1.1.2 空间向量的数量积-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册同步讲义（学生版+教师版）.rar

空间向量的数量积空间向量的数量积【要点梳理】【要点梳理】要点一、空间向量的数量积要点一、空间向量的数量积1两个向量的数量积两个向量的数量积已知两个非零向量 a、b，则|a|b|cosa，b叫做向量 a 与 b 的数量积，记作 ab，即 ab=|a|b|cosa，b 2空间向量数量积的性质空间向量数量积的性质设是非零向量，是单位向量，则；或；3空间向量的数量积满足如下运算律：空间向量的数量积满足如下运算律：（1） （a）b=（ab） ；（2）ab=ba（交换律） ；（3）a（b+c）=ab+ac（分配律） 要点诠释：要点诠释：（1）对于三个不为 0 的实数 a、b、c，若 ab=ac，则 b=c；对于三个不为 0 的向量，若不能得出，即向量不能约分e|cos,a ee aaa e 0aba b2|aa a |aa a cos,| | | |a ba bab| | | | |a baba ba c bc（2）若 ab=k，不能得出（或） ，就是说，向量不能进行除法运算（3）对于三个不为 0 的实数，a、b、c 有（ab）c=a（bc） ，对于三个不为 0 的向量 a、b、c，有，向量的数量积不满足结合律要点二、要点二、 空间两个向量的夹角空间两个向量的夹角1.定义：定义：已知两个非零向量 a、b，在空间任取一点 D，作，则AOB 叫做向量 a与 b 的夹角，记作a，b ，如下图。根据空间两个向量数量积的定义：ab=|a|b|cosa，b ，那么空间两个向量 a、b 的夹角的余弦。 要点诠释：要点诠释：1. 规定：2. 特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向；如果，那么与垂直，记作。2.利用空间向量求异面直线所成的角利用空间向量求异面直线所成的角异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。要点三、空间向量的长度。要点三、空间向量的长度。kabkba()()a bca b c OAa OBb cos,| |a ba bab ba,00,baabba,ab090,baabba 1.定义：定义：在空间两个向量的数量积中，特别地 aa=|a|a|cos0=|a|2，所以向量 a 的模：。将其推广：； 。要点四、空间向量的垂直。要点四、空间向量的垂直。若，则称 a 与 b 互相垂直，并记作 ab根据数量积的定义：0【典型例题】【典型例题】类型一：空间向量的数量积类型一：空间向量的数量积例例 1已知向量，向量与的夹角都是，且，试求： （1）； （2）2|aa222|()2ababaa bb 2222|()222abcabcabca bb cc a ,2a b abababc, a b 60| 1,| 2,| 3abc2(2)abc(32 ) (3 )abbc举一反三：举一反三：【变式1】设向量a与b互相垂直，向量c与它们构成的角都是60，且|a|=5，|b|=3，|c|=8，那么（a+3c）（3b-2a） ；（2a+b-3c）2= .【变式2】已知：, ，试计算例例 2.如右图，已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 a，点 E、F、G 分别是 AB、AD、DC 的中点，求下列向量的数量积 （1）； （2）； （3）； （4）0abc314|a|,|b|,|c|a bb cc a AB AC AD BD GF AC EF BC 举一反三：举一反三：【变式 1】正四面体 ABCD 的棱长为 2，点 E，F 分别为棱 BC，AD 的中点，则EF BA 的值为（ ）A.4 B.-4 C.-2 D.2类型二：利用空间向量的数量积求两向量的夹角类型二：利用空间向量的数量积求两向量的夹角例例 3. 如右图所示，已知 S 是边长为 1 的正三角形所在平面外一点，且 SA=SB=SC=1，M、N 分别是AB、SC 的中点，求异面直线 SM 与 BN 所成角的余弦值举一反三：举一反三：【变式 1】空间四边形 OABC 中，OB=OC，60AOBAOC ，则cos,OA BC （ ）A.12 B. 22 C. 12 D.0【变式2】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为D1C1的中点，试求A1C1与DE所成角的余弦值.类型三：利用空间向量的数量积求线段的长度。类型三：利用空间向量的数量积求线段的长度。例例 4、如图，已知空间四边形 ABCD 的各边和对角线的长都等于 a，点 M、N 分别是 AB、CD 的中点.（1）求证：MNAB，MNCD； （2）求 MN 的长；举一反三：举一反三：【变式 1】已知向量、两两之间的夹角都为 60，其模都为 1，则等于（ ）A B5 C6 D【变式 2】设，且，则向量的模是_。