3.3.1-3.3.2抛物线的方程与性质-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册同步讲义（学生版+教师版）.rar

抛物线的方程与性质抛物线的方程与性质【要点梳理】【要点梳理】要点一、抛物线的定义要点一、抛物线的定义定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线要点二、抛物线的标准方程要点二、抛物线的标准方程标准方程的推导标准方程的推导如图，以过 F 且垂直于 l 的直线为 x 轴,垂足为 K.以 F,K 的中点 O 为坐标原点建立直角坐标系 xoy.设|KF|=p(p0)，那么焦点 F 的坐标为(,0)2p，准线 l 的方程为2px .设点 M（x,y）是抛物线上任意一点，点 M 到 l 的距离为 d.由抛物线的定义，抛物线就是集合.将上式两边平方并化简，得22(0)ypx p 方程叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，坐标是(,0)2p它的准线方程是2px .抛物线标准方程的四种形式：抛物线标准方程的四种形式：根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式22ypx，22ypx ，22xpy，22xpy (0)p 要点三、抛物线的简单几何性质：要点三、抛物线的简单几何性质：抛物线标准方程抛物线标准方程22(0)ypx p的几何性质的几何性质|dMFMP. |2|)2(|,2|,)2(|2222pxypxpxdypxMF范围：范围：0 x x ，y yR，抛物线 y2=2px（p0）在 y 轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点 M 的坐标（x，y）的横坐标满足不等式 x0；当 x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.对称性：对称性：关于 x 轴对称抛物线 y2=2px（p0）关于 x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.抛物线只有一条对称轴顶点：顶点：坐标原点抛物线 y2=2px（p0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是（0，0）离心率：离心率：1e .抛物线 y2=2px（p0）上的点 M 到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率。用 e 表示，e=1。抛物线的通径抛物线的通径通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径。因为通过抛物线 y2=2px（p0）的焦点而垂直于 x 轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为,2pp，,2pp，所以抛物线的通径长为 2p；这就是抛物线标准方程中 2p 的一种几何意义。另一方面，由通径的定义我们还可以看出，P 刻画了抛物线开口的大小，P 值越大，开口越宽；P值越小，开口越窄抛物线标准方程几何性质的对比抛物线标准方程几何性质的对比图形标准方程y2=2px（p0）y2=2px（p0）x2=2py（p0）x2=2py（p0）顶点O（0，0）范围x0，yR x0，yRy0，xRy0，xR对称轴x 轴y 轴焦点,02pF,02pF0,2pF0,2pF离心率e=1准线方程2px 2px 2py 2py 焦半径0|2pMFx0|2pMFx0|2pMFy0|2pMFy【典型例题】【典型例题】类型一：抛物线的定义类型一：抛物线的定义例例 1.已知抛物线的焦点为（3，3），准线为 x 轴，求抛物线的方程。举一反三：举一反三：【变式】求适合下列条件的抛物线的标准方程：（1）过点(-2，3)；（2）焦点在直线 3x-4y-12=0 上；（3）准线过点(2，3)；（4）焦点在 y 轴上，抛物线上一点)3,(mM到焦点的距离等于 5。举一反三：举一反三：【变式 1】根据下列条件求抛物线的标准方程。（1）抛物线的焦点是双曲线22169144xy的左顶点；（2）经过点 A（2，3） ；（3）焦点在直线 x-2y-4=0 上；（4）抛物线焦点在 x 轴上，直线 y=-3 与抛物线交于点 A，AF=5.例例 2.平面上动点 P 到定点 F（1，0）的距离比 P 到 y 轴的距离大 1，求动点 P 的轨迹方程。类型二：抛物线的标准方程类型二：抛物线的标准方程例例 3求过点( 3,2)的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程.