1、第第2 2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析l 重点重点：1.1.线性系统完全响应的求解线性系统完全响应的求解2.2.冲激响应冲激响应h h( (t t) )的求解的求解3.3.卷积的图解说明卷积的图解说明4.4.卷积的性质卷积的性质5.5.零状态响应零状态响应= =f f( (t t) )* * h h( (t t) )2.1 2.1 连续时间系统连续时间系统(LTI)(LTI)的数学模型的数学模型1.1.由系统结构建立数学模型由系统结构建立数学模型根据实际系统的物理特性列写系统的微根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。分方程。对于电路系统，主要是根据对于电路系统，主要是
2、根据元件特性约元件特性约束束和和网络拓扑约束网络拓扑约束列写系统的微分方程。列写系统的微分方程。 元件特性约束：元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻，电容，电感各自的电压与电流的关端元件电阻，电容，电感各自的电压与电流的关系，以及四端元件互感的初、次级电压与电流的系，以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。关系等等。 网络拓扑约束：网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束由网络结构决定的电压电流约束关系关系,KCL,KVL.:( )0:( )0:( )( )RRKCLi tKVLu tVCR utRit( )( )( )( )LLCCdit
3、utLdtdutitCdt( ( ) )tisRRiLLiCciab+ +- -( ( ) )tv电感电感电阻电阻( )( )1Ritv tR( ( ) )( ( ) ) d1 - - tLvLti电容电容( ( ) )( ( ) )ttvCtiCdd 根据根据KCL( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )titititiSCLR + + +代入上面元件伏安关系，并化简有代入上面元件伏安关系，并化简有 ( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )ttitvLttvRttvCSdd1dd1dd22 + + +这是一个代表这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。并
4、联电路系统的二阶微分方程。 求并联电路的端电压求并联电路的端电压 与激励与激励 间的关系。间的关系。 )(tv)(tis这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。 两个不同性质的系统具有相同的数学模型，都是线两个不同性质的系统具有相同的数学模型，都是线性常系数微分方程，只是系数不同。对于复杂系统，则性常系数微分方程，只是系数不同。对于复杂系统，则可以用高阶微分方程表示。可以用高阶微分方程表示。 msF机械位移系统，其质量为机械位移系统，其质量为m的刚体一端由弹簧的刚体一端由弹簧( ( ) )tv牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩牵引，弹簧的另一
5、端固定在壁上。刚体与地面间的摩擦力为擦力为 ，外加牵引力为，外加牵引力为 ，其外加牵引力，其外加牵引力 与与刚体运动速度刚体运动速度 间的关系可以推导出为间的关系可以推导出为f( )tFS( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )ttFtkvttvfttvmSdddddd22 + + +fkksF( )tv2.2.由系统模拟框图建立数学模型由系统模拟框图建立数学模型 y(t)f(t)- -如图所示系统中含有两个积如图所示系统中含有两个积分器分器, ,两个倍乘器两个倍乘器, ,一个加法一个加法器器. .在在P P端和端和Q Q端分别满足以下端分别满足以下关系式关系式: :( ),(
6、 )pQpddyy tyytdtdt加法器的输出端满足加法器的输出端满足:01( )( )( )( )QPytf ta y ta yt-由此由此,该系统的数学模型该系统的数学模型:2102( )( )( )( )ddy tay ta y tf tdtdt+ 一个线性系统，其激励信号一个线性系统，其激励信号 与响应信号与响应信号 之之间的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述间的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述)(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d0111101111tfbttfbttfbttfbtyattyattyattyammmmmmnnnnnn+-若系统为时不变的，
