第二章 直线和圆的方程单元测试（一）-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册高二上学期.rar

第二章 直线和圆的方程 综合测试（一）第二章 直线和圆的方程 综合测试（一）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题 5 分，8 题共 40 分）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题 5 分，8 题共 40 分）1圆2) 1(22yx的圆心到直线3 xy的距离为（ ） 。A、1B、2C、2D、222若平面内两条平行线1l：02) 1(yax与2l：012yax间的距离为553，则实数a（ ） 。 A、2B、1C、1D、23过点) 30( ，P的直线l与圆C：4)3()2(22yx交于A、B两点，当30CAB时，直线l的斜率为（ ） 。 A、33B、33C、3D、34 （2021全国高三其他模拟（文） ）若圆22()(21)9x aya上有且仅有两个点到直线34120 xy的距离等于 2，则实数a的取值范围是（ ）A41,11B9,11C931 41,2,1111 11D921 41,1,1111 115 （2021江西省万载中学）直线:3250lxy，P m n,为直线l上动点，则221mn的最小值为（ ）A2 1313B3 1313C413D3136 （2021河南）已知0,0O，3,1P，14cos , 34sinQ，0,2，则OPQ面积的最大值为（ ）A4B5C5 3D8337 （2020浙江丽水月考） 已知圆22241:Cxyaa的圆心到直线20 xy的距离为2 2，则圆1C与圆222:2440Cxyxy的位置关系是（ ）A相交B内切C外切D相离8 （2020辽宁高二开学考试）过坐标原点O作圆22341xy的两条切线，切点为,A B，直线AB被圆截得弦AB的长度为( )A4 65B2 65C6D3 65二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，每题 5 分，4 题共 20 分）二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，每题 5 分，4 题共 20 分）9. 三条直线0 xy，0 xy，3xay构成三角形，则a的值不能为（ ）A1B2C1D210 （2021河北邯郸市高二期末）已知直线1:120la xay，2:110la xa y ，则（ ）A1l恒过点2, 2B若12ll/，则212a C若12ll，则21a D当01a时，2l不经过第三象限11已知直线l：01) 1(2yxaa，其中Ra，下列说法正确的是（ ） 。A、当1a时，直线l与直线0 yx垂直B、若直线l与直线0 yx平行，则0aC、直线l过定点) 10( ，D、当0a时，直线l在两坐标轴上的截距相等12瑞士著名数学家欧拉在 1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上。这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”。在平面直角坐标系中作ABC，4 ACAB，)31(，B、)24(，C，且其“欧拉线”与圆M：222)3(ryx相切，则下列结论正确的是（ ） 。A、圆M上点到直线03 yx的最小距离为22B、圆M上点到直线03 yx的最大距离为23C、若点)(yx，在圆M上，则yx3的最小值是223D、圆8)() 1(22ayax与圆M有公共点，则a的取值范围是221221 ，三、填空题（每题 5 分，4 题共 20 分）三、填空题（每题 5 分，4 题共 20 分）13 （2021黑龙江哈尔滨市）已知直线230 xy与圆C：22239xy相交于A ，B两点，则ABC面积为_.14 （2021福建省福州第一中学）写出一个关于直线10 xy 对称的圆的方程_.15 （2020浙江丽水月考）直线yxb被圆22114xy截得的弦长的最大值是_；若该圆上到此直线yxb的距离等于 1 的点有且仅有 4 个，则b的取值范围是_.16 （2020浙江丽水月考）已知( 3,0)A，(2,1)B，直线l过点(0, 1)P，若直线l与线段AB总有公共点，则直线l的斜率取值范围是_，倾斜角的取值范围是_.