- 新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册高二上学期期末考试数学试题 (2).rar

2020-2021 学年度第一学期期末学业水平诊断2020-2021 学年度第一学期期末学业水平诊断高二数学高二数学注意事项：注意事项：1.本试题满分 150 分，考试时间为 120 分钟。2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上。 3.使用答题纸时，必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.数列2, 4,6, 8, L的通项公式可能是 A.( 1) 2nnan B.1( 1)2nnan C.( 1) 2nnna D.1( 1)2nnna 2.若抛物线2xmy过点1, 4，则该抛物线的焦点坐标为 A.1(0,)16B.1(,0)16C.( 1,0)D.(0, 1)3.与双曲线2214915xy有公共焦点且离心率为45的椭圆的标准方程为 A.2218016yxB.2218016xyC.22110036yxD.22110036xy4.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数.他们根据沙粒和石子所排列的形状把数分成许多类，如：三角形数1,3,6,10,L；正方形数1,4,9,16,L；等等.右图所示为五边形数，将五边形数按从小到大的顺序排列成数列，则此数列的第7项为 A.35 B.51 C.70 D.925. 设12,F F是 椭 圆22:193xyCmm的 焦 点 ， 若 椭 圆C上 存 在 一 点P满 足1290FPFo，则m的取值范围是A.,3B.3,3C.3,D.3,36.已知数列 na满足12a ，11,11,01nnnnnaaaaa ()nN，则2021a A.21B.2C.21D.27.如图是一水平放置的青花瓷.它的外形为单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，且其外形上下对称.若该花瓶的最小直径为12cm，瓶口直径为20cm，瓶高为30cm，则该双曲线的虚轴长为 A.458B.454C.452D.45 8.已知数列 na的通项公式为41()nannN，将数列 na中的整数从小到大排列得到新数列 nb，则 nb的前100项和为 A.9900B.10200C.10000D.11000二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。9.下列命题中正确的是A.双曲线221xy与直线20 xy有且只有一个公共点B.平面内满足| 2 (0)PAPBa a的动点P的轨迹为双曲线C.若方程22141xytt表示焦点在y轴上的双曲线，则4t D.过给定圆上一定点A作圆的动弦AB，则弦AB的中点P的轨迹为椭圆10.若数列 nF满足12121,1,(3,)nnnFFFFFnnN，则称 nF为斐波那契数列.记数列 nF的前n项和为nS，则A.26571FF FB.681SFC.135910FFFFFLD.2222123678FFFFF FL11.如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，12,A B B为椭圆的顶点，F为右焦点，延长2B F与1AB交于点P，若12B PB为钝角，则该椭圆的离心率可能为A.23B.12C.13D.14 12.已知数列11 21 2 31,1,1,1,23 34 4 4L，则 A.数列的第(1)2n n项均为1B.1213是数列的第90项C.数列前50项和为28D.数列前50项和为572三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13.已知等差数列 na的前n项和为*()nS nN，44a ，72a ，则nS的最大值为14.已知椭圆C:22221(0)xyabab的一个焦点与抛物线24yx的焦点重合，过点1 1(, )2 2M 且斜率为12的直线交椭圆C于, A B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的方程为15.已知nS为等比数列 na的前n项和，55S ，1015S，则1617181920aaaaa的值为16.汽车前照灯的反射镜为一个抛物面.它由抛物线沿它的对称轴旋转一周形成通常前照灯主要是由灯泡、反射镜和透镜三部分组成，其中灯泡位于抛物面的焦点上.由灯泡发出的光经抛物面反射镜反射后形成平行光束， 再经过透镜的折射等作用达到照亮路面的效果.如图，从灯泡发出的光线FP经抛物线22ypx反射后，沿PN平行射出， FPN的 角 平 分 线PM所 在 的 直 线 方 程 为2120 xy，则抛物线方程为四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10 分）从条件221ba，412ba， 22ba中任选一个补充在下面问题中，并解答.