7、则若系统为时不变的，则a，b均为常数，此方程为均为常数，此方程为常系数的常系数的n阶线性常微分方程。阶线性常微分方程。阶次阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。决定。)(ty)(tfn阶线性时不变系统的描述2.2 2.2 连续时间系统的零输入响应和连续时间系统的零输入响应和零状态响应零状态响应零输入响应：零输入响应： 没有外加激励信号的作用，只由起没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。 不考虑原始时刻系统储能的作用不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产（
8、起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。生的响应。 零状态响应零状态响应：1. 1. 经典时域分析方法经典时域分析方法: :求解微分方程求解微分方程2.2.卷积法卷积法: :系统完全响应系统完全响应= =零输入响应零输入响应+ +零状态响应零状态响应求解齐次微分方程得到零输入响应求解齐次微分方程得到零输入响应利用卷积积分可求出零状态响应利用卷积积分可求出零状态响应( )( )( )( )( )( )thtftytytytyzizszi+ 齐次解：齐次解：由特征方程由特征方程求出特征根求出特征根写出齐次写出齐次解形式解形式 nktkkeA1注意重根情况处理方法。注意重根情况处理方法。特
9、解：特解：根据微分方程右端函数式形式，设含待根据微分方程右端函数式形式，设含待定系数的特解函数式定系数的特解函数式代入原方程代入原方程，比较系数定出，比较系数定出特解。特解。kA 全解：全解：齐次解齐次解+ +特解，由特解，由初始条件初始条件定出齐次解定出齐次解 0862+ ss4221-ss，特征根为特征根为齐次解齐次解解解 ：1)1)求齐次方程求齐次方程y(t)+6y(t)+8y(t) = 0的齐次的齐次解解yh(t)特征方程为特征方程为( )tthekekty4221-+0),()(8)( 6)( +ttftytyty()()tetft-解得解得 A=5/2，B= -11/6由输入由输入
10、f f ( (t t) )的形式，设方程的特解为的形式，设方程的特解为 yp(t)=Ce-t将特解代入原微分方程即可求得常数将特解代入原微分方程即可求得常数C=1/3。3) 3) 求方程的全解求方程的全解tttpheBeAetytyty-+31)()()(42131)0(+BAy23142)0( -BAy0,3161125)(42+-teeetyttt激励函数激励函数e(t)响应函数响应函数r(t)的特解的特解)(常常数数E)(常常数数Bpt1121+ +- -+ + + + +ppppBtBtBtBte tBe ( () )t cos( () )t sin( () )( () )tBtB s
11、incos21+ +( () )tettp sin( () )tettp cos( () )( () )( () )( () )teDtDtDtDteBtBtBtBtpppptpppp sincos11211121+ +- -+ +- -+ + + + + + + + + +1) 1) 若初始条件不变，输入信号若初始条件不变，输入信号 f(t) = sin t (t)，则系统的完全响应则系统的完全响应y(t) =？2) 2) 若输入信号不变，初始条件若输入信号不变，初始条件y(0)=0, y(0)=1, 则系统的完全响应则系统的完全响应y(t)=？系统完全响应系统完全响应=零输入响应零输入响应
12、+零状态响应零状态响应 系统的零输入响应系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统是输入信号为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。的初始状态单独作用而产生的输出响应。0)()( )()( 01)1(1)(+-tyatyatyatynnn数学模型数学模型: :求解方法：求解方法： 根据微分方程的特征根确定根据微分方程的特征根确定零输入响应的形式零输入响应的形式再由初始条件确定待定系数。再由初始条件确定待定系数。 已知某线性时不变系统的动态方程式为已知某线性时不变系统的动态方程式为系统的初始状态为系统的初始状态为y(0-)=1，y(0-)= 3，求系统的零输入响，求系统的零输入响应应yz
13、i(t)。)(3 2)(4422tfdtfdtydtdydtyd+0442+ss221- ss系统的特征根为系统的特征根为（两相等实根）（两相等实根） y(0-)=yzi(0-)=K1=1; y(0-)= yzi(0-)= -2K1+K2 =3 解得解得 K1 =1, K2=5( )ttzitekekty2221-+()ttziteety225-+0t2.3 2.3 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应1.1.冲激响应冲激响应系统在单位冲激信号系统在单位冲激信号 作用下产生的作用下产生的零状态零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用用h(t)
