1、第一章 空间向量与立体几何 期末复习冲刺卷一、单选题1四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（ ）A1BCD22在正方体中，是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）ABCD3将边长为的正方形及其内部)绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧，则直线与平面所成的角的正弦值为（ ）ABCD4如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ）ABC向量与的夹角是D与所成角的余弦值为5如图在长方体中，设，则等于（ ）A1B2C3D6已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，.对于结论：；是
2、平面的法向量；.其中正确的是（ ）ABCD7如图，在四棱锥中，底面，底面为边长为2的正方形，为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）ABCD8在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面BCD，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（ ）ABCD二、多选题9如图所示，棱长为1的正方体中，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ） A平面平面B不是定值C三棱锥的体积为定值D10如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，下列说法中正确的是（ ）ABC向量与的夹角是60D与AC所成角的
3、余弦值为11对于任意非零向量，以下说法错误的有A若，则B若，则CD若，则为单位向量12在三棱锥中，三条侧棱两两垂直，且，G是的重心，E，F分别为上的点，且，则下列说法正确的是（ ）ABCD三、填空题13下列关于空间向量的命题中， 若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则；若非零向量，满足，则有；若，是空间的一组基底，且，则，四点共面；若向量，是空间一组基底，则，也是空间的一组基底上述命题中，正确的有_14已知正方体，给出下列四个命题：；与的夹角为60；二面角大于120其中错误命题的序号是_15如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，到，的距离都等于2.给出以下结论：；.其中正确结论的序号是_
4、.16如图，在平行六面体中，为与的交点，若，用，表示，则_.四、解答题17如图所示，在三棱锥中，平面，.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）求点到平面的距离.18如图，在四棱锥中，E为棱PA的中点，平面PCD（1）求AD的长；（2）若，平面平面PBC，求二面角的大小的取值范围19如图，已知菱形和矩形所在的平面互相垂直，是中点.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.20在三棱锥中，.（1）求证：；（2）若为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值.21如图，在平行六面体中，是的中点，设，.（1）用，表示；（2）求的长.22如图，在四棱锥中，底面为正方形，M，N分别为，的中点.（
5、）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）求平面与平面所成角的余弦值参考答案1B【解析】因为，所以，所以，所以 ，解得，所以，故选：B.2D【解析】解：如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，则，所以，设直线与直线所成角为，所以故选：D3B【分析】建立合适的空间直角坐标系，写出所需点的坐标，然后在直角三角形中求解即可【解析】解：以为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，则，又点到平面的距离为1，故直线与平面所成的角的正弦值为故选：B4B【分析】选项，计算得，所以选项不正确；选项，所以，所以选项正确；选项，向量与的夹角是，所以选项不正确；选项，与所成角的余弦值为，所以选项不正确.
6、【解析】选项，由题意可知，则，所以选项不正确；选项，又，所以选项正确；选项，向量与的夹角是，所以选项不正确；选项，设与所成角的平面角为，所以选项不正确.故选：B【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是把几何的问题和向量联系起来，转化为向量的问题，提高解题效率，优化解题.把线段长度的计算，转化为向量的模的计算；把垂直证明转化为向量数量积为零；把异面直线所成的角转化为向量的夹角计算.5A【分析】利用向量加法化简，结合向量数量积运算求得正确结果.【解析】由长方体的性质可知，所以.故选：A6B【分析】求出判断不正确；根据 判断正确；由，判断正确；假设存在使得，由无解，判断不正确.【解析】由，2，2，知：在
7、中，故不正确；在中，故正确；在中， ，又因为，知是平面的法向量，故正确；在中，3，假设存在使得，则，无解，故不正确；综上可得：正确故选：B【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间向量垂直、向量平行等基础知识，考查了平面的法向量以及空间向量的模，考查推理能力与计算能力，属于基础题7A【分析】以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角可求得结果.【解析】因为底面，所以，又，所以以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：则，设异面直线与所成的角为，则.所以异面直线与所成的角的余弦值为.故选：A【点睛】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了利用空间向量求异面直线所成的角，属于基础题
8、.8C【分析】画出四面体，建立坐标系，利用向量法求异面直线所成角的余弦值即可.【解析】四面体是由正方体的四个顶点构成的，如下图所示建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为因为异面直线夹角的范围为，所以异面直线BM与CD夹角的余弦值为故选：C【点睛】本题主要考查了利用向量法求异面直线夹角的余弦值，属于中档题.9ACD【分析】A.易证明平面，得到面面垂直；B.转化，再求数量积；C. ,根据底面积和高，判断体积是否是定值；D.由平面，判断线线是否垂直.【解析】A.因为是正方体，所以平面，平面，所以平面平面，所以A正确；B.，故，故B不正确；C.，的面积是定值，平面，点在线段上的动点，所以点到
9、平面的距离是定值，所以是定值，故C正确；D.，所以平面，平面，所以，故D正确.故选：ACD【点睛】本题考查点，线，面的位置关系，体积，空间向量数量积的综合判断题型，重点考查垂直关系，属于中档题型.10AB【分析】直接用空间向量的基本定理，向量的运算对每一个选项进行逐一判断.【解析】以顶点A为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60，可设棱长为1,则 而， 所以A正确. =0,所以B正确.向量,显然 为等边三角形，则.所以向量与的夹角是 ,向量与的夹角是,则C不正确又， 则， 所以，所以D不正确.故选：AB【点睛】本题考查空间向量的运算，用向量求夹角等，属于中档题.11BD【分析】利用空间
