1、3.1.1 椭圆及其标准方程引例: 若取一条长度一定且若取一条长度一定且没有弹性没有弹性的细绳，把它的两端的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子拉紧绳子，移动，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是什么图形？笔尖，这时笔尖画出的轨迹是什么图形？结论结论: : 平面内平面内到到一个定点一个定点的距离等于定长的距离等于定长的的 点的轨迹是圆点的轨迹是圆. .思考思考:平面内平面内到到两定点两定点 的距离之和等于定长的距离之和等于定长 的点的轨迹又是什么？的点的轨迹又是什么？结论结论: :平面内平面内到到两个定点两个定点的距离等于的距离等于定长定长的点
2、的轨迹是的点的轨迹是 椭圆椭圆. . 若将细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板上若将细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板上不同的两点不同的两点F1、F2处，并用笔尖拉紧绳子，再移动笔尖处，并用笔尖拉紧绳子，再移动笔尖一周，这时笔尖画出的轨迹是什么图形呢？一周，这时笔尖画出的轨迹是什么图形呢？ 探究1: 若若细绳长不变细绳长不变, 两定点的两定点的距离逐步拉大距离逐步拉大,则该轨迹则该轨迹 有何变化有何变化？探究2:结论结论: :平面内平面内到到两个定点两个定点的距离等于的距离等于定长定长的点的轨迹是的点的轨迹是 椭圆椭圆. . 若将细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板上若将细绳的两端拉开
3、一段距离，分别固定在图板上不同的两点不同的两点F1、F2处，并用笔尖拉紧绳子，再移动笔尖处，并用笔尖拉紧绳子，再移动笔尖一周，这时笔尖画出的轨迹是什么图形呢？一周，这时笔尖画出的轨迹是什么图形呢？ 探究1: 若若细绳长不变细绳长不变, 两定点的两定点的距离逐步拉大距离逐步拉大,则该轨迹则该轨迹 有何变化有何变化？探究2:结论：结论：绳长记为绳长记为2a，两定点间的，两定点间的距离记为距离记为2c(c0).（1）当）当2a2c时，轨迹是时，轨迹是 ；（2）当）当2a=2c时，轨迹是时，轨迹是 ； （3）当）当2a22c) )的的动点动点M M的轨迹方程的轨迹方程。解：解：以以F1F2所在直线为所
4、在直线为x轴，线段轴，线段F1F2的垂直平分线为的垂直平分线为y轴轴建立直角坐标系，建立直角坐标系，(-c,0)(c,0)(x,y)设设M（x,y)为所求轨迹上的任意一点，为所求轨迹上的任意一点，则椭圆就是集合则椭圆就是集合P=M|MF1|+ |MF2|=2aaycxycx2)()(2222 即即2222)(2)(ycxaycx 如何化简如何化简?则焦点则焦点F1、F2的坐标分别为的坐标分别为(-c,0)、(c,0)。问题问题: 求曲线方程的基本步骤？求曲线方程的基本步骤？（1）建系设点）建系设点;（2）写出条件；）写出条件；（3）列出方程；）列出方程；（4）化简方程；）化简方程；（5）下结论
5、。）下结论。OxyF1F2M(-c,0)(c,0)(x,y)整理，得整理，得 (a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)2a2c0，即，即ac0，a2-c20，(ab0)2222)(2)(ycxaycx 2222222)()(44)(ycxycxaaycx 则则222)(ycxacxa 整理得整理得2222222222422yacacxaxaxccxaa 两边平方得：两边平方得：两边同除以两边同除以a2(a2-c2)得得:122222 cayaxP,| ,|2121cOFOFaPFPF 可可得得22|caPO 22|caPOb 令令那么那么式式12222 byax大小关系？大小关系？判断
6、判断cba,如图点如图点P是椭圆与是椭圆与y轴正半轴的交点轴正半轴的交点你能在图中找出你能在图中找出表示表示a，c， ， 的线段吗？的线段吗？22acOxyF1F2MOxyF1F2M椭圆的标准方程22221(0)ybbxaa22221(0)xbbyaa222cab这里222cab这里)0 ,(),0 ,(21cFcF 焦点焦点), 0(), 0(21cFcF 焦点焦点例题:1. .已知椭圆方程为已知椭圆方程为 ,则则(1)a= , b= , c= ; (2)焦点在焦点在 轴上轴上,其焦点坐标为其焦点坐标为 , 焦距为焦距为 。 (3)(3)若椭圆方程为若椭圆方程为 , , 其焦点坐标为其焦点坐