问题：已知数列 na的各项均为正数， nb为等比数列，221122nnnnaaaa， 111ab， ，求数列nna b的前n项和nS.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.（12 分）动点( , )M x y与定点1(5,0)F的距离和M到定直线9:5l x 的距离的比是常数53.（1）求动点M的轨迹方程；（2）设2( 5,0)F ，点P为M轨迹上一点，且1260FPFo，求12FPF的面积.19.（12 分）在购买住房、轿车等商品时，一次性付款可能会超出一些买主的支付能力，贷款消费不失为一种可行的选择，但是也要量入为出，理智消费.某家庭计划在2021年元旦从某银行贷款10万元购置一辆轿车， 贷款时间为18个月.该银行现提供了两种可选择的还款方案：方案一是以月利率0.4%的复利计息，每月底还款，每次还款金额相同；方案二是以季度利率1.2%的复利计息，每季度末还款，每次还款金额相同.（注：复利是指把前一期的利息与本金之和作为本金，再计算下一期的利息.）（1）分别计算选择方案一、方案二时，该家庭每次还款金额为多少万元？（结果精确到小数点后三位，参考数据：181.0041.0745，61.0121.0742.）（2）从每季度还款金额较少的角度看，该家庭应选择哪种方案？说明理由.20.（12 分）已知抛物线C的方程为28xy，点0,4M，过点M的直线交抛物线于,A B两点.（1）2211AMBM是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；（2）若点Q是直线:4l y 上的动点，且OQAB，求ABQ面积的最小值.21.（12 分）已知F是椭圆2222:1(0)xyCabab的一个焦点，点M在椭圆上，MFx轴，2MF ，椭圆的短轴长等于4.（1）求椭圆的标准方程；（2）设P为直线:3 2l x 上一点，Q为椭圆C上一点，且以PQ为直径的圆过坐标原点O，求2216OPOQ的取值范围.22.（12 分） 已知等比数列 na的前n项和为nS，426aa，53423SSS.数列 nb的前n项和为nT，且12b ，1(1)(1)nnnTnTn n.（1）分别求数列 na和 nb的通项公式；（2） 若(1)(1)(2)nnnSbcnn，nM为数列 nc的前n项和， 是否存在不同的正整数, ,p q r（其中, ,p q r成等差数列） ，使得2,2,2pqrMMM成等比数列？若存在，求出所有满足条件的, ,p q r的值；若不存在，说明理由. 高二数学参考答案（第1页，共5页） 20202020- -20212021 学年度第一学期期末学业水平诊断学年度第一学期期末学业水平诊断 高二数学参考答案及评分标准高二数学参考答案及评分标准 一、单选题一、单选题 B A D C B A C B 二、多选题二、多选题 9.AC 10.BC 11.BCD 12.ABD 三、填空题三、填空题 13.30 14.2212xy+= 15.40 16.24yx= 四、解答题四、解答题 17.解：由221122nnnnaaaa+=+可得，11()(2)0nnnnaaaa+=， 又10nnaa+，所以120nnaa+=，即12nnaa+=. 2 分 故1 2(1)21nann= +=. 4 分 若选，2212ba= =，212bqb=，故111 22nnnb= =， 5 分 此时 211 3 25 2(21) 2nnSn= + + +， 2321 23 25 2(21) 2nnSn= + + +. 7 分 两式相减得，2311 2 2222 (21) 2nnnSn= + + (32 ) 23nn=， 9 分 所以(23) 23nnSn=+. 10 分 若选，4121ba= ，3411bqb= ， 所以1q = ，故111 ( 1)( 1)nnnb= = ， 5 分 此时211 3 ( 1)5 ( 1)(21) ( 1)nnSn= + + + ， 231 3 ( 1)5 ( 1)(21) ( 1)nnSn= + + + ，7 分 两式相减得 23121 2 ( 1)( 1)( 1)( 1) (21) ( 1)nnnSn= + + + + 高二数学参考答案（第2页，共5页） ( 1)(21) ( 1)2 ( 1)nnnnn= = ， 9 分 所以1( 1)nnSn+= . 10 分 若选，223ba=，213bqb=，故111 33nnnb= =， 5 分 此时 211 3 3 5 3(21) 3nnSn= + + + 2331 3 3 35 3(21) 3nnSn= + + +. 7 分 两式相减得 23121 2 3 333 (21) 3nnnSn= + + (22 ) 32nn=， 9 分 所以(1) 31nnSn=+. 10 分 18.解： （1）设d是点M到直线l的距离， 则53MFd=，即()2255935xyx+=， 2 分 化简得 22169144xy=， 5 分 所以动点M的轨迹方程为221916xy=. 