四、解答题（17 题 10 分，其余每题 12 分，7 题共 70 分）四、解答题（17 题 10 分，其余每题 12 分，7 题共 70 分）17 2020辽宁高二期中） （1）已知直线1:210lxmy 和2:110lmxy ，若12ll/，求实数m的值；（2）已知ABC的三个顶点2,0A ，2,0B，6,4C，求其外接圆H的标准方程.18已知直线 l 经过直线250 xy与20 xy的交点 M（）若 l 经过点(5,0)A，求 l 的方程；（）若直线 l 分别与 x 轴、y 轴的正半轴交于 A、B 两点，O 为原点，是否存在使ABO面积最小的直线 l？若存在，求出直线 l 方程；若不存在，请说明理由19已知两直线1l：08nymx和2l：012 myx，试确定m、n的值，使：（1）1l与2l相交于点) 1(，mP；（2）21/ll；（3）21ll ，且1l在y轴上的截距为1。20过点) 14( ，P作直线l分别交x、y轴正半轴于A、B两点。（1）当AOB面积最小时，求直线l的方程。（2）当|OBOA 取最小值时，求直线l的方程。21 （2021玉林市第十一中学）如图，已知圆O224xy，过点E(1，0)的直线l与圆相交于A，B两点.（1）当|AB|=15时，求直线l的方程；（2）已知D在圆O上，C(2，0)，且ABCD，求四边形ACBD面积的最大值.22 （2021重庆巴蜀中学）已知P为直线:40l xy上一动点，过点P向圆22:15Cxy作两切线，切点分别为A、B.（1）求四边形ACBP面积的最小值及此时点P的坐标；（2）直线AB是否过定点？若是，请求出该点坐标；若不是，请说明理由. 第二章 直线和圆的方程 综合测试（一）第二章 直线和圆的方程 综合测试（一）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题 5 分，8 题共 40 分）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题 5 分，8 题共 40 分）1圆2) 1(22yx的圆心到直线3 xy的距离为（ ） 。A、1B、2C、2D、22【答案】B【解析】圆心坐标为)01(，由点到直线的距离公式可知22|301|d，故选 B。2若平面内两条平行线1l：02) 1(yax与2l：012yax间的距离为553，则实数a（ ） 。 A、2B、1C、1D、2【答案】B【解析】21/ll，2) 1( aa，解得2a或1a，当2a时423d，当1a时553d，故选 B。3过点) 30( ，P的直线l与圆C：4)3()2(22yx交于A、B两点，当30CAB时，直线l的斜率为（ ） 。 A、33B、33C、3D、3【答案】A【解析】由题意得120ACB，则圆心) 32( ，C到直线l的距离为1，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为0 x，此时直线l与圆相切，不合题意，舍去，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为3 kxy，则11|2|1|332|22kkkk，解得33k，故选 A。4 （2021全国高三其他模拟（文） ）若圆22()(21)9x aya上有且仅有两个点到直线34120 xy的距离等于 2，则实数a的取值范围是（ ）A41,11B9,11C931 41,2,1111 11D921 41,1,1111 11【答案】D【解析】圆22()(21)9x aya的圆心坐标为,21aa，半径为 3圆心到直线的距离为：2234 21121116534aaa，又圆22()(21)9x aya上有且仅有两个点到直线34xy120的距离等于 2，所以1116325a，解得9111a或21411111a故选：D5 （2021江西省万载中学）直线:3250lxy，P m n,为直线l上动点，则221mn的最小值为（ ）A2 1313B3 1313C413D313【答案】C【解析】 由题意得 ：221mn表示P m n,到10 ，的距离的平方,而P m n,为直线l上动点,所以221mn的最小值，即为10 ，到直线:3250lxy距离的平方，即222312 054=133 +2 ，故选：C6 （2021河南）已知0,0O，3,1P，14cos , 34sinQ，0,2，则OPQ面积的最大值为（ ）A4B5C5 3D833【答案】B【解析】设点,QQQ xy，因为14cos34sinQQxy ，所以221316QQxy，Q点的轨迹是以1, 3M为圆心，4为半径的圆，又直线OP的方程为OPl：30 xy，22312OP ，圆心M到直线OP的距离22133113d ，所以Q到直线OP的距离最大值为145dr 则OPQ面积的最大值为12 552S .