【解析】点( 3,2)在第二象限，抛物线开口方向上或者向左，当抛物线开口方向左时，设所求的抛物线方程为22ypx （0p ） ，过点( 3,2)，222( 3)p ，23p ，243yx ，当抛物线开口方向上时，设所求的抛物线方程为22xpy（0p ） ，过点( 3,2)，2322p，94p ，292xy，所求的抛物线的方程为243yx 或292xy，对应的准线方程分别是13x ，98y .举一反三：举一反三：【变式 1】已知抛物线关于 y 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点( 3, 2 3)M，求它的标准方程.【变式 2】抛物线的顶点在原点，对称轴是 x 轴，抛物线上的点(5,2 5)到焦点的距离是 6，则抛物线的方程为()Ay22x By24x Cy22x Dy24x 或 y236x类型三：抛物线的几何性质类型三：抛物线的几何性质例例 4.（1）写出抛物线214yx的焦点坐标、准线方程；（2）已知抛物线的焦点为(0, 2),F写出其标准方程；（3） 已知抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为 3，求抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程.举一反三：举一反三：【变式】已知抛物线的标准方程是26yx，求它的焦点坐标和准线方程例例 5.求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：（1）过点（3，2）的抛物线方程；（2）焦点在直线 x2y4=0 上【解析】 （1）设过点 M（3,2）的抛物线方程是22ypx或22xp y若抛物线方程是22ypx，把 M（3,2）代入可得424p，求得23p ，可得抛物线方程是243yx 若抛物线的方程为22xp y，把 M（3,2）代入可得922p，求得94p ，可得抛物线方程是292xy，故抛物线方程是243yx或292xy （2）令 x=0 得 y=2，令 y=0 得 x=4，抛物线的焦点为（4，0）或（0，2）当焦点为（4，0）时，2p=4，p=8，此时抛物线方程 y2=16x；焦点为（0，2）时，2p=2，p=4，此时抛物线方程为 x2=8y所求的抛物线的方程为 y2=16x 或 x2=8y，对应的准线方程分别是 x=4，y=2举一反三：举一反三：【变式 1】已知抛物线 y24x 的内接三角形 OAB 的一个顶点 O 在原点，三边上的高都过焦点，求三角形 OAB 的外接圆的方程【变式 2】如图过抛物线22(p0)ypx的焦点 F 的直线依次交抛物线及准线于点 A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=4，则抛物线的方程为（ ）A.28yx B. 24yx C. 22yx D. 2yx【变式 3】已知抛物线 C：y2=8x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若3FPFQ ，则|QF|=（ ）A83 B52 C5 D2【巩固练习】【巩固练习】一、一、选择题选择题1.直线 l 过抛物线22(p0)ypx的焦点，且与抛物线交于 A,B 两点，若线段 AB 的长是 8，AB 的中点到 y 轴的距离是 2，则此抛物线方程是（ ）A.212yx B.28yx C.26yx D.24yx2将抛物线24yx绕顶点逆时针方向旋转90后，所得抛物线的准线方程是（ ）A. 116y B. 116y C. 116x D. 116x 3抛物线22ypx过点(2,4)A，F是其焦点，又定点(8, 8)B，那么|:|AFBF （ ）A.1:4 B.1:2 C.2:5 D.3:84.如图，设抛物线 y2=4x 的焦点为 F，不经过焦点的直线上有三个不同的点 A，B，C，其中点 A，B 在抛物线上，点 C 在 y 轴上，则BCF 与ACF 的面积之比是（ ）A. B. C. D.5. 已知抛物线 y22px(p0)的准线与圆(x3)2y216 相切，则 p 的值为()A.12 B1 C2 D4二、填空题二、填空题6抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆 4x2y21 的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为 .11BFAF2211BFAF11BFAF2211BFAF7到点 A(1,0)和直线 x3 距离相等的点的轨迹方程是_8抛物线 y2=2px（p0）的焦点为 F，已知点 A，B 为抛物线上的两个动点，且满足AFB=90，过弦AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN，垂足为 N，则|MNAB 的最大值为 9 已知点 P 为抛物线 y2=2x 上的动点， 点 P 在 y 轴上的射影为 M， 点 A 的坐标为7( ,4)2A， 则|PA|+|PM|的最小值是_10圆心在第一象限，且半径为 1 的圆与抛物线 y22x 的准线和双曲线221169xy的渐近线都相切，则圆心的坐标是_三、解答题三、解答题11已知点 A(0，2)，B(0,4)，动点 P(x，y)满足PA PB y28.