1、江西省九校2021-2022学年高二上学期期中联考数学学科试卷（理科）第I卷（选择题）一、单选题(本大题共12个小题，每题5分，共60分)1在空间直角坐标系中，点关于原点O的对称点的坐标为（ ）ABCD2某企业有职工150人，中高级职称15人，中级职称45人，一般职员90人，现抽取30人进行分层抽样，则各职称人数分别为（ ）A5，10，15B5，9，16C3，10，17D3，9，183在正方体中，下列直线与成60角的是（ ）ABCD4下列结论正确的是（ ）A各个面都是三角形的几何体是三棱锥B以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C棱锥的侧棱长与底面多边
2、形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线5如图，在正方体中，E是棱的中点，则过三点A、D1、E的截面过（ ）AAB中点BBC中点CCD中点DBB1中点年份年份代码年销量/万斤6山竹，原产地在印度尼西亚东北部岛屿的一组群岛马鲁古，具有清热泻火生津止渴的功效，被誉为夏季的“水果之王”，受到广大市民的喜爱.现统计出某水果经销商近年的山竹销售情况，如下表所示.根据表中的数据用最小二乘法求得关于的线性回归方程为，若年的年份代码为，则可以预测年该经销商的山竹销量大约为（ ）A万斤B万斤C万斤D万斤7已知空间向量，则下列结论错误的是（ ）AB C D与夹角的余弦值为
3、8已知圆台的上下底面的半径分别为3，4，母线长为，若该圆台的上下底面圆周均在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）A50B100C150D2009已知为三条不同的直线，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A若，则 B若且，则C，则 D若且，则10已知一个几何体的三视图如图所示，若正（主）视图（等腰三角形）与俯视图（半圆加等腰三角形）的面积分别为，则该几何体的体积为（ ） 第10题 第11题ABCD11运行下图所示的算法框图，若输出结果为，则判断框中应该填的条件是（ ）Ak1009Bk1010 Ck1011 Dk101212已知球O的半径为2，三棱锥PABC四个顶点都在球O上，球心O在平面A
4、BC内，ABC是正三角形，则三棱锥PABC的最大体积为（ ）A3B2CD3第II卷（非选择题）二、填空题(本大题4个小题，每题5分，共20分)13已知平均数为a，标准差是b，则的平均数是_，标准差是_14已知平面的法向量为，点在平面内，若点到平面的距离为，则_.15已知正三棱锥的底面是边长为的等边三角形，若一个半径为的球与此三棱锥所有面都相切，则该三棱锥的侧面积为_.16在棱长为1的正方体中，点是对角线上的动点（点与不重合），则下列结论正确的是_.存在点，使得平面平面；存在点，使得平面；的面积不可能等于；若分别是在平面与平面的正投影的面积，则存在点，使得.三、解答题(本大题共6个小题，共70分
5、)17(本题10分)如图所示，在空间四边形中，分别为，的中点，分别在，上，且求证：（1）、四点共面；（2）与的交点在直线上18在四棱锥PABCD中，ABC=ACD=90，BAC=CAD=60，PA平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2求：（1）求四棱锥PABCD的体积V；（2）若F为PC的中点，求证PC平面AEF19(本题12分)抚州市为了了解学生的体能情况，从全市所有高一学生中按80：1的比例随机抽取200人进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，分为组画出频率分布直方图如图所示，现一，二两组数据丢失，但知道第二组的频率是第一组的3倍（1）若次数在以上含次为优秀，试估计全市高一学生