例例 5. 如图所示，在四面体 ABCD 中，BC=2，AC=3，AD=4，ADBC求 B、D 间的距离abc|2 |abc56ab,3 a c,6 b c| 1a| 2b| 3cabc7AB 13CD 举一反三：举一反三：【变式 1】已知在平行六面体中，AB=4，AD=3，AA=5，BAD=90，BAA=DAA=60，则 AC等于（ ）A85 B C D50【变式 2】在直二面角的棱上有两点 A、B，AC 和 BD 各在这个二面角的一个面内，并且都垂直于棱AB，设 AB=8cm，AC=6cm，BD=24cm，求 CD 的长。类型四：利用空间向量的数量积证垂直类型四：利用空间向量的数量积证垂直例例 6.已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a，点 M、N 分别是边 AB、CD 的中点.（1）求证：MN 为 AB 和 CD 的公垂线；（2）求 MN 的长；（3）求异面直线 AN 与 MC 所成角的余弦值。ABCDA B C D855 2举一反三：举一反三：【变式 1】在棱长为 1 的正方体中，分别是中点，在棱上，为的中点， 求证：； 求所成角的余弦； 求的长【变式 2】已知空间四边形 OABC 中，AOB=BOC=AOC，且 OA=OB=OC.M，N 分别是 OA，BC 的中点，G 是 MN 的中点；求证：OGBC.ABCDA B C D ,E F,D D DBGCD14CGCDHC GEFB C,EF C GFH空间向量的数量积空间向量的数量积【要点梳理】【要点梳理】要点一、空间向量的数量积要点一、空间向量的数量积1两个向量的数量积两个向量的数量积已知两个非零向量 a、b，则|a|b|cosa，b叫做向量 a 与 b 的数量积，记作 ab，即 ab=|a|b|cosa，b 2空间向量数量积的性质空间向量数量积的性质设是非零向量，是单位向量，则；或；3空间向量的数量积满足如下运算律：空间向量的数量积满足如下运算律：（1） （a）b=（ab） ；（2）ab=ba（交换律） ；（3）a（b+c）=ab+ac（分配律） 要点诠释：要点诠释：（1）对于三个不为 0 的实数 a、b、c，若 ab=ac，则 b=c；对于三个不为 0 的向量，若不能得出，即向量不能约分e|cos,a ee aaa e 0aba b2|aa a |aa a cos,| | | |a ba bab| | | | |a baba ba c bc（2）若 ab=k，不能得出（或） ，就是说，向量不能进行除法运算（3）对于三个不为 0 的实数，a、b、c 有（ab）c=a（bc） ，对于三个不为 0 的向量 a、b、c，有，向量的数量积不满足结合律要点二、要点二、 空间两个向量的夹角空间两个向量的夹角1.定义：定义：已知两个非零向量 a、b，在空间任取一点 D，作，则AOB 叫做向量 a与 b 的夹角，记作a，b ，如下图。根据空间两个向量数量积的定义：ab=|a|b|cosa，b ，那么空间两个向量 a、b 的夹角的余弦。 要点诠释：要点诠释：1. 规定：2. 特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向；如果，那么与垂直，记作。2.利用空间向量求异面直线所成的角利用空间向量求异面直线所成的角异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。要点三、空间向量的长度。要点三、空间向量的长度。kabkba()()a bca b c OAa OBb cos,| |a ba bab ba,00,baabba,ab090,baabba 1.定义：定义：在空间两个向量的数量积中，特别地 aa=|a|a|cos0=|a|2，所以向量 a 的模：。将其推广：； 。要点四、空间向量的垂直。要点四、空间向量的垂直。若，则称 a 与 b 互相垂直，并记作 ab根据数量积的定义：0【典型例题】【典型例题】类型一：空间向量的数量积类型一：空间向量的数量积例例 1已知向量，向量与的夹角都是，且，试求： （1）； （2）【解析】向量，向量与的夹角都是，且，（1）=1+16+9+0-3-12=11；2|aa222|()2ababaa bb 2222|()222abcabcabca bb cc a ,2a b abababc, a b 60| 1,| 2,| 3abc2(2)abc(32 ) (3 )abbcabc, a b 60| 1,| 2,| 3abc22231,4,9,0,cos60,cos6032abca ba cacbcbc2(2)abc222(2 )2224abcaba cbc（2）=0-8+18=举一反三：举一反三：【变式1】设向量a与b互相垂直，向量c与它们构成的角都是60，且|a|=5，|b|=3，|c|=8，那么（a+3c）（3b-2a） ；（2a+b-3c）2= .【答案】-62，373 （a+3c）（3b-2a）=3ab-2a2+9cb-6ac=3|a|b|cos90-2|a|2+9|c|b|cos60-6|a|c|cos60=-62. 