(1)求动点 P 的轨迹方程(2)设(1)中所求轨迹与直线 yx2 交于 C、D 两点求证：OCOD(O 为原点)12.如图，已知抛物线，圆 C2：x2+(y1)2=1，过点 P(t，0)（t0）作不过原点 O 的直线PA，PB 分别与抛物线 C1和圆 C2相切，A，B 为切点.(1)求点 A，B 的坐标；(2)求的面积. 211C4x：y=PAB抛物线的方程与性质抛物线的方程与性质【要点梳理】【要点梳理】要点一、抛物线的定义要点一、抛物线的定义定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线要点二、抛物线的标准方程要点二、抛物线的标准方程标准方程的推导标准方程的推导如图，以过 F 且垂直于 l 的直线为 x 轴,垂足为 K.以 F,K 的中点 O 为坐标原点建立直角坐标系 xoy.设|KF|=p(p0)，那么焦点 F 的坐标为(,0)2p，准线 l 的方程为2px .设点 M（x,y）是抛物线上任意一点，点 M 到 l 的距离为 d.由抛物线的定义，抛物线就是集合.将上式两边平方并化简，得22(0)ypx p 方程叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，坐标是(,0)2p它的准线方程是2px .抛物线标准方程的四种形式：抛物线标准方程的四种形式：根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式22ypx，22ypx ，22xpy，22xpy (0)p 要点三、抛物线的简单几何性质：要点三、抛物线的简单几何性质：抛物线标准方程抛物线标准方程22(0)ypx p的几何性质的几何性质|dMFMP. |2|)2(|,2|,)2(|2222pxypxpxdypxMF范围：范围：0 x x ，y yR，抛物线 y2=2px（p0）在 y 轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点 M 的坐标（x，y）的横坐标满足不等式 x0；当 x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.对称性：对称性：关于 x 轴对称抛物线 y2=2px（p0）关于 x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.抛物线只有一条对称轴顶点：顶点：坐标原点抛物线 y2=2px（p0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是（0，0）离心率：离心率：1e .抛物线 y2=2px（p0）上的点 M 到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率。用 e 表示，e=1。抛物线的通径抛物线的通径通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径。因为通过抛物线 y2=2px（p0）的焦点而垂直于 x 轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为,2pp，,2pp，所以抛物线的通径长为 2p；这就是抛物线标准方程中 2p 的一种几何意义。另一方面，由通径的定义我们还可以看出，P 刻画了抛物线开口的大小，P 值越大，开口越宽；P值越小，开口越窄抛物线标准方程几何性质的对比抛物线标准方程几何性质的对比图形标准方程y2=2px（p0）y2=2px（p0）x2=2py（p0）x2=2py（p0）顶点O（0，0）范围x0，yR x0，yRy0，xRy0，xR对称轴x 轴y 轴焦点,02pF,02pF0,2pF0,2pF离心率e=1准线方程2px 2px 2py 2py 焦半径0|2pMFx0|2pMFx0|2pMFy0|2pMFy【典型例题】【典型例题】类型一：抛物线的定义类型一：抛物线的定义例例 1.已知抛物线的焦点为（3，3），准线为 x 轴，求抛物线的方程。