1、绝密启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）理科数学注意事项:1答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号回答非选择题时,将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合，则（ ）A B C D2为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下
2、面结论中不正确的是（ ）A该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间3已知，则（ ）A B C D4青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V的满足已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）A1.5 B1.2 C0.8 D0.65已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的
3、离心率为（ ）A B C D6在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G该正方体截去三棱锥后，所得多面体的三视图中，正视图如右图所示，则相应的侧视图是（ ）A B C D7等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）A甲是乙的充分条件但不是必要条件 B甲是乙的必要条件但不是充分条件C甲是乙的充要条件 D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件82020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一右图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，由C点
4、测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）A346 B373 C446 D4739若，则（ ）A B C D10将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）A B C D11已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）A B C D12设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，若，则（ ）A B C D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13曲线在点处的切线方程为_14已知向量若，则_15已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为_16已知
5、函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为_三、解答题：共70分解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤，第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：0.05
6、00.0100.001k3.8416.63510.82818（12分）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立数列是等差数列：数列是等差数列；注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分19（12分）已知直三棱柱中，侧面为正方形，E，F分别为和的中点，D为棱上的点，（1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?20（12分）抛物线C的顶点为坐标原点O焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且已知点，且与l相切（1）求C，的方程；（2）设是C上的三个点，直线，均与相切判断直线与的位置关系，并说明理由21（12分）已知且，函数（1）当
7、时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出P的轨迹的参数方程，并判断C与是否有公共点23选修4-5：不等式选讲（10分）已知函数（1）画出和的图像；（2）若，求a的取值范围2021年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）理科数学参考答案一、选择题1. B 2. C
8、3. B 4. C 5. A 6.D 7. B 8.B 9.A 10.C 11. A 12.D 二、填空题13. 14. .15.816.2三、解答题（一）必考题17. （1）75%；60%；（2）能.18. 方法一：待定系数法+与关系式设，则，当时，；当时，；因为也是等差数列，所以，解得；所以，故.方法二 ：待定系数法设等差数列的公差为d，等差数列的公差为，则，将代入，化简得对于恒成立则有，解得所以选作条件证明：因为，是等差数列，所以公差，所以，即，因为，所以是等差数列.选作条件证明：方法一：定义法设，则，当时，；当时，；因为，所以，解得或；当时，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；当
9、时，不合题意，舍去.综上可知为等差数列.方法二【最优解】：求解通项公式因为，所以，因为也为等差数列，所以公差，所以，故，当时，当时，满足上式，故的通项公式为，所以，符合题意.19. （1）因为，所以又因为，所以平面又因为，构造正方体，如图所示，过E作的平行线分别与交于其中点，连接，因为E，F分别为和的中点，所以是BC的中点，易证，则又因为，所以又因为，所以平面又因为平面，所以（2）20. （1）抛物线，方程为；（2）相切设若斜率不存在，则方程为或，若方程为，根据对称性不妨设，则过与圆相切的另一条直线方程为，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意；若方程为，根据对称性不妨设则过与圆相切的直线为，又，此时直线关于轴对称，所以直线与圆相切；若直线斜率均存在，则，所以直线方程为，整理得，同理直线的方程为，直线的方程为，与圆相切，整理得，与圆相切，同理所以为方程的两根，到直线的距离为：，所以直线与圆相切；综上若直线与圆相切，则直线与圆相切.第 10 页 共 10 页