14、表示表示。 )(t H)(t )(th定义 )()(d)(dttvttvRCCC + +列系统微分方程：列系统微分方程：)(t C+ +- -)(tvC)(tiCR求下图求下图RC电路的冲激响应电路的冲激响应.（条件：（条件： ）( () )00 - -cv0)(d)(d + +tvttvRCCC冲激冲激 在在 时转为系统的储能（由时转为系统的储能（由 体现），体现），t0时，在非零初始条件下齐次方程的解，即为原系统时，在非零初始条件下齐次方程的解，即为原系统的冲激响应。的冲激响应。 ( ( ) )t 0 t)0(+ +Cv( ( ) )0, 0 tt 齐次方程齐次方程(1)(1)直接计算单位
15、冲激信号作用下的零状态响应直接计算单位冲激信号作用下的零状态响应特征方程特征方程01 + + RC特征根特征根RC1- - ( () )时时的的解解+ +- - 0 )()( ttuAetvRCtC)(1)(1tueRCtvtRCC- - )(1)(1tueRCthtRC- - 即即:( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) ) + + tuattubtattCC dd( () )( ( ) )RCAAettRCCC101 - -+ +得得代入代入把把 据据方程方程可设可设)(t C+ +- -)(tvC)(tiCR求下图求下图RC电路的冲激响应电路的冲激响应.（条件
16、：（条件： ）( () )00 - -cv由于由于t t00+ +后后, , 方程右端为零方程右端为零, , 故故nm时时)()()(1tueKthnitsiin m时时, , 为使方程两边平衡为使方程两边平衡, , h(t)应含有冲激应含有冲激及其高阶导数及其高阶导数, ,即即)()()()()(01tAtueKthjjnmjnitsii-+将将h(t)代入微分方程，使方程两边平衡代入微分方程，使方程两边平衡, ,确定确定系数系数Ki ， Ai(2)(2)从系统的微分方程求解冲激响应从系统的微分方程求解冲激响应0),(2)(3)(+ttftydttdy解解：当：当f (t)=d(t)时时,
17、, y(t)=h(t), 即即)(2)(3)(tthdttdh+动态方程式的特征根动态方程式的特征根s s=-3, =-3, 且且nm, , 故故h(t)的形式的形式为为解得解得A=2( )( )tetht32-( )( )tAetht3-( )( )( )ttAetAedtdtt2333+-解解：当：当f f ( (t t)=)=d d( (t t) )时时, , y y( (t t)=)=h h( (t t), ), 即即)( 3)(2)(6)(ttthdttdh+动态方程式的特征根动态方程式的特征根s s= -6, = -6, 且且n=m, n=m, 故故h h( (t t) )的的形式
18、为形式为解得解得A A= -16, = -16, B B = =30),( 3)(2)(6)(+ttftftydttdy( )( )( )tBtAetht+-6( )( )( )( )( )( )tttBtAetBtAedtdtt66326+-( )( )( )tettht6163-)()()()()(01tAtueKthjjnmjnitsii-+1)1)由系统的特征根来确定由系统的特征根来确定u u( (t t) )前的指数形式前的指数形式. .2) 2) 由动态方程右边由动态方程右边d d( (t t) )的最高阶导数与方程的最高阶导数与方程左边左边h h( (t t) )的最高阶导数确定
19、的最高阶导数确定d d ( (j j) )( (t t) )项项. .人为假设描述人为假设描述n n阶连续系统的微分方程右侧只有阶连续系统的微分方程右侧只有一项，为一项，为)()()( )()(01)1(1)(txtyatyatyatyannnn+-)()(),()(0thtyttx)()()( )()(0001) 1(01)(0tthathathathannnn+-则有则有- 0t当当 时，由因果性时，由因果性0)0 ()0 ( )0 () 1(000-nhhh为保证等式两边平衡，只能是第为保证等式两边平衡，只能是第n n阶导数项包阶导数项包含冲激函数含冲激函数 。而且只有一项。这时。而且只
20、有一项。这时)(t则则n-1n-1阶导数项包含阶导数项包含 ，而，而n-2n-2阶导数项包阶导数项包含含 , ,)(t)(, 0)(0tht + 0t当当 时，由于时，由于 将是一个将是一个特殊的零特殊的零输入响应输入响应，它取决于，它取决于 时的时的n n个初始条件。个初始条件。+ 0t)(tt 在在t=0t=0处，只有处，只有 是不连续的，而其余的如是不连续的，而其余的如 等都是连续的，因而等都是连续的，因而 的低于的低于n-1n-1阶导数阶导数在在t=0t=0处是连续的。即处是连续的。即)(t)(tt)(0th0)0()0(, 0)0( )0( , 0)0()0()2(0)2(0-+-+
