1、第一章第一章 统计案例统计案例1.4.1(1-2)高二数学选择性必修第一册 第一章空间向量与立体几何学习目标1.理解直线的方向向量和平面的法向量；2.能用向量方法解决线线、线面、面面平行的 有关问题;3.体会向量方法在研究几何问题中的作用.4.核心素养：逻辑推理、直观想象、数学运算。 从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用.立体几何问题(研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形)平面向量空间向量推广到研究向量渐渐成为重要工具一、引言二、回顾旧知1.共线向量定理/, (./,=0)a b baabb 对空间任意两个向量的充要条件是存在实数 ,使, ,pxayb
2、a bpa bx y 如果两个向量不共线 则向量 与向量 共面的充要条件是存在实数对使2.共面向量定理1.点的位置向量三、探究新知OPOPOPP 在空间中，我们取一点 作为基点，那么空间中任意一点的位置就可以用向量来表示.我们把向量称为点的位置向量.OPaABPl2.直线的向量参数方程.llAa 空间中任意一条直线 的位置可以由上一个定点 以及一个定方向 确定,.lPtAPtAB 对于直线 上的任一点存在实数 使得,(1).OPxOAyOBOOAtaxyP 此方程称为此方程称为直线的向量参数方程.这样这样点点A和向量和向量 不仅可以确定直线不仅可以确定直线 的位的位置，还可以具体写出置，还可以
3、具体写出 上的任意一点。上的任意一点。a ll5 9OC（0 0， ， ）021-231-035，四、巩固新知1.例1.(1, 2,3), (2,1, 3),.ABA B已知两点求连线与三个坐标平面的交点11,(0,:,)A ByozCy z设连线与平面的交点解(1)OCt OAtOB 由得11(0,)(1)(1, 2,3)(2,1, 3)y ztt11(0,)(1, 23 ,36 )y zttt 1+ =01,tt 由，得( , ,2 ),OQOP 解设：261610QA QB 4233QA QB 当时，取得最小值。448333Q （， ，此 时）2.变式练习.(1,2,3), (2,1,2
4、), (1,1,2),ABPQOPQA QBQ 已知两点点在上运动,求当取得最小值时,点的坐标. Pb a O 除此之外, 还可以用垂直于平面的直线的方向向量(这个平面的法向量)表示空间中平面的位置.n 3.平面的法向量. 空间中平面 的位置可以由 内两条相交直线来确定,( , ),Px y 对于平面 上的任一点存在有序实数对使得OPxayb ,.Oa b 这样，点 与向量不仅可以确定平面 ，还可以具体表示出 的任意一点n lA 如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ,记作 ，如果 ，那 么 向 量 叫做平面 的法向量. n n n n 给定一点A和一个向量 ,
5、那么过点A,以向量 为法向量的平面是完全确定的.n n 几点注意：1.法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互 相平行;3.向量 是平面的法向量，向 量 是与平面平行或在平面 内，则有0n m n m 3.平面的法向量 在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)AB, (0,0,2)C,试求平面 ABC 的一个法向量. (4,3,6)n 是是平面平面ABC的一个法向量的一个法向量. . 4.例2.设平面的法向量为设平面的法向量为( , , )nx y z 找出找出( (求出求出) )平面内的两个不共线的向量的平面内的两个不共线的向量的坐标坐标111222(,),(,)aa
6、 b cba b c 解解方程方程组组, ,取取其中其中的的一一个个解解, ,即即得得法法向向量量. . 5.如何求平面的法向量2 2 14 5 3( , , ),( , , ),ABACABC已已知知求求平平面面 的的单单位位 法法向向量量。平面平面ABC的的单位单位法向量法向量为为12 2(33 3 ，）或或1 22(3 33，）. . 6.变式 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4,BC=3,CC1=2DABC1C1A1B1Dxyz114,3,2, ,(3,2,0),(0,4,0),(3,0,2),(2)因为是的中点，所以的坐标为因此ABBCCCMABM C AM是AB的中点，
7、以D为原点，DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的坐标系.求（1）平面BCC1B1的法向量.（2）平面MCA1的法向量.M11111yn =(0,1,0).BB 解:(1)因为 轴垂直于平面BCC，所以平面BCC的一个法向量1( 3,2,0),(0, 2,2), MCMA2122122n( , , )n,n2n=-3x+2y=0,3n=-2y+2z=0y=z 设是平面的法向量，则所以所以x y zMCAMCMAMCxzMC213,x=2,y=3,n =(2,3,3)zMCA 取则于是平面的一个法向量。7.变式五、课堂小结 本节课主要是认识了直线的方向向量及平面的法向量的概
8、念,这两个向量是运用向量工具解决有关立体几何问题。 作业: 课本P41 习题1.4 1、2题 (第二课时)1.4.1(1-2) 因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系. 1.你能用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？ 2.你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小吗？思考:l11u 2u l2121212/ / /,lluuRuu 使得一、探究新知1.空间中两条直线平行的判定1212,.u ul l 设分别是直线的方向向量 lu