故选：B.7 （2020浙江丽水月考） 已知圆22241:Cxyaa的圆心到直线20 xy的距离为2 2，则圆1C与圆222:2440Cxyxy的位置关系是（ ）A相交B内切C外切D相离【答案】B【解析】圆22241:Cxyaa的圆心为20a，半径为2a.圆心到直线20 xy的距离为2220211ad2 2，解得22a .圆221:24Cxy的圆心为0,2A，半径为1r 2，圆222:2440Cxyxy的标准方程为：22x1y21，圆心坐标为1,2B，半径21r ，圆心距22120 1221drr ，两圆相内切，故选：B.8 （2020辽宁高二开学考试）过坐标原点O作圆22341xy的两条切线，切点为,A B，直线AB被圆截得弦AB的长度为( )A4 65B2 65C6D3 65【答案】A【解析】如图所示，设圆22341xy的圆心坐标为(3,4)M，半径为1r ，则22345OM ,251242 6OA ，则11222AOMABSOAMAOM，可得24 65OAMAABOM，故选 A. 二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，每题 5 分，4 题共 20 分）二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，每题 5 分，4 题共 20 分）9. 三条直线0 xy，0 xy，3xay构成三角形，则a的值不能为（ ）A1B2C1D2【答案】AC【分析】由三条直线可构成三角形可知，直线3xay不经过两条直线的交点，且与两条直线任意一条不平行.【详解】直线0 xy与0 xy都经过原点，而无论a为何值，直线3xay总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线3xay与另两条直线不平行，所以1a 故选：AC.10 （2021河北邯郸市高二期末）已知直线1:120la xay，2:110la xa y ，则（ ）A1l恒过点2, 2B若12ll/，则212a C若12ll，则21a D当01a时，2l不经过第三象限【答案】BD【分析】A.直线写成20a xyx，判断直线所过的定点；B.若两直线平行，则一定有21 1aaa；C.两直线垂直，根据公式有110a aaa；D.根据直线2l不经过第三象限，求实数a的取值范围.【详解】1:12020laxaya xyx，当020 xyx，即2,2xy ，即直线恒过点2,2，故 A 不正确；若12ll/，则有21 1aaa ，解得：212a ，故 B 正确；若12ll，则有110a aaa，得0a ，故 C 不正确；若直线2l不经过第三象限，则当10a时，101a，01aa ，解得：01a，当10a时，直线2:1lx ，也不过第三象限，综上可知：01a时，2l不经过第三象限，故 D 正确.故选：BD11已知直线l：01) 1(2yxaa，其中Ra，下列说法正确的是（ ） 。A、当1a时，直线l与直线0 yx垂直B、若直线l与直线0 yx平行，则0aC、直线l过定点) 10( ，D、当0a时，直线l在两坐标轴上的截距相等【答案】AC【解析】A 选项，当1a时，直线l的方程为01 yx，显然与0 yx垂直，正确，B 选项，若直线l与直线0 yx平行，可知) 1(1) 1() 1(2aa，解得0a或1a，不正确，C 选项，当0 x时，有1y，直线过定点) 10( ，正确；D 选项，当0a时，直线l的方程为01 yx，在两轴上的截距分别是1、1，不正确，故选 AC。12瑞士著名数学家欧拉在 1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上。这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”。在平面直角坐标系中作ABC，4 ACAB，)31(，B、)24(，C，且其“欧拉线”与圆M：222)3(ryx相切，则下列结论正确的是（ ） 。