问P P在其取何值可使梁在其取何值可使梁中危中危答：答：P P的最佳值使得最大正弯矩和最大负弯矩相等。的最佳值使得最大正弯矩和最大负弯矩相等。 试作剪力图试作剪力图和弯矩图。在和弯矩图。在险截面的弯矩值达到最小？险截面的弯矩值达到最小？