21、-+-hhhhhhnn 是是一族一族很有用的函数。很有用的函数。只有只有hhnn010100()()()()-+-)(t)(t)(tt注注对上述微分方程两边取积分对上述微分方程两边取积分+-+-+-+-+-0000000000) 1(01)(0)()()()(dttdtthadtthadtthannnn上式左边只第一项不为零，其他项为零上式左边只第一项不为零，其他项为零1)0 ()0 () 1(0) 1(0-+-nnnhhannah1)0()1(0+-单位冲激信号引起的单位冲激信号引起的t=0t=0+ +时的时的n n个初始条件为个初始条件为0)0 ()0 ( )0 ()2(0+-hhhnnn
22、ah1)0()1(0+-解解：当：当f f ( (t t)=)=d d( (t t) )时时, , 即即动态方程式的特征根动态方程式的特征根s s= -6, = -6, 故故h h0 0( (t t) )的形式为的形式为解得解得A A= 1= 1( )( )( )tthdttdh+006( )( )tAetht60-()100+h( )( )( )ththth0032+0),( 3)(2)(6)(+ttftftydttdy( )( )( )tettht6163- )()( )()()()( )()( 01)1(1)(01)1(1)(tubtubtubtubtgatgatgatgmmmmnnn+
23、-求解方法求解方法: :1)1)求解微分方程求解微分方程2)2)利用单位冲激响应与单位阶跃响利用单位冲激响应与单位阶跃响应的关系应的关系dttdgth)()(-tdhtg)()(2.2.阶跃响应阶跃响应-tetg03d2)(例例1 1系统的单位冲激响应为系统的单位冲激响应为解：解：利用单位冲激响应与单位阶跃响应的关利用单位冲激响应与单位阶跃响应的关系，可得系，可得( )( )tetht32-()( )tet3132-2.4 2.4 信号的时域分解和卷积积分信号的时域分解和卷积积分1.1.信号的时域分解信号的时域分解连续信号表示为冲激信号的迭加f (t)t0)( kf2-+ ) 1(kk( )(
24、 ) ( )()( ) ()()( ) ()()+-+-+-+ktktkfttfttftf20当0时，k，d，且dtftf)()()(-( )( )( )()( )()()+-+-+20ttfttftf( )()()()+-ktktkftf()()()+-+ktktkf()()()-tktkt)()(tht )()(-tht)()()()(-thftf由时不变特性由时不变特性由均匀特性由均匀特性由积分特性由积分特性+-dtftf)()()( )( ) ()dthftyzs-+-( )( ) ()( )( )thtfdthftyzs-+-2.2.零状态响应的确定零状态响应的确定卷积积分卷积积分
25、0 00 d2e3=0)-3(-tttt解： 0 00 ) 1 (2=3-ttet( )( )( )( )()-+-thfthtftyzs( )( )ttf3()()tetht32-( )()()dtet-+-323()( )tet312-卷积的卷积的定义定义：dthfthtfty)()()()()(-)()()()(-ththhht平移翻转1 1）将）将f(t)和和h(t)中的自变量由中的自变量由t t改为改为 ， 成成为函数的自变量；为函数的自变量；卷积的卷积的计算步骤计算步骤：2 2）把其中一个信号翻转、平移；）把其中一个信号翻转、平移；3 3）将）将f(t) 与与h(t- t)相乘；对
26、乘积后的图形相乘；对乘积后的图形积分。积分。3.3.卷积的图解和卷积积分限的确定卷积的图解和卷积积分限的确定计算计算y(t) = p1(t) * p1(t)。)()(11-tpp0.5t+5 . 0t+- 5 . 01-t1t+5 . 0t+- 5 . 0)()(11-tpp01-t1a) - t -1b) -1 t 0tdttyt+-1)(5 . 05 . 0)(1tp0.5-0.51t)(1py(t)=0t+- 5 . 0t+5 . 0)()(11-tpp10 t1t+5 . 0t+- 5 . 0)()(11-tpp1t111-1)()(11tptptc) 0 t 1tdttyt-+-1)
27、(5 . 05 . 0d)1 t y(t)=02.5 2.5 卷积积分的运算规律及性质卷积积分的运算规律及性质1.1.运算规律运算规律 y(t)y(t)()()()(txththtx一个单位冲激响应是一个单位冲激响应是 的的LTILTI系统对输入信号系统对输入信号 所产所产生的响应，与一个单位冲激响应是生的响应，与一个单位冲激响应是 的的LTILTI系统对输入系统对输入信号信号 所产生的响应相同。所产生的响应相同。( )h t( )x t( )x t( )h tdthxthtxty-)()()()()()()()()(txthdhtx-( )x t( )h t( )x t( )h t(1)(1
28、)交换律交换律 + y(t)y(t)1212( )( )( )( )( ).(1)( ) ( )( ).(2)y tf th tx th tf th th t+( )f t( )f t)()(21thth+)(1th)(2th1212( )( )( )( )( ) ( )( )f th tf th tf th th t+(2)(2)分配律分配律 h1(t) h2(t) w(t)y(t)y(t)()(21thth( )f t)()()()()()(2121ththtxththtx212( )( )( ) ( )( )( )y tw th tf th th t)()()(21ththth( )f