【解析】设 M（x，y）为抛物线上的任意一点，则由抛物线的定义，得22(3)(3)|xyy两边平方，整理得2136yxx所求抛物线的方程为2136yxx举一反三：举一反三：【变式】求适合下列条件的抛物线的标准方程：（1）过点(-2，3)；设 y2=2px，以(-2，3)代入，得2922xyp，xy292；设 x2=2py，以(-2，3)代入，得3422yxp，yx342。（2）焦点在直线 3x-4y-12=0 上；【答案】：若焦点为（4，0） ，则 y2=16x若焦点为（0，-3） ，则 x2=-12y（3）准线过点(2，3)；【答案】：准线为 x=2，则 y2= -8x准线为 y=3，则 x2= -12y（4）焦点在 y 轴上，抛物线上一点)3,(mM到焦点的距离等于 5。【答案】：设抛物线方程为 x2=-2py（p0） ，则点 M(m,-3)到准线的距离为 5，即5)3(2p，p=4，x2=-8y举一反三：举一反三：【变式 1】根据下列条件求抛物线的标准方程。（1）抛物线的焦点是双曲线22169144xy的左顶点；（2）经过点 A（2，3） ；（3）焦点在直线 x-2y-4=0 上；（4）抛物线焦点在 x 轴上，直线 y=-3 与抛物线交于点 A，AF=5.1.解： （1）双曲线方程可化为221916xy，左顶点是（-3，0）由题意设抛物线方程为22(0)ypx p 且32p ，p=6.方程为212yx （2）解法一：经过点 A（2，3）的抛物线可能有两种标准形式：y22px 或 x22py 点 A（2，3）坐标代入，即 94p，得 2p29点 A（2，3）坐标代入 x22py，即 46p，得 2p34所求抛物线的标准方程是 y229x 或 x234y解法二：由于 A（2，-3）在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为2ymx或2xny，代入 A 点坐标求得 m=29，n=-34，所求抛物线的标准方程是 y229x 或 x234y（3）令 x=0 得 y=2，令 y=0 得 x=4， 直线 x-2y-4=0 与坐标轴的交点为（0，-2） ， （4，0） 。焦点为（0，-2） ， （4，0） 。抛物线方程为28xy 或216yx。（4）设所求焦点在 x 轴上的抛物线方程为22(0)ypx p，A（m，-3） ，由抛物线定义得：p52AFm，又2( 3)2pm，1p 或9p ，故所求抛物线方程为22yx 或218yx 。例例 2.平面上动点 P 到定点 F（1，0）的距离比 P 到 y 轴的距离大 1，求动点 P 的轨迹方程。解法一：解法一：设 P 点的坐标为（x，y） ，则有22(1)| 1xyx，两边平方并化简得 y2=2x+2|x|。24 ,0,0,0,xxyx即点 P 的轨迹方程为 y2=4x（x0）或 y=0（x0） 。解法二：解法二：由题意，动点 P 到定点 F（1，0）的距离比到 y 轴的距离大 1，由于点 F（1，0）到 y 轴的距离为 1，故当 x0 时，直线 y=0 上的点适合条件；当 x0 时，原命题等价于点 P 到点 F（1，0）与到直线 x=1 的距离相等，故点 P 在以 F 为焦点，x=1 为准线的抛线物上，其轨迹方程为 y2=4x。故所求动点 P 的轨迹方程为 y2=4x（x0）或 y=1（x0） 。类型二：抛物线的标准方程类型二：抛物线的标准方程例例 3求过点( 3,2)的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程.【解析】点( 3,2)在第二象限，抛物线开口方向上或者向左，当抛物线开口方向左时，设所求的抛物线方程为22ypx （0p ） ，过点( 3,2)，222( 3)p ，23p ，243yx ，当抛物线开口方向上时，设所求的抛物线方程为22xpy（0p ） ，过点( 3,2)，2322p，94p ，292xy，所求的抛物线的方程为243yx 或292xy，对应的准线方程分别是13x ，98y .举一反三：举一反三：【变式 1】已知抛物线关于 y 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点( 3, 2 3)M，求它的标准方程.【答案】232xy .【变式 2】抛物线的顶点在原点，对称轴是 x 轴，抛物线上的点(5,2 5)到焦点的距离是 6，则抛物线的方程为()Ay22x By24x Cy22x Dy24x 或 y236x【答案】B类型三：抛物线的几何性质类型三：抛物线的几何性质例例 4.（1）写出抛物线214yx的焦点坐标、准线方程；（2）已知抛物线的焦点为(0, 2),F写出其标准方程；（3） 已知抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为 3，求抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程.