1、第三章 圆锥曲线的方程 单元测试卷一、单选题1已知为坐标原点，是椭圆：（）的左焦点，分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则椭圆的离心率为（ ）ABCD2直线l过双曲线的右焦点，斜率为2，若l与双曲线的两个交点分别在双曲线的左右两支上，则双曲线的离心率e的取值范围是（ ）ABCD3以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是（ ）ABCD4阿基米德是古希腊著名的数学家物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知在平面直角坐标系中，椭圆的面积为，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的
2、标准方程是（ ）ABCD5若用周长为24的矩形截某圆锥，所得截线是椭圆，且与矩形的四边相切设椭圆在平面直角坐标系中的方程为，若的离心率为，则椭圆的方程为（ ）ABCD6如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，准线与对称轴交于点，若，且，则此抛物线的方程为（ ）ABCD7古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，其面积为8，过点F1的直线l与椭圆C交于点A，B且F2AB的周长为32，则椭圆C的方程为（ ）ABCD8已知A，B，C是椭圆上不同的三点，且原点O是ABC的重心，若点C的坐标为，直
3、线AB的斜率为，则椭圆的离心率为（ ）ABCD二、多选题9已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上，直线平行于且在轴上的截距为，直线与椭圆交于，两个不同的点下列结论正确的是（ ）A椭圆的方程为BCD或10已知双曲线的左、右焦点分别为、，点为上的一点，且，则下列说法正确的是（ ）A双曲线的离心率为B双曲线的渐近线方程为C的周长为30D点在椭圆上11已知P是椭圆C：上的动点，Q是圆D：上的动点，则（ ）AC的焦距为BC的离心率为C圆D在C的内部D|PQ|的最小值为12已知抛物线，定点，点是抛物线上不同于顶点的动点，则的取值可以为（ ）ABCD三、填空题13已知双曲线：，点、为其两个焦点，点为双曲线上一点，
4、且满足，则的值为_.14已知椭圆：的右焦点为，直线经过椭圆的右焦点，交椭圆于，两点（点在第二象限）若点关于轴的对称点为，且满足，则直线的方程是_15已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上的点到焦点的距离为4，则实数的值为_16已知椭圆G：（）左、右焦点分别为，短轴的两个端点分别为，点P在椭圆C上，且满足，当m变化时，给出下列四个命题：点P的轨迹关于y轴对称；存在m使得椭圆C上满足条件的点P仅有两个；的最小值为2；最大值为，其中正确命题的序号是_四、解答题17已知抛物线：，坐标原点为，焦点为，直线：（1）若与只有一个公共点，求的值；（2）过点作斜率为的直线交抛物线于、两点，求的面积18已知
5、曲线C：x2y21和直线l：ykx1（1）若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；（2）若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且AOB的面积为，求实数k的值19设点是椭圆上的点，离心率（1）求椭圆的标准方程；（2）设，是椭圆上的两点，且（是定值），则线段的垂直平分线是否过定点？若是，求出此定点的坐标；若不是，请说明理由20如图，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，且是边长为2的等边三角形（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点的直线与椭圆交于，两点记，的面积分别为，若，求直线的斜率21在平面直角坐标系中，已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上且在第一象限内，直线与椭圆相交于
6、另一点.（1）求的周长；（2）在轴上任取一点，直线与椭圆的右准线相交于点，求的最小值；（3）设点在椭圆上，记与的面积分别为，若，求点的坐标.22如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，与的公共点为，其中的离心率为.（1）求，的值.（2）过点的直线与，分别交于点，（均异于点，），是否存在直线，使得以为直径的圆恰好过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.参考答案1A【解析】作图，由题意得、，设，由得，则，又由，得，则，由得，即，则，故选：A.2D【解析】双曲线中一条渐近线的斜率为，若过焦点且斜率为2的直线，与双曲线的左右两支有交点，则，即，即.故选：D3C【解析】双曲线的焦点为，顶点