同理可得（2a+b-3c）2=373【变式2】已知：, ，试计算【答案】由, 可得 ， 。例例 2.如右图，已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 a，点 E、F、G 分别是 AB、AD、DC 的中点，求下列向量的数量积(32 ) (3 )abbc2333223a bacbbc272720abc314|a|,|b|,|c|a bb cc a 0abc0abcabc（） （）2222220|a|b|c|a bb cc a 314|a|,|b|,|c|13a bb cc a （1）； （2）； （3）； （4）【解析】 在空间四边形 ABCD 中，（1），（2），（3），又，（4），举一反三：举一反三：【变式 1】正四面体 ABCD 的棱长为 2，点 E，F 分别为棱 BC，AD 的中点，则EF BA 的值为（ ）A.4 B.-4 C.-2 D.2【答案】C【解析】1122EFEAABBFDAABBC ,1122EF BADAABBCBA =21122AD ABABBC BA =222112 cos6022cos6022=-2.AB AC AD BD GF AC EF BC | |ABACa ,60AB AC 21cos602AB ACa aa |ADa|BDa ,60AD BD 221cos602AD BDaa 1|2GFa |ACa/GFAC ,GF AC 2211cos22GF ACaa 1|2EFa |BCa /EFBD ,60EF BCBD BC 2211cos6024EF BCaa 类型二：利用空间向量的数量积求两向量的夹角类型二：利用空间向量的数量积求两向量的夹角例例 3. 如右图所示，已知 S 是边长为 1 的正三角形所在平面外一点，且 SA=SB=SC=1，M、N 分别是AB、SC 的中点，求异面直线 SM 与 BN 所成角的余弦值 【解析】 设，则|a|=|b|=|c|=1，且 a、b、c 三个向量两两夹角均为 60， ，故所成角的余弦值为举一反三：举一反三：【变式 1】空间四边形 OABC 中，OB=OC，60AOBAOC ，则cos,OA BC （ ）A.12 B. 22 C. 12 D.0【答案】D 由于 OB=OC 则()cos,| | | |OA BCOA OCOBOA OCOA OBOA BCOABCOABCOABC =| |cos60| |cos60| |OAOCOAOBOABC =0SAaSBbSCc 12a bb ca c 1() ()2SM BNSASBSNSB 11()22abcb21 112 22a ca bb cb 1 11111112 222222 122cos,3| |3322SM BNSM BNSMBN 23【变式2】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为D1C1的中点，试求A1C1与DE所成角的余弦值.【解析】设正方体棱长为m，=a，=b，=c，则|a|=|b|=|c|=m，ab=bc=ca=0，又=+=+=a+b，=+=+=c+a，=(a+b)(c+a)=ac+bc+a2+ab=a2=m2.又|=m,|=m，cos=即A1C1与DE所成角的余弦值为.类型三：利用空间向量的数量积求线段的长度。类型三：利用空间向量的数量积求线段的长度。例例 4、如图，已知空间四边形 ABCD 的各边和对角线的长都等于 a，点 M、N 分别是 AB、CD 的中点.（1）求证：MNAB，MNCD； （2）求 MN 的长；【解析】 （1）证明 设=p, =q，=r.由题意可知：|p|=|q|=|r|=a，且 p、q、r 三向量两两夹角均为 60. =-=（+）-=（q+r-p） ，=（q+r-p）p=（qp+rp-p2）=（a2cos60+a2cos60-a2）=0.MNAB,同理可证 MNCD.（2）解 由（1）可知=（q+r-p）|2=2=（q+r-p）2=q2+r2+p2+2（qr-pq-rp） =a2+a2+a2+2（-）=2a2= |=a,MN 的长为a.ABAD1AA11CA11BA11CBABADDE1DDED11DD2111CD2111CADE212121212111CA2DE2511CADE|1111DECADECAmmm25221210101010ABACADMNANAM21ACAD21AB21MNAB212121MN21MNMN41414122a22a22a4122aMN2222举一反三：举一反三：【变式 1】已知向量、两两之间的夹角都为 60，其模都为 1，则等于（ ）A B5 C6 D【答案】A 【变式 2】设，且，则向量的模是_。【答案】，例例 5. 