1、 2020 学年第二学期高二期末学年第二学期高二期末 华附、省实、广雅、深中华附、省实、广雅、深中 2022 届高二四校联考届高二四校联考 数学数学 命题学校：深圳中学命题学校：深圳中学 定稿人： 本试卷分选择题和非选择题两部分，共定稿人： 本试卷分选择题和非选择题两部分，共 5 页，满分页，满分 150 分考试用时分考试用时 120 分钟 第一部分选择题（共分钟 第一部分选择题（共 60 分） 一、单项选择题：本题共分） 一、单项选择题：本题共 8 道小题，每小题道小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 分在每小题给出的四个选项中，只有一项
2、是符合题目要求的 1. 已知集合0,1,2,3,4A=，2log1Bxx=，则AB =（ ） A. 2,3 B. 3,4 C. 2,4 D. 2,3,4 2. 已知 z为复数，则“22zz= ”是“z为纯虚数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 3. 多项选择题是新高考数学试卷中增加的新题型，四个选项 A，B，C，D中至少有两个选项正确，并规定：如果选择了错误选项就不得分. 若某题的正确答案是 ABC，某考生随机选了两项，则其能得分的概率为（ ） A. 16 B. 13 C. 12 D. 23 4. 若()()512xax+的展开式
3、中3x的系数为 20，则 a=（ ） A. 14 B. 14 C. 12 D. 23 5. 已知四边形 ABCD满足14ADBC= ，点 M 满足DMMC= ，若 BMxAByAD=+ ，则 x+y= （ ） A. 3 B. 52 C. 2 D. 12 6. 已知为第四象限角，且3sin()65+= ，则cos=（ ） A. 4 3310 B. 4 3310 C. 3 3410 D. 4 3310 7. 蹴鞠（如图所示） ，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠
4、已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点A、B、C、D，满足5ABCD=，6BDAC=，7ADBC=，则该鞠的表面积为（ ） A. 55 B. 60 C. 63 D. 68 8. 已知函数( )xxxf xxee=，且3(log),afe=3(log 0.5),bf=(ln3)cf=，则 a ， b ， c 的大小为（ ） A. cab B. acb C. bca D. cba 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 在每小题给出的四个选项中，有多在每小题给出的四个选项中，有多
5、项符合题目要求项符合题目要求. 全部选对的得全部选对的得 5分，部分选对的对分，部分选对的对 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9. 函数( )()()sin0,0,0f xAxA=+ D. 1.4a= 11. 设F是抛物线2:4C yx=的焦点，直线:1l xty=+与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. 4AB B. OA OB 可能大于0 C. 若()2,2P，则3PAAF+ D. 若在抛物线上存在唯一一点Q（异于A、B） ，使得QAQB，则3t = 12. 已知函数2( )ln(ln)f xaxxx=+，下列关于 f(x)的说法中正确的是（
6、） A. 当且仅当 a=0时，f(x)有唯一的零点 B. f(x)最多有两个极值点 C. 若0,a 则 f(x)仅有一个极值点 D. 若 f(x)无极值点，则1,ae 第二部分非选择题（共第二部分非选择题（共 90 分）分） 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13. 已知、是两个不同平面，mn、均为、外的两条不同直线，给出四个论断：mn;的 ;n;m. 请以其中三个为条件，余下的一个为结论，写出一个正确的命题_（示例：请将答案写成如下形式：“”） 14. 若直线:50(0)l axbyab+=恒过圆22:(3)(2)25Cxy+=
7、的圆心，则32ab+的最小值为_ 15. 已知公差不为 0 的等差数列 na满足22225678aaaa+=+，则12S=_ . 16. 在三棱锥 P-ABC中，侧面 PAB，侧面 PAC，侧面 PBC 与底面所成的角均为3，若 AB=2，CA+CB=4，且ABC是锐角三角形，则三棱锥 P-ABC体积的取值范围为_ . 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6小题，共小题，共 70分分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在122nnSS+=+；12nnnaa+=；12nnSa+=这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答. 已知数列