A、圆M上点到直线03 yx的最小距离为22B、圆M上点到直线03 yx的最大距离为23C、若点)(yx，在圆M上，则yx3的最小值是223D、圆8)() 1(22ayax与圆M有公共点，则a的取值范围是221221 ，【答案】ACD【解析】由ACAB 可得ABC外心、重心、垂心均在线段BC的垂直平分线上，即ABC的“欧拉线”即为线段BC的垂直平分线，由)31(，B、)24(，C可 得 线 段BC的 中 点 为)2123( ， 且 直 线 的BC的 斜 率14123BCk，线段BC的垂直平分线的斜率1k，线段BC的垂直平分线的方程为2321xy，即01 yx，又圆M：222)3(ryx的圆心为)03( ，半径为r，点)03( ，到直线01 yx的距离为r22| 13|，圆M：2)3(22yx，对于 A、B 选项，圆M的圆心)03( ，到直线03 yx的距离232|33|d， 圆 上 的 点 到 直 线03 yx的 最 小 距 离 为22223， 最 大 距 离 为24223，A 选项正确，B 选项错误，对于 C 选项，令yxz3即03zyx，当直线03zyx与圆M相切时，圆心)03( ，到直线的距离为22|3| z，解得223z或223z，则yx3的最小值是223，C 选项正确，对于 D 选项，圆8)() 1(22ayax圆心为)1(aa，半径为22，若该圆与圆M有公共点，则222)31(22222aa，即18)2(222aa，解得221221a，D 选项正确，故选 ACD。三、填空题（每题 5 分，4 题共 20 分）三、填空题（每题 5 分，4 题共 20 分）13 （2021黑龙江哈尔滨市）已知直线230 xy与圆C：22239xy相交于A ，B两点，则ABC面积为_.【答案】2 5【解析】圆C的圆心为2,3，半径3r ，圆心到直线230 xy的距离为26355d，所以2222 954ABrd，所以11452 522ABCSABd .故答案为：2 514 （2021福建省福州第一中学）写出一个关于直线10 xy 对称的圆的方程_.【答案】2211xy等，只要圆心在直线上均可.【解析】设圆心坐标为,C a b，因为圆C关于10 xy 对称，所以,C a b在直线10 xy 上，则10ab ，取10ab ，设圆的半径为 1，则圆的方程2211xy，故答案为：2211xy(不唯一)15 （2020浙江丽水月考）直线yxb被圆22114xy截得的弦长的最大值是_；若该圆上到此直线yxb的距离等于 1 的点有且仅有 4 个，则b的取值范围是_.【答案】4 2,2 【解析】因为圆22114xy的圆心为1,1，半径为2，所以当直线yxb过圆心时，截得的弦长最大，最大值为4；若要使该圆上到此直线yxb的距离等于 1 的点有且仅有 4 个，则圆心到直线的距离1 10,11 12bbd ，所以2,2b .故答案为：4；2,2.16 （2020浙江丽水月考）已知( 3,0)A，(2,1)B，直线l过点(0, 1)P，若直线l与线段AB总有公共点，则直线l的斜率取值范围是_，倾斜角的取值范围是_.【答案】3,13 ,6 4 【解析】如图，若直线l与线段AB总有公共点，则PAlPBkkk，( 3,0)A，(2,1)B， (0, 1)P，013330PAk ,11120PBk ,313lk，即3tan13，0,，64.故答案为：3,13；,6 4 .四、解答题（17 题 10 分，其余每题 12 分，7 题共 70 分）四、解答题（17 题 10 分，其余每题 12 分，7 题共 70 分）17 2020辽宁高二期中） （1）已知直线1:210lxmy 和2:110lmxy ，若12ll/，求实数m的值；（2）已知ABC的三个顶点2,0A ，2,0B，6,4C，求其外接圆H的标准方程.【答案】(1)2m ；(2)22640 xy【分析】(1)根据1/ /l2l得出两直线的斜率相同，解出 m 的值，再检验 m 的值；(2)设外接圆的标准方程为222()()xaybr，结合待定系数法求出 a、b、r 的值即可.【详解】(1)由题意，得直线1l的斜率12km，直线2l的斜率21km，因为1/ /l2l，所以12kk即21mm，解得 m=2 或 m=-1，当 m=2 时，1l：2210 xy ，2l：10 xy ，符合题意；当 m=-1 时，1l：210 xy ，2l：210 xy ，1l与2l重合，不符题意.故 m=2；(2)由题意，设ABC外接圆 H 的标准方程为222()()xaybr，因为点 A、B、C 都在外接圆 H 上，所以222222222( 2)()(2)()(6)(4)abrabrabr ，解得062 10abr，所以ABC外接圆 H 的标准方程为22(6)40 xy.18已知直线 l 经过直线250 xy与20 xy的交点 M（）若 l 经过点(5,0)A，求 l 的方程；（）若直线 l 分别与 x 轴、y 轴的正半轴交于 A、B 两点，O 为原点，是否存在使ABO面积最小的直线 l？若存在，求出直线 l 方程；若不存在，请说明理由【答案】 （）350 xy； （）240 xy【分析】（）求出两直线的交点 M，根据两点求出直线 l 的斜率，利用点斜式即可求解.