7、标为 . . 2212516xy 543(-3,0)、(3,0)6x1251622 yx(0,3)、(0,-3) (4)已知椭圆上一点已知椭圆上一点 P到左焦点到左焦点F1的距离等于的距离等于6， 则点则点P到右焦点的距离是到右焦点的距离是 ； (5)若若CD为过左焦点为过左焦点F1的弦，的弦， 则则CF1F2的周长为的周长为 ， F2CD的周长为的周长为 。 1.已知椭圆方程为已知椭圆方程为 ,F1F2CD416202212516xy Oxy2.(2.(课本例课本例1)1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(-2,0), (2,0), (2,0), 并且经
8、过点并且经过点 , , 求它的求它的标准方程标准方程. .53(,)22 解法一解法一: :因为椭圆的因为椭圆的焦点在焦点在x轴上轴上, ,所以设它的标准方程为所以设它的标准方程为).0( 12222 babyax由椭圆的定义知由椭圆的定义知102)23()225()23()225(22222 a所以所以.10 a又因为又因为 , ,所以所以2 c. 6410222 cab因此因此, , 所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为. 161022 yx2.(2.(课本例课本例1)1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2(-2,0),), (2,0), (2,0), 并且
9、经过点并且经过点 , , 求它的标准方程求它的标准方程. .)23,25(解法二解法二: :因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在x x轴上轴上, ,所以设它的标准方程为所以设它的标准方程为).0( 12222 babyax)0 , 2(),0 , 2( 焦点的坐标分别是焦点的坐标分别是又又2 c422 ba1)()(22232225 ba又由已知又由已知联立联立,61022 ba，解得解得因此因此, , 所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为. 161022 yx求椭圆标准方程的解题步骤：求椭圆标准方程的解题步骤：（1）确定焦点的位置；）确定焦点的位置；（2）设出椭圆的标准方程；）设出椭圆的标准
10、方程；（3）用待定系数法确定）用待定系数法确定a、b的值，的值， 写出椭圆的标准方程写出椭圆的标准方程.42225500aa巩固练习1、动点、动点P到两定点到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是的距离和是7，则，则 动点动点P的轨迹为（的轨迹为（ ）变式：（1）动点）动点P到两定点到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是的距离和是8，则，则 动点动点P的轨迹为（的轨迹为（ ）（2）动点）动点P到两定点到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是的距离和是9，则，则 动点动点P的轨迹为（的轨迹为（ ）A.椭圆椭圆 B.线段线段F1F2 C.直线直线F1F2 D.无轨迹
11、无轨迹DBA小结:(1)(1)椭圆的定义 平面上到两个定点的距离的和等于定长平面上到两个定点的距离的和等于定长2a (大于大于2c)的点的轨迹叫的点的轨迹叫椭圆椭圆。 定点定点F1、F2叫做椭圆的叫做椭圆的焦点焦点。 两焦点之间的距离叫做两焦点之间的距离叫做焦距焦距（2c）。）。(2)(2)椭圆的两种标准方程 yoF1F2Mxy xoF2F1M22221 0yxabab 定定 义义图图 形形标准方程标准方程焦点及位置焦点及位置 判定判定a,b,c之间之间的关系的关系|MF1|+|MF2|=2a22221 0 xyabab )0 ,(),0 ,(21cFcF 焦点焦点), 0(), 0(21cFcF 焦点焦点222cba 作业:P109 2
