1、绝密启用前选择性必修第一册人教A版（2019）第一章空间向量与立体几何章末检测（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项： 1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答第卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知，则向量与的
2、夹角为ABCD2若、为空间四点，且向量，不能构成空间的一个基底，则A，共线B，共线C，共线D，四点共面3正方体中，分别是，的中点，以，为基底，则，的值是ABCD4若点，3，关于平面的对称点为，点，1，关于轴对称点为，点为线段的中点，则ABC5D5已知点在基底，下的坐标为，6，其中，则点在基底，下的坐标为A，14，B，12，C，10，D，2，6已知直线的方向向量为，0，点，2，在上，则点，到的距离为AB4CD7已知，则的最小值为ABCD8如图，在正三棱柱中，点是侧棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为ABCD二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符
3、合题目要求的。全选对得5分，选对但不全得2分，有错误答案得0分）9下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是A两条不重合直线，的方向向量分别是，3，则B直线的方向向量，平面的法向量是，4，则C两个不同的平面，的法向量分别是，2，4，则D直线的方向向量，3，平面的法向量是，则10在菱形中，若是平面的法向量，则以下等式中一定成立的是ABCD11如图，正方体中，为中点，在线段上给出下列判断，其中正确的为A存在点使得平面B在平面内总存在与平面平行的直线C平面与平面所成的二面角（锐角）的大小与点的位置无关D三棱锥的体积与点的位置无关12正方体中，为底面的中点，为棱的中点，则下列结论中正
4、确的是A平面B平面C异面直线与所成的角等于D二面角的大小为第卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡上）13已知，若，则14已知点，的坐标分别为，1，0，1，点的坐标为，0，若，则点的坐标为15已知，若，三向量共面，则实数等于 16如图，在一个的二面角的棱上，有两个点、，、分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于的线段，且，则的长为四、解答题（本题共6小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把答案填在答题卡上）17如图所示，在三棱柱中，是中点，化简下列各式：（1）；（2）；（3）18已知向量，4，0，2，（1）若，求；（2）若，求的值19已知
5、长方体中，为侧面的中心，为的中点求下列向量的数量积：（1）；（2）20已知空间三点，0，1，0，设，（1）求和夹角的余弦值；（2）设，求的坐标21如图，在正方体中，为的中点（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值22如图，分别是圆台上、下底面的圆心，是下底面圆的直径，点是下底面内以为直径的圆上的一个动点（点不在上）（）求证：平面平面；（）若，求二面角的余弦值选择性必修第一册人教A版（2019）第一章空间向量与立体几何章末检测参考答案与试题解析一选择题（共8小题）1解：因为，所以，所以，并且，所以，的夹角为故选：2解：向量，不能构成空间的一个基底，向量，共面，因此，四点共面，故选：3解：如
6、图所示，又，故选：4解：点，3，关于平面的对称点为，点，1，关于轴对称点为，1，点为线段的中点，故选：5解：，点在，下的坐标为，14，故选：6解：根据题意，得；，3，0，；又，点，到直线的距离为，故选：7解：，故当时，有最小值等于，故选：8解：平面，与平面所成角为，而平面平面，设直线与平面所成角为，则与平面所成角的正弦值为：故选：二多选题（共4小题）9解：对于，两条不重合直线，的方向向量分别是，3，且，所以，选项正确；对于，直线的方向向量，平面的法向量是，4，且，所以或，判断选项错误；对于，两个不同的平面，的法向量分别是，2，4，且，所以，选项正确；对于，直线的方向向量，3，平面的法向量是，且
7、，所以，选项错误故选：10解：在菱形中，是平面的法向量，平面，对于，平面，故正确；对于，由菱形对角垂线垂直，即，由三垂线定理得与定垂直，故正确；对于，与不一定垂直，不一定成立，故错误；对于，平面，故正确故选：11解：对于，假设存在使得平面，则，又，平面，则，这与矛盾，故选项错误；对于，平面与平面相交，设交线为，在平面内与平行的直线平行于平面，故选项正确；对于，设平面与平面所成的二面角（锐角）的大小为，在平面内的射影面积不变，但随着点的移动，在发生变化，由可知，平面与平面所成的二面角（锐角）的大小与点的位置有关，故选项错误；对于，三棱锥的体积即为三棱锥的体积，平面，点在线段上移动时，到平面平面的
8、距离不变，故三棱锥的体积与点的位置无关，故选项正确故选：12解：连接，交于点，则，由平面，平面，所以平面，故选项正确；由三垂线定理的逆定理可得，设正方体的棱长为2，则，所以，故，由线面垂直的判定定理可得，平面，故选项正确；由正方体的面对角线相等，可得为正三角形，即，所以异面直线与所成的角为，故选项错误；为二面角的平面角，在中，不可能为，故选项错误故选：三填空题（共4小题）13解：，解得，显然，故答案为：14解：，解得故答案为15解：，三向量共面，解得，实数故答案为：416解：在一个的二面角的棱上，有两个点、，、分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于的线段，且，的长故答案为：四解答题（共6小题）
9、17解：（1）；（2）；（3）18解：（1），存在实数使得，可得：，解得；（2），解得，2，2，2，19解：建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得，0，0，4，0，0，4，2，（1）可得，4，4，故；（2）可得，2，0，故20解：（1），1，0，（2），设，存在实数使得，即，联立解得或，21解：（）由正方体的性质可知，中，且，四边形是平行四边形，又平面，平面，平面（）解法一：以为原点，、分别为、和轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，0，0，0，设平面的法向量为，则，即，令，则，设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为解法二：设正方体的棱长为，则，由余弦定理知，设点到平面的距离为，设直线与平面所成角为，则故直线与平面所成角的正弦值为22（）证明：由题意可得平面，为直径，平面，又平面，平面平面；（）解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，可得，2，0，设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，由，取，得；由，取，得由图可知二面角为钝角，二面角的余弦值为