9、n /lnn0uu2.空间中直线与平面平行的判定 1n 3.空间中平面与平面平行的判定12,n n 分别是平面的法向量2121,/nnRnn使得2n 二、巩固新知 abP:, / / , / / .ababP ab已知如图./:求证1.例2: 证明:“平面与平面平行的判定定理” 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行. abP./,/,:baPbaba如图已知./:求证证明:,vuban的方向向量直线的法向量取平面uvn/,/ba0, 0vnun,Pbaba,.PQxuvRyQx y 对任意点存在使得()0n PQnxuyvxn uyn v 从而的法向量，也是平面向量n./
10、1.例2:1111,DCBAABCD在长方体如图上线段中CBCCBCAB11, 2, 3, 4,?/,11ACDPAP平面使得是否存在一点轴、所在直线分别为为坐标原点以xDDDCDAD1,xyz,yz轴、 轴 建立如图所示的空间直角坐标系D则解:1(3,0,0), (0,4,0),(0,0,2),ACD),2 , 0 , 3(),0 , 4 , 3(1ADAC1( , , ),nCyDxzA设是平面的法向量即则, 0, 01ADnACn340,320.xyxz xzxy2343, 6, 3, 4zyx则取) 6 , 3 , 4(n得由),2 , 4 , 3(),0 , 4 , 0(),2 ,
11、0 , 3(11BCA),2, 0 , 3(),0 , 4 , 0(111CBBA则设),10( ,11CBPB),2, 0 ,3(1PB),2, 4 ,3(1111PBBAPA，得令0121212, 01PAn,21,21,11CBPB即解得./,111ACDPACBP平面的中点时为2.例3:PADCBxyz1A1B1C1D证明:如图所示建立空间直角坐标系 Dxyz,则有D(0,0,0)，A(2,0,0)， C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)， F(0,0,1)，B1(2,2,2)，, 21111的棱长为已知正方体DCBAABCD 11,EFBBDD、 分别是、的中点1:
12、(1)/ /;FCADE求证平面),1 , 2 , 0(),1 , 2 , 0(1AEFC,1AEFC ,1ADEAEADEFC平面，平面又，;/1ADEFC平面,/1AEFC证法1.3变式:ADCBxyz1A1B1C1DFE 证明:如图所示建立空间直角坐标系 Dxyz,则有D(0,0,0)，A(2,0,0)， C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)， F(0,0,1)，B1(2,2,2)，, 21111的棱长为已知正方体DCBAABCD 11,EFBBDD、 分别是、的中点1:(1)/ /;FCADE求证平面),1 , 2 , 0(),1 , 2 , 0(1AEFC,1AEF
13、C ,1ADEAEADEFC平面，平面又，;/1ADEFC平面,/1AEFC证法1.3变式:ADCBxyz1A1B1C1DFE).1 , 2 , 0(),0 , 0 , 2(),1 , 2 , 0(1AEDAFC证法2.,),(1111的法向量是平面设ADEzyxn ,11AEnDAn则, 02, 0211111zyAEnxDAn即，11120,yzx解得, 2, 111zy则令),2 , 1, 0(1n02211nFC,11nFC ，平面又，ADEFC 1;/1ADEFC平面ADCBxyz1A1B1C1DFE 如图所示建立空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0)， A(2,0,0),C(0
14、,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2)，, 21111的棱长为已知正方体DCBAABCD 11,EFBBDD、 分别是、的中点11(2)/ /.ADEBC F求证： 平面平面 证明:如图所示建立空间直角坐标系Dxyz,则有D(0,0,0), A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2)，),0 , 0 , 2(),1 , 2 , 0(111BCFC222211(,),nxy zBC F 设是平面的法向量得由,11212BCnFCn, 02, 0221122212xBCnzyFCn2
15、2220,yzx解得, 2, 122zy则令),2 , 1, 0(2n,/21nn./11FCBADE平面平面3变式:ADCBxyz1A1B1C1DFE 总结：利用向量法解此类题的关键是建立适当的坐标系,求出平面的法向量,通过分析直线的方向向量、平面的法向量之间的关系进行证明.4.变式:，平面中四棱柱如图ABCDPAABCDP,145 ,90 ,2PBBADPABC与底面成的角为1,ADPDE 问在棱上是否存在一点使若不点的位置求出若存在平面;,?/EPABCE.,请说明理由存在xyz解:zyxAPADAB,为分别以,轴建立空间直角坐标系),0 , 2 , 0 (),0 , 1 , 1 (),
16、0 , 0 , 0 (DCA(0,0,1),(0,)PEy z设EPABCD解:轴建立空间直角为分别以zyxAPADAB,坐标系),1 , 0 , 0(),0 , 2 , 0(),0 , 1 , 1 (),0 , 0 , 0(PDCA), 0 (zyE设),1, 2 , 0(),1, 0(PDzyPE则，,/ PDPE, 0) 1(2) 1(zy) 1 (22zy即,)0 , 2 , 0(的法向量是平面PABAD ), 1, 1(zyCE又，平面由PABCE/,ADCE , 0)0 , 2 , 0(), 1, 1(zy) 2( 01y即21)2)(1 (z解得由,的中点是PDE./,PADCE
17、EPD平面使中点因此存在xyzEPABCD4.变式:，平面中四棱柱如图ABCDPAABCDP,145 ,90 ,2PBBADPABC与底面成的角为1,ADPDE 问在棱上是否存在一点使若不点的位置求出若存在平面;,?/EPABCE.,请说明理由存在解:zyxAPADAB,为分别以,轴建立空间直角坐标系),0 , 2 , 0 (),0 , 1 , 1 (),0 , 0 , 0 (DCA(0,0,1),(0,)PEy z设xyzEPABCD三、课堂小结1.空间中两条直线平行的判定212121,/uuRuull使得2.空间中直线与平面平行的判定0/nunul3.空间中平面与平面平行的判定2121,/nnRnn使得作业: 课本P41 习题1.4 4、12题