10、向量垂直的坐标表示可判断A选项的正误；取，且可判断B选项的正误；利用空间向量夹角余弦的坐标表示可判断C选项的正误；求得，可判断D选项的正误.【解析】对于A选项，因为，则，A选项正确；对于B选项，若，且，若，但分式无意义，B选项错误；对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知，C选项正确；对于D选项，若，则，此时，不是单位向量，D选项错误.故选：BD.【点睛】本题考查与空间向量相关的命题真假的判断，考查了空间向量数量积的坐标运算以及空间共线向量的坐标表示，属于基础题.12ABD【分析】取，以为基底表示，结合向量数量积运算性质、向量共线定理即可选出正确答案.【解析】如图，设，则是空间的一个正交基底
11、，则，取的中点H，则，A正确；，B正确；，C不正确；，D正确.故选:ABD.【点睛】本题考查了平面向量共线定理，考查了由数量积求两向量的位置关系，考查了平面向量基本定理的应用，属于中档题.13【分析】根据空间向量基本定理可知，能作为基底的向量一定是不共面的向量，由此对四个命题逐个分析可得答案.【解析】对于，若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则向量，与空间任意向量都共面，则与必共线，即，故正确；对于，若非零向量，满足，当非零向量，不共面时，与可以不平行，故不正确；对于，因为，所以，所以，所以、共面，所以，四点共面，故正确；对于，若向量，是空间一组基底，则向量，不共面，则对任意实数都有，即，所
12、以不共面，所以也是空间的一组基底故正确.故答案为：14【分析】如图建立空间直角坐标系，然后利用空间向量逐个分析判断即可【解析】如图，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，对于，因为， 所以，所以 ，所以正确，对于，因为，所以正确，对于，设与的夹角为，因为，所以，因为，所以，所以 错误，对于，设平面的法向量为，则，令，则，平面的一个法向量为，所以，由图可知二面角为钝角，设二面角的平面角为，则，所以，所以正确，故答案为：15【分析】根据空间向量的加法运算、减法运算，空间向量的数量积定义，逐一判断可得选项.【解析】对于：，所以不正确；对于：，所以不正确；对于：
13、，所以正确；对于：因为底面是边长为1的正方形，所以，而，于是，因此正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是.故答案为：.【点睛】本题考查空间向量的加法、减法运算，空间向量的数量积的定义，属于基础题.16【分析】，作为空间向量的基底，用向量线性运算法则可得【解析】故答案为：【点睛】本题考查空间向量基本定理，掌握空间向量线性运算法则是解题基础17（1）证明见解析；（2）；（3）.【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积证明，,由线线垂直证明线面垂直，即得证（2）由（1）为平面的一个法向量，求解平面的法向量，利用二面角的向量公式，即得解；（3）由（1）为平面的一个法向量，利用点面距离的向量
14、公式即得解【解析】（1）证明：以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图则，即，平面；（2）由（1）可知为平面的一个法向量，设平面的法向量为，而，则，令，可得，设二面角的平面角为，经观察为锐角，即二面角的余弦值为；（3），平面的法向量为，设点到平面的距离为，即点到平面的距离为.18（1）4；（2）【分析】（1）过E作，交PD于点M，连接，根据平面PCD，得到，再结合，得到四边形BCME是平行四边形求解；（2）易证，然后以点B为原点，分别以BA，BC所在直线为x，y轴，以经过点B且垂直与平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，设，求得平面CDP的一个法向量，再由平面BCP的一个法向量
15、为，然后由求解.【解析】（1）如图所示：过E作，交PD于点M，连接，因为平面PCD平面BCME，平面PCD平面BCME=MC，所以，又因为，所以，所以四边形BCME是平行四边形，所以，又因为，所以.（2）因为，E为棱PA的中点，所以，且 ，所以，又因为平面平面PBC，平面平面PBC=BP，所以平面PBC，又因为平面PBC，所以，则以点B为原点，分别以BA，BC所在直线为x，y轴，以经过点B且垂直与平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示：则，由题意设，则，设平面CDP的一个法向量为，则，即，令，得，则，易知平面BCP的一个法向量为，则，因为，所以，所以二面角的大小的取值范围是.19
16、（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）先通过证，证得平面，进而可证明平面平面；（2）先证得平面，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，用向量法即可求解二面角的余弦值.【解析】（1）证明：由题可得，所以，在题可知为等边三角形，所以，从而因此在中，从而有，而，满足，从而有，又，从而平面，而平面，从而平面平面；（2）由平面平面，而与两平面交线垂直，从而有平面，设，则，从而有平面，因此以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，从而，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以平面的一个法向量为，所以平面的一个法向量为，则，即，令，则，所以平面的一个法向量为，则又二面角为钝
17、二面角，所以余弦值为.20（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）取中点，连接，证明平面即可；（2）首先证明平面，然后以射线，为，正半轴建系，然后算出和平面的法向量即可得到答案.【解析】（1）取中点，连接，因为，所以，又因为，所以平面，即.（2）由（1）得，平面，又因为平面，所以平面平面，易得，所以，即，又因为平面平面，所以平面，如图所示，以射线，为，正半轴建系，设为平面一个法向量，则有，取，设为直线与平面所成角，则.即直线与平面所成角的正弦值为.21（1）；（2）.【分析】（1）根据向量的加法运算用基底表示向量即可；（2）计算，展开，利用向量的数量积公式计算可求出结果.【解析】（1）根据向量的三角形法则得到.（2），即的长为.22（1）证明见详解；（2）；（3）；【分析】（1）由中位线性质有，根据线面平行的判定即可证结论；（2）构建以D为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，确定直线的方向向量与平面的法向量，即可求所成角的正弦值；（3）求面的法向量，结合（2）的结论，即可求面与面所成角的余弦值【解析】（1）M，N分别为，的中点，又面，面，平面；（2）由题意，可构建以D为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，设面的法向量为，则，若，有，直线与平面所成角的正弦值为，（3）由（2）知：，则，设面的法向量为，则，若有，而面的法向量为，；