如图所示，在四面体 ABCD 中，BC=2，AC=3，AD=4，ADBC求 B、D 间的距离【解析】 在ABC 中，由余弦定理得：，ACB=60即， 同理可求得， 又 ADBC，abc|2 |abc562222(2 )4244 abcabca ba cb c1 142cos605 |2 |5abcab,3 a c,6 b c| 1a| 2b| 3cabc176 322|()abcabc222|2() abca ba cb c131492(0 1 32 3)176 322 |176 3abc7AB 13CD 2229471cos22 2 32ACBCABACBAC BC ,120BC CA ,120CA AD ,90BC AD 22222|()|222BDBCCAADBCCAADBC CACA ADBC AD =29+223cos120+234cos120+224cos90=11 举一反三：举一反三：【变式 1】已知在平行六面体中，AB=4，AD=3，AA=5，BAD=90，BAA=DAA=60，则 AC等于（ ）A85 B C D50【答案】B； =50+2(10+7.5)=85。【变式 2】在直二面角的棱上有两点 A、B，AC 和 BD 各在这个二面角的一个面内，并且都垂直于棱AB，设 AB=8cm，AC=6cm，BD=24cm，求 CD 的长。【答案】如图，依题有、两两垂直，。类型四：利用空间向量的数量积证垂直类型四：利用空间向量的数量积证垂直49 162 |cos,2| | cos,2|cos,BC CABC CACAADCA ADBCADBC AD 11BD ABCDA B C D855 222()ACABADAA 222|2()ABADAAAB ADAB AAAD AA ACAB BD 0CA AB 0CA BD 0AB BD 2|() ()CDCD CDCAABBDCAABBD 222222|6824676CAABBD 67626CD 例例 6.已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a，点 M、N 分别是边 AB、CD 的中点.（1）求证：MN 为 AB 和 CD 的公垂线；（2）求 MN 的长；（3）求异面直线 AN 与 MC 所成角的余弦值。【答案】如图，设，由题意，可知，且、三向量两两夹角均为 60（1）证明：，MNAB，同理可证 MNCD，MN 为 AB 与 CD 的公垂线（2）由（1）可知， ,MN 的长度为（3）设向量与的夹角为，AB pAC qAD r| | | apqrpqr111()()222MNANAMACADAB qrp211()()22MN AB qrppq pr pp2221(cos60cos60)02aaa1()2MN qrp2221|()()4MNMN qrp22212()4 qrpq rq pr p2222221(2()4222aaaaaa221242aa2|2MNa 22aANMC 11()()22ANACADqr12MCACAM qp11() ()22AN MC qrqp2111()222 qq pr qr p又，向量与的夹角余弦值为，从而异面直线 AN、MC 所成角的余弦值为举一反三：举一反三：【变式 1】在棱长为 1 的正方体中，分别是中点，在棱上，为的中点， 求证：； 求所成角的余弦； 求的长 【解析】设，则， ， （2）， ， ， ， ,2222111(cos60cos60cos60 )222aaaa222221()24242aaaaa3| |2ANMCa | | cosAN MCANMC 233cos222aaa2cos3ANMC 2323ABCDA B C D ,E F,D D DBGCD14CGCDHC GEFB C,EF C GFH,ABa ADb AAc 0a bbcca222222|1,|1,|1aabbcc111()()222EFEDDFcababc B CBCBBbc 1() ()2EFB Cabcbc 2211()(1 1)022cbEFB C111()()222EFEDDFcababc 14C GC CCGca 2211113() ()()24248EFC Gabccaac 22222113|()()444EFabcabc 22221117|()41616C Gcaca 3|2EF 17|4C G 51cos,17|EFC GEF C GEFC G （3） 的长为【变式 2】已知空间四边形 OABC 中，AOB=BOC=AOC，且 OA=OB=OC.M，N 分别是 OA，BC 的中点，G 是 MN 的中点；求证：OGBC.【解析】 连 ON 由线段中点公式得： 又,所以)=().因为.且，AOB=AOC.所以=0,即 OGBC.FHFBBCCCC H 11()22abbcC G111()()224abbcca 311822abcc2222231191141|()822644464FHabcabcFH418),(41)(212121)(21OCOBOAOCOBOAONOMOGOBOCBCOGOBOCOBOBOAOCOCOBOCOAOBOCOCOBOAOB22(41)()(4141OA22OBOCOBOAOCAOCOCOAOCOAcosAOBOBOAOBOAcosOAOBOCBCOG