【解析】 （1）抛物线214yx的标准方程为24xy，因为 2p=4，所以焦点坐标为（0，1） ，准线方程为1y .（2） 因为抛物线的焦点在 y 轴的负半轴上， 且2p=2， 所以4p ， 从而所求抛物线的标准方程为28xy .（3）由已知得3p ，所以所求抛物线标准方程为26yx，焦点坐标为3( ,0)2，准线方程为32x .举一反三：举一反三：【变式】已知抛物线的标准方程是26yx，求它的焦点坐标和准线方程【答案】因为 p=3，所以焦点坐标是3( ,0)2准线方程是32x 例例 5.求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：（1）过点（3，2）的抛物线方程；（2）焦点在直线 x2y4=0 上【解析】 （1）设过点 M（3,2）的抛物线方程是22ypx或22xp y若抛物线方程是22ypx，把 M（3,2）代入可得424p，求得23p ，可得抛物线方程是243yx 若抛物线的方程为22xp y，把 M（3,2）代入可得922p，求得94p ，可得抛物线方程是292xy，故抛物线方程是243yx或292xy （2）令 x=0 得 y=2，令 y=0 得 x=4，抛物线的焦点为（4，0）或（0，2）当焦点为（4，0）时，2p=4，p=8，此时抛物线方程 y2=16x；焦点为（0，2）时，2p=2，p=4，此时抛物线方程为 x2=8y所求的抛物线的方程为 y2=16x 或 x2=8y，对应的准线方程分别是 x=4，y=2举一反三：举一反三：【变式 1】已知抛物线 y24x 的内接三角形 OAB 的一个顶点 O 在原点，三边上的高都过焦点，求三角形 OAB 的外接圆的方程【答案】OAB 的三个顶点都在抛物线上，且三条高都过焦点，ABx 轴，故 A、B 关于 x 轴对称，设 A211(,)4yy，则 B211(,)4yy，又 F(1,0)，由 OABF 得，解得21y20，A(5,25)，B(5，25)，因外接圆过原点，且圆心在 x 轴上，故可设方程为：x2y2Dx0，把 A 点坐标代入得 D9，故所求圆的方程为 x2y29x0.【变式 2】如图过抛物线22(p0)ypx的焦点 F 的直线依次交抛物线及准线于点 A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=4，则抛物线的方程为（ ）A.28yx B. 24yx C. 22yx D. 2yx【解析】选 B，如图分别过点 A，B 作准线的垂线，分别交准线于点 E，D，设|BF|=a,则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=2a，故30BCD，在直角三角形 ACE 中，|AF| 4,|AC| 43a， 2|AE| |AC|，438a ，从而得4,3a / /FG,423,P23BDP因此抛物线的方程是24yx。【变式 3】已知抛物线 C：y2=8x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若3FPFQ ，则|QF|=（ ）A83 B52 C5 D2【答案】选 A，设 l 与 x 轴的交点为 M，过 Q 向准线 l 作垂线，垂足为 N，3FPFQ ，|2|3NQMF，又|MF|=p=4，8|3NQ ，|NQ|=|QF|，8|3QF 。【巩固练习】【巩固练习】一、一、选择题选择题1.直线 l 过抛物线22(p0)ypx的焦点，且与抛物线交于 A,B 两点，若线段 AB 的长是 8，AB 的中点到 y 轴的距离是 2，则此抛物线方程是（ ）A.212yx B.28yx C.26yx D.24yx1 【答案】B； 【解析】设1122( ,),B(,)A x yxy，根据抛物线定义：128xxp，AB的中点到 y 轴的距离是 2，1222xx，4p，抛物线方程为28yx 2将抛物线24yx绕顶点逆时针方向旋转90后，所得抛物线的准线方程是（ ）A. 116y B. 116y C. 116x D. 116x 2 【答案】D； 【解析】 抛物线214xy的焦点为1(0,)16，旋转后顶点为1(,0)16，准线为116x 3抛物线22ypx过点(2,4)A，F是其焦点，又定点(8, 8)B，那么|:|AFBF （ ）A.1:4 B.1:2 C.2:5 D.3:83 【答案】C； 【解析】将点(2,4)A的坐标代入22ypx，得4p ，抛物线方程为28yx，焦点(2,0)F，已知(8, 8)B，2222)08()28()04()22(|BFAF=521044.如图，设抛物线 y2=4x 的焦点为 F，不经过焦点的直线上有三个不同的点 A，B，C，其中点 A，B 在抛物线上，点 C 在 y 轴上，则BCF 与ACF 的面积之比是（ ）A. B. C. D.4. 