29、t(3)(3)结合律结合律从系统的观点解释：从系统的观点解释：一个系统是由若干一个系统是由若干LTILTI系统级联所构成，则系系统级联所构成，则系统总的单位冲激响应等于各个统总的单位冲激响应等于各个LTILTI子系统单位子系统单位冲激响应的卷积冲激响应的卷积. . 2.2.卷积性质卷积性质12( )( )( )f tf ty t120120( )()( ) ()f tf t tff tt d- -1200()()().(2 62)f tf t tyt t-(1)(1)时移性时移性 证明证明 : :1200( ) () ()ff t tdyt t - -式子式子(2-62)(2-62)说明当输入
30、信号延时说明当输入信号延时 , ,再与冲激再与冲激响应卷积时响应卷积时, ,其结果是时移前两信号卷积的延时其结果是时移前两信号卷积的延时, ,并也延时相同的时间并也延时相同的时间0t1212( )( )( )( )( )y tf tf tf tf t121212()( ) () ( ) ()()()dy tff tdff tddtf tf t -(2)(2)微分性微分性 证明证明 : :12( )( )( )y tftft同理可证同理可证微分特性说明信号微分一次后与另一信号的卷微分特性说明信号微分一次后与另一信号的卷积积分积积分 , ,等于两信号卷积积分后再对等于两信号卷积积分后再对t t 微
31、分微分一次一次. .同理同理, ,若微分两次或者多次若微分两次或者多次, ,也有相同的也有相同的结果结果. .(3)(3)积分性积分性 ( 1)( 1)( 1)1212( )( )( )( )( )ytf tftftft-( 1)( 1)( 1)1212( 1)1212( 1)( 1)1212( 1)( 1)1,()()()()()()()( )( ) () ( )() ( )()()()()()tttytftftytf tf ttytydffd dffd dfftdf tftytft - 式 中、和分 别 表 示 、和从的 一 次 积 分同 理 可 证 .2()f t(4)(4)微积分性质微
32、积分性质 如果将微分如果将微分, ,积分性质同时应用积分性质同时应用, ,则有则有(1)( 1)( 1)(1)1212( )( )( )( )( )y tftftftft-可以推广得到一般形式可以推广得到一般形式()( )()()( )1212()()()()()n mnmmnytftftftft-注注当当n=m的时候的时候? ?(5)(5)与冲激函数的卷积性质与冲激函数的卷积性质 利用冲激函数的抽样性质和利用冲激函数的抽样性质和 卷积运算的卷积运算的 交换律，可以得到交换律，可以得到1212()()()f t tt tf t t t- - - -( )( )( )( )( )f tttf t
33、f t 利用位移特性及利用位移特性及 (t) * (t)= r(t) ，计算，计算y(t) = f(t) * h(t)(tft101)(tht201)(tyt20113tt-3y(t) = f(t) * h(t) = (t) - (t-1) * (t) - (t-2) = (t)* (t) - (t-1)* (t) - (t)* (t-2) + (t-1)* (t-2)= r(t) - r(t-2) r(t -1) + r(t-3)1 1：已知：已知 y(t) = f1(t) * f2(t) ，求，求y(t)。解：解：y(t)=y(t) * d (t) = f1(t) * f2(t) * d
34、(t)2：已知已知 y(t) = f1(t) * f2(t)， 求求y(-1)(t)。解解：y(-1)(t)=y(t) * (t) = f1(t) * f2(t) * (t)= f1(t) * f2(t)= f1(t) * f2(t)= f1(-1)(t) * f2(t)= f1(t) * f2(-1)(t)3 3：利用等效特性，计算：利用等效特性，计算y(t) = f(t) * h(t)。)(tht201)(tyt20113tt-3)(tft101) 1()(-ththt201311-f (t) = d(t) - d(t-1)dtththtyt)1()()(0-f (t) * h(t)= h
35、(t) - h(t-1)1列写列写KVL方程方程( )( )( )txtRittiL+dd2 2冲激响应为冲激响应为)()(tetht-+-d)()2()()(21texxetd)()2(d)()(22-teeteett+-d)()()( . 3thxti的零状态响应。，求例：已知)()2()()(2tittetxt-)(tiH1 L 1R+ +- - - - - -22002ttt ( )2()(2202-tdeetdeetitttt)2()(2)()(2)1(22-teeteetttt - - 00 t)()(-t( )d)()2(d)()(22-teeteetitt)()2(-t 00tt - - - - - - - - - -2 , 220 , )(2)()1(2teeteetitttt分段表示：分段表示：Ot( ( ) )th1Ot( ( ) )ti2Ot( ( ) )te12)2()(2-ttet)(tet-