7、为，所以椭圆的焦点坐标为，顶点为，所以， 所依椭圆的方程为.故选：C4A【解析】由题意得，解得，所以椭圆的标准方程是.故选：A5A【解析】解： 由已知得，即 ，由及，得 ，联立，解得，所以椭圆的方程为，故选：A6B【解析】由抛物线定义，等于到准线的距离，因为，所以，又，从而，又因为在抛物线上，代入抛物线方程，解得故抛物线方程为故选：B7B【解析】焦点F1，F2在y轴上，可设椭圆标准方程为，由题意可得，即，F2AB的周长为32，4a32，则a8，故椭圆方程为故选：B8B【解析】设的中点，因为原点O是ABC的重心，所以三点共线，所以，由于，所以，故选：B.9ABC【解析】解：由题意，得解得故椭圆的
8、方程为，A项正确；由于，故B项正确；因为直线的斜率，又在轴上的截距为，所以的方程为由得因为直线与椭圆交于，两个不同的点，所以，解得，故C项正确，D项错误故选：ABC10BCD【解析】双曲线化为标准形式为，则，故离心率，即A错误；双曲线的渐近线方程为，即，即B正确；由双曲线的定义知，则，的周长为，即C正确；对于椭圆，有，由椭圆的定义知，点在椭圆上，即D正确，故选：BCD.11BC【解析】由椭圆方程知：，故焦距为，故A错误；C的离心率，故B正确；由圆D的方程知：圆心，半径为，而且椭圆上的点到D的距离为，故圆D在C的内部，故C正确；设，则，而，又，可知，故，故D错误.故选：BC12AC【解析】如图所
9、示由图可知，当直线与抛物线相切时，最大设直线的方程为，则化简得令，解得，此时，所以故选：AC13【解析】，设，则，解得，所以.故答案为：14【解析】如图所示：椭圆：的右焦点为，由点关于轴的对称点为，且满足，所以，则， ，所以直线的方程是，即故答案为：.15【解析】由题可设抛物线的标准方程为，由点到焦点的距离为4，得，将点代入，得故答案为：.16【解析】由椭圆的对称性及，所以可得以，为焦点的椭圆为椭圆，则点 P 为椭圆与椭圆的交点，因为椭圆G的长轴顶点 ，短轴的绝对值小于，椭圆的长轴顶点，短轴的交点的横坐标的绝对值小于，所以两个椭圆的交点有4个，正确不正确，点 P 靠近坐标轴时（或），越大，点
10、P 远离坐标轴时，越小，易得时，取得最小值，此时两椭圆方程为：，两方程相加得，即的最小值为 2，正确；椭圆上的点到中心的距离小于等于a，由于点 P 不在坐标轴上，错误故答案为：17（1）1或0；（2）.【解析】解：（1）依题意消去得，即，当时，显然方程只有一个解，满足条件；当时，解得；综上，当或时直线与抛物线只有一个交点；（2）抛物线：，所以焦点，所以直线方程为，设，由，消去得，所以，所以，所以.18（1）；（2）0，【解析】（1）由，得(1k2)x22kx20直线与双曲线有两个不同的交点，解得，且，k的取值范围为（2）结合（1），设A(x1，y1)、B(x2，y2)则x1x2，x1x2，点O
11、到直线l的距离d，即，解得或，检验符合故实数k的值为0，19（1）；（2）过定点，定点坐标为【解析】解：（1）由于椭圆的离心率，所以，所以椭圆的标准方程为 将点的坐标代入椭圆的标准方程可得，解得，所以，因此，椭圆的标准方程为（2）当时，若直线的斜率存在，设直线的方程为，则由，得，所以，所以，所以，则线段的中心坐标为，所以线段的垂直平分线的方程为，即，即，此时，线段的垂直平分线过定点 若直线垂直于轴，则，两点关于轴对称，线段的垂直平分线为轴，过点当时，若直线关于坐标轴对称，则线段的垂直平分线为坐标轴，过原点；若直线关于原点对称，则线段的中点为原点，其垂直平分线过原点 综上所述，线段的垂直平分线过
12、定点20（1）；（2）【解析】解：（1）由题意，得，所以， 所以椭圆的方程为 （2）设点到直线的距离为因为，所以，即，所以 设，因为，所以，所以，即由，得， 所以直线的斜率21（1）；（2）最小值为；（3）或.【解析】（1）设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则，.所以的周长为.（2）椭圆的右准线为.设，则，在时取等号.所以的最小值为.（3）因为椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上且在第一象限内，则，所以直线.设，因为，所以点到直线距离等于点到直线距离的3倍.由此得，则或.由，得，此方程无解；由，得，所以或.代入直线，对应分别得或.因此点的坐标为或22（1），；（2）存在，方程为.【解析】（1）在，的方程中，令，可得，则，.设的半焦距为，由及，得，.（2）存在.由（1）知，上半椭圆的方程为.由题意知，直线与轴不重合也不垂直，设其方程为，代入的方程，整理得，.（*）设点的坐标为，直线过点，是方程（*）的一个根.由一元二次方程根与系数的关系得，从而，点的坐标为.同理，由，得点的坐标为，以为直径的圆恰好过点A，即.，解得.经检验，符合题意.故直线的方程为.