（）设出直线 l 的截距式方程，表示出ABO的面积【详解】（）25020 xyxy，解得21xy，所以点2,1M，若 l 经过点(5,0)A，则直线l的斜率1 01253lk ，所以直线 l 的方程为1053yx ，整理可得350 xy.（）直线 l 分别与 x 轴、y 轴的正半轴交于 A、B 两点，不妨设直线 l 的方程为1xyab，即211ab，即212 112aba b，解得8ab ，当且仅当4,2ab时取等号. 所以142ABOSab，此时直线 l 方程为142xy，即240 xy.故存在使ABO面积最小的直线 l ，直线 l 方程为240 xy.19已知两直线1l：08nymx和2l：012 myx，试确定m、n的值，使：（1）1l与2l相交于点) 1(，mP；（2）21/ll；（3）21ll ，且1l在y轴上的截距为1。【解析】 （1）由题意知012082mmnm，解得1m，7n； （2）当0m时，显然1l不平行于2l， 当0m时，由182nmm得0) 1(80282mnm，24nm或24nm， 即4m、2n时或4m、2n时，21/ll； （3）当且仅当082mm，即0m时，21ll ，又18n，8n， 即0m，8n时，21ll ，且1l在y轴上的截距为1。 20过点) 14( ，P作直线l分别交x、y轴正半轴于A、B两点。（1）当AOB面积最小时，求直线l的方程。（2）当|OBOA 取最小值时，求直线l的方程。【解析】设直线l：1byax（0a，0b） ，直线l经过点) 14( ，P，114ba， （1）abbaba4142114，16ab，当且仅当8a，2b时等号成立，当8a，2b时，abSAOB21最小，此时直线l的方程为128yx，即084yx； （2）114ba，0a，0b，942545)14)(|abbaabbabababaOBOA，当且仅当6a，3b时等号成立，当|OBOA 取最小值时，直线l的方程为062yx。 21 （2021玉林市第十一中学）如图，已知圆O224xy，过点E(1，0)的直线l与圆相交于A，B两点.（1）当|AB|=15时，求直线l的方程；（2）已知D在圆O上，C(2，0)，且ABCD，求四边形ACBD面积的最大值.【答案】 （1）313yx ； （2）4 3【解析】 （1）1o当直线l的斜率不存在时，直线方程为1x ，此时222 212 3AB ，不符合题意；2o当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线l的方程为1yk x，所以圆心O到直线l的距离21kdk，因为15AB ，所以22152 41ABkk，解得33k ，所以直线l的方程为313yx （2）当直线AB与x轴垂直时，2 3AB ，4CD ，四边形ACBD的面积14 32SABCD，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB方程为(1)yk x，即kxyk0，则直线CD方程为1(2)yxk ，即20 xky，点O到直线AB的距离为2|1kk ，点O到直线CD的距离221k 2222|342 4()211kkABkk，222222 4()411kCDkk，则四边形ACBD面积222222221134(34)2442211(1)kkkkSAB CDkkk，令211kt （当0k 时，四边形ACBD不存在） ，22(31)(1)144 4(1)0,4 3ttStt，四边形ABCD面积S的最大值为4 322 （2021重庆巴蜀中学）已知P为直线:40l xy上一动点，过点P向圆22:15Cxy作两切线，切点分别为A、B.（1）求四边形ACBP面积的最小值及此时点P的坐标；（2）直线AB是否过定点？若是，请求出该点坐标；若不是，请说明理由.【答案】 （1）最小值5 62，3 5,2 2； （2）AB恒过定点0,1.【解析】 （1）由题意，易知CAPA，PACPBC，2ACPBACPSSAC AP又=5AC r ，2555ACPBSAPPC，要使四边形ACBP面积最小，则PC最小，当PCl时，PC的长最小.过点1,0C 且与l垂直的直线为011yxyx 将其与4yx联立解得此时点P的坐标为3 5,2 2，22min355 21222PC，min255 65522ACBPS；（2）设004,P xx，又1,0C ，则220014PCxx，PC中点坐标为001 4,22xx，因此以PC为直径的圆的方程为22222000044114242xxxxPCxy，整理得22000140 xyxxxyx，2PACPAB ，这个圆也是四边形ACBP的外接圆，它与圆C方程相减，得公共弦AB方程：0001440 xxxyx；01440 xxyxy，令1004401xyxxyy ，AB恒过定点0,1.