6 分 （2）由（1）知，动点M的轨迹是以12,F F为焦点的双曲线， 所以 12| 6PFPF=， 7 分 在12PFF中，由余弦定理得2221212122cos60PFPFPF PFFF+=，8 分 所以()22121212PFPFPF PFFF+=，整理得1264PF PF =， 10 分 所以1 212113sin606416 3222PF FSPF PF= =. 12 分 19.解： （1）若选择方案一，设该家庭每月应还款a万元，则 21718(1 0.004)(1 0.004)(1 0.004)10 (1 0.004)aaaa+=+， 3 分 即18181 1.004()10 1.0041 1.004a=， 4 分 高二数学参考答案（第3页，共5页） 解得18180.04 1.0040.5771.0041a=（万元） ， 5 分 若选择方案二，设该家庭每季度应还款b万元，则有 256(1 0.012)(1 0.012)(1 0.012)10 (1 0.012)bbbb+=+， 8 分 即661 1.012()10 1.0121 1.012b=， 9 分 解得660.12 1.0121.7371.0121b=（万元） ， 10 分 （2）因为0.577 3=1.731 1.737，所以该家庭应选择第一种方案. 12 分 20.解： （1）由题意知，直线AB斜率k存在，不妨设其方程为4ykx=+， 联立抛物线C的方程可得28320 xkx=， 设()()1122,A x yB xy，则12128 ,32xxk x x+= ， 1 分 所以211|AMkx=+， 221|BMkx=+， 2 分 所以()()2121222222222121221111(1)(1)(1)xxx xkxkxkx xAMBM+=+=+ 3 分 ()22264(1)116132kk+=+， 所以2211AMBM+是定值116. 5 分 （2）当直线AB的斜率为0时，()0, 4Q，又()()4 2,4 ,4 2,4AB ， 此时18 2 832 22ABQs= =. 7 分 当直线AB的斜率不为0时， ()222221212121148 12ABkxxkxxx xkk=+=+=+. 8 分 又因为OQAB，且直线AB的斜率不为0， 所以1:OQ yxk= ，即()4 , 4Qk ， 高二数学参考答案（第4页，共5页） 所以点Q到直线AB的距离22421kdk+=+， 9 分 此时()23222242118 12162221ABQkSAB OQkkkk+=+=+， 10 分 因为()3228k +，所以()3216232 2k +， 11 分 综上，ABQ面积的最小值为32 2. 12 分 21.解： （1）由已知22ba=，24b =， 2 分 解得2b =，2 2a =. 3 分 故椭圆的标准方程为22184xy+=. 4 分 （2）设()3 2,Pt，()11,Q x y，因为以PQ为直径的圆过坐标原点O， 所以0OP OQ =,即113 20 xty+=， 5 分 联立1122113 2028xtyxy+=+=，得2212836txt=+，21214436yt=+. 7 分 于是()22222221128144161816181636tOPOQtxytt+=+=+ 222223042304110361463636tttt=+=+， 9 分 96 14650= ， 11 分 当且仅当23648t +=，即2 3t = 时等号成立， 综上，221650OPOQ . 12 分 22.解:（1）由已知得54432()SSSS=，即542aa=，2q =， 又34211166aaa qa qa=， 所以11a =，故111 22nnna= =， 1 分 将1(1)(1)nnnTnTn n+=+两边同除以(1)n n+， 可得111nnTTnn+=+，即111nnTTnn+=+， 高二数学参考答案（第5页，共5页） 所以数列nTn是首项为121nTbn=、公差为1的等差数列， 所以2(1)1nTnnn=+=+，即(1)nTn n=+. 3 分 当2n 时，1(1)(1)2nnnbTTn nnnn=+=， 4 分 当1n =时，12b =，满足上式，故2nbn=. 5 分 （2）由（1）可知，1 2211 2nnnS=， 121(1)222(1)(2)(1)(2)21nnnnnnSbncnnnnnn+=+. 7 分 所以3243212222222223243212nnnnMnnn+=+=+， 故2222nnMn+=+. 8 分 假设存在不同的正整数, ,p q r，使得2,2,2pqrMMM+成等比数列， 则有2(2)(2)(2)qrpMMM+=+，即2222222()222qprqpr+=+， 即244222(2)(2)(2)qp rqpr+ +=+. 10 分 因为, ,p q r成等差数列，所以2qpr=+，代入上式可得，2qpr=. 联立22qprqpr=+=，可得pqr=，与, ,p q r为不同整数矛盾， 11 分 故不存在满足条件的, ,p q r使得2,2,2pqrMMM+成等比数列. 12 分