【答案】A 【解析】5. 已知抛物线 y22px(p0)的准线与圆(x3)2y216 相切，则 p 的值为()A.12 B1 C2 D45.【答案】C【解析】抛物线 y22px(p0)的准线方程是 x2p，由题意知，32p4，p2二、填空题二、填空题6抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆 4x2y21 的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为 .6. 【答案】 3【解析】322pc，p3.7到点 A(1,0)和直线 x3 距离相等的点的轨迹方程是_7 【答案】y288x 【解析】设动点坐标为(x，y)，由题意得22(1)xy|x3|，化简得 y288x.8抛物线 y2=2px（p0）的焦点为 F，已知点 A，B 为抛物线上的两个动点，且满足AFB=90，过弦AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN，垂足为 N，则|MNAB 的最大值为 11BFAF2211BFAF11BFAF2211BFAF11AFBFxxACBCSSABACFBCF8. 【答案】22【解析】设|AF|=a，|BF|=b，由定义得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形 ABPQ 中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b，由勾股定理得，|AB|2=a2+b2配方得，|AB|2=(a+b)22ab，又2()2abab，222()2()2()2abababab，得到2|()2ABab，1()|222|2()2abMNABab ，即|MNAB 的最大值为229 已知点 P 为抛物线 y2=2x 上的动点， 点 P 在 y 轴上的射影为 M， 点 A 的坐标为7( ,4)2A， 则|PA|+|PM|的最小值是_9 【答案】92【解析】焦点1( ,0)2F，准线12x ，延长 PM 交准线于 H 点，则由抛物线的定义可得|PF|=|PH|，11| |22PMPHPF.1| |2PMPAPFPA，我们只有求出|PF|+|PA|最小值即可.由三角形两边长大于第三边可知，|PF|+|PA|FA|，当点 P 是线段 FA 和抛物线的交点时，|PF|+|PA|可取得最小值为|FA|，利用两点间的距离公式求得|FA|=5，则所求为19| 522PMPA10圆心在第一象限，且半径为 1 的圆与抛物线 y22x 的准线和双曲线221169xy的渐近线都相切，则圆心的坐标是_10.【解析】设圆心坐标为(a，b)，则 a0，b0.y22x 的准线为 x12，221169xy的渐近线方程为 3x4y0.由题意 a121，则 a12.|3a4b|5，解得 b138或 b78，圆心坐标为1 13( ,)2 8、1 7( , )2 8.三、解答题三、解答题11已知点 A(0，2)，B(0,4)，动点 P(x，y)满足PA PB y28.(1)求动点 P 的轨迹方程(2)设(1)中所求轨迹与直线 yx2 交于 C、D 两点求证：OCOD(O 为原点)11.【解析】(1)由题意可得PA PB (x，2y)(x,4y)y28，化简得 x22y(2)将 yx2 代入 x22y 中，得 x22(x2)，整理得 x22x40，可知 200设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，x1x22，x1x24y1x12，y2x22，y1y2(x12)(x22)x1x22(x1x2)44OC OD x1x2y1y20OCOD12.如图，已知抛物线，圆 C2：x2+(y1)2=1，过点 P(t，0)（t0）作不过原点 O 的直线PA，PB 分别与抛物线 C1和圆 C2相切，A，B 为切点.(1)求点 A，B 的坐标；(2)求的面积. 12. 解析： （1）由题意可知，直线 PA 的斜率存在，故可设直线 PA 的方程为 y=k(xt).所以2()14yk xtyx，消去 y，整理得：x24kx+4kt=0.211C4x：y=PAB因为直线 PA 与抛物线相切，所以 =16k216kt=0，解得 k=t.所以 x=2t，即点 A（2t，t2）.设圆 C2的圆心为 D（0，1） ，点 B 的坐标为（x0，y0） ，由题意知，点 B,O 关于直线 PD 对称，故有，解得.即点.(2)由(1)知，直线 AP 的方程为 txyt2=0，所以点 B 到直线 PA 的距离为.所以PAB 的面积为.00001220yxtx ty 2002222,11ttxytt22222(,)11ttBtt21APtt221tdt3122tSAP d