6、的优秀率是多少？全市优秀学生的人数约为多少？（2）求第一组、第二小组的频率是多少？并补齐频率分布直方图；（3）估计该全市高一学生跳绳次数的中位数和平均数？20(本题12分)如图，四边形ABCD是正方形，四边形BEDF是菱形，平面平面.（1）证明：；（2）若，且平面平面BEDF，求平面ADE与平面CDF所成的二面角的正弦值.21(本题12分)某保险公司根据官方公布的历年营业收入，制成表格如下：表1年份2011201220132014201520162017201820192020年份序号x12345678910营业收入y（亿元）0.529.3633.61323525719121207168221
7、35由表1，得到下面的散点图：根据已有的函数知识，某同学选用二次函数模型（b和a是待定参数）来拟合y和x的关系.这时，可以对年份序号做变换，即令，得，由表1可得变换后的数据见表2.表2t149162536496481100y0.529.3633.6132352571912120716822135（1）根据表中数据，建立y关于t的回归方程（系数精确到个位数）；（2）根据（1）中得到的回归方程估计2021年的营业收入，以及营业收入首次超过4000亿元的年份.附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.参考数据：.22(本题12分)如图，在三棱柱中，平面，.（1）求证：平面；（2
8、）点M在线段上，且，试问在线段上是否存在一点N，满足平面，若存在求的值，若不存在，请说明理由？数学（理科）答案1B 2D 3B 4D 5B 6A 7B 8B 9D 10A 11B 12B1314-1或-111516如图当是中点时，可知也是中点且，所以平面，所以，同理可知，且，所以平面，又平面，所以平面平面，故正确；如图取靠近的一个三等分点记为，记，因为，所以，所以为靠近的一个三等分点，则为中点，又为中点，所以，且，所以平面平面，且平面，所以平面，故正确；如图作，在中根据等面积得：，根据对称性可知：，又，所以是等腰三角形，则，故错误；如图设，在平面内的正投影为，在平面内的正投影为，所以，当时，解
9、得：，故正确.故填：.17（1）证明见解析；（2）证明见解析证明（1）， -1分，分别为，的中点， -3分，四点共面 -5分（2），不是，的中点，且，故为梯形与必相交，设交点为， -6分平面，平面，平面，且平面， -8分，即与的交点在直线上 -10分18(1)(2)见解析.试题解析：（1）在中，.在中, -2分 -4分.则. -6分（2），为的中点，.平面. -8分平面.为中点，为为中点，则. -10分平面. -12分考点：四棱锥的体积公式；直线与平面垂直的判定与证明.19（1）8640；（2）第一组频率为，第二组频率为频率分布直方图见解析；（3）中位数为，均值为121.9（1）由频率分布直方
10、图，分数在120分以上的频率为，因此优秀学生有（人）； -4分（2）设第一组频率为，则第二组频率为，所以，第一组频率为，第二组频率为 -6分频率分布直方图如下： -8分（3）前3组数据的频率和为，中位数在第四组，设中位数为，则， -10分均值为-12分20（1）证明见解析；（2）.（1）证明：如图，连接交于点，连接四边形为正方形，且为的中点又四边形为菱形， -2分平面平面 -4分又平面OAE -6分（2）解：如图，建立空间直角坐标系，不妨设，则，则由（1）得又平面平面，平面平面，平面ABCD，故，同理， -8分设为平面的法向量，为平面的法向量，则故可取，同理故可取， -10分所以设平面与平面所
11、成的二面角为，则，所以平面与平面所成的二面角的正弦值为 -12分21（1）；（2）估计2021年的营业收入约为2518亿元，估计营业收入首次超过4000亿元的年份为2024年.（1）， -3分， -5分故回归方程为. -6分（2）2021年对应的t的值为121，营业收入，所以估计2021年的营业收入约为2518亿元. -8分依题意有，解得，故.因为， -10分所以估计营业收入首次超过4000亿元的年份序号为14，即2024年.-12分22（1）证明见解析；（2）存在，的值为.（1）在三棱柱中，平面ABC，.， -2分平面，平面， -4分，平面. -5分（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图， 所以， -7分设平面的法向量，则，取，得， -8分点M在线段上，且，点N在线段上，设，设，则，即，解得， -10分，解得.的值为. -12分