8、na的前 n 项和为nS，12a =，且满足 （1）求数列 na的通项公式; （2）记 12nnnb+=，求数列 nb的前 n项和为nT. 18. 智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检测.调查发现，使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用智能体温计测量体温可能会产生误差.对同一人而言，如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为智能体温计“测温准确”;否则，我们认为智能体温计“测温失误”.现在某社区随机抽取了 20 人用两种体温计进行体温检测，数据如下. 用频率估计概率，解答下列问题: 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 智能体温
9、计测温 36.6 36.6 36.5 36.5 36.5 36.4 36.2 36.3 36.5 36.3 水银体温计测温 36.6 36.5 36.7 36.5 36.4 36.4 36.2 36.4 36.5 36.4 序号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 智能体温计测温 36.3 36.7 36.2 35.4 35.2 35.6 37.2 36.8 36.6 36.7 水银体温计测温 36.2 36.7 36.2 35.4 35.3 35.6 37 36 8 36 6 36.7 （1）从该社区中任意抽查 3人用智能体温计测量体温，设随机变量 X为使用智能体温计
10、测温“测温准确”的. 人数，求 X的分布列与数学期望值； （2）医学上通常认为，人的体温不低于037.3C且不高于038C时处于“低热”状态. 该社区某一天用智能体温计测温的结果显示，有 3人的体温都是037.3C，能否由上表中的数据来认定这 3 个人中至少有 1人处于“低热”状态？说明理由. 19. 在ABC中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且若222acacb+=. D为 BC 的中点，3AD =，记BAD= （1）若6=，求 AB的值; （2）求 a+2c 的取值范围. 20. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA 平面ABCD，ADC ,/ /,D ADBC2PAADC
11、D,= 3BC =，E为 PD 中点，点 F 在线段 PC上，且 DF/平面 PAB. （1）求证：AE 平面PCD; （2）求二面角 F-AE-P 的正弦值. 21. （1） （i）证明：,1xxR ex +； （ii）证明：0 x 210 xxexee； （2）若关于 x的不等式1lnxaxxe+恒成立，求实数 a 的值. 22. 已知双曲线 C:22221(0,0)xyabab=的左右顶点分别是12AA、且经过点()4, 6M，双曲线的右焦点 2F到渐近线的距离是2，不与坐标轴平行的直线 l与双曲线交于 P、Q两点（异于12AA、） ，P关于原点O的对称点为 S. （1）求双曲线 C的标
12、准方程; （2）若直线1AS与直线2A Q相交于点 T，直线 OT与直线 PQ相交于点 R，证明：在双曲线上存在定点E，使得RME的面积为定值，并求出该定值. 2020 学年第二学期高二期末学年第二学期高二期末 华附、省实、广雅、深中华附、省实、广雅、深中 2022 届高二四校联考届高二四校联考 数学数学 命题学校：深圳中学命题学校：深圳中学 定稿人：董正林、赵志伟定稿人：董正林、赵志伟 本试卷分选择题和非选择题两部分，共本试卷分选择题和非选择题两部分，共 5 页，满分页，满分 150 分考试用时分考试用时 120 分钟分钟 第一部分选择题（共第一部分选择题（共 60 分）分） 一、单项选择题
13、：本题共一、单项选择题：本题共 8 道小题，每小题道小题，每小题 5分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1. 已知集合0,1,2,3,4A=，2log1Bxx=，则AB =（ ） A. 2,3 B. 3,4 C. 2,4 D. 2,3,4 【1 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用对数函数的单调性求解集合 B，再利用集合的交运算即可求解 【详解】由2log1x ，得2x ，因为0,1,2,3,4A=，所以3,4AB =. 故选：B 2. 已知 z为复数，则“22zz= ”是“z为纯虚数”的（
14、） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【2 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】由充分必要条件的判断方法，结合复数为纯虚数的判断条件即可判断. 【详解】充分性：“22zz= ”，z为 0或纯虚数，故充分性并不满足； 必要性：z 为纯虚数，不妨设()0zbi bRb=且，则()2222zbibz= = ，故必要性满足. 所以“22zz= ”是“z为纯虚数”的必要非充分条件. 故选：B 3. 多项选择题是新高考数学试卷中增加的新题型，四个选项 A，B，C，D中至少有两个选项正确，并规定：如果选择了错误选项就不得分. 若某题的正确答案是 AB
15、C，某考生随机选了两项，则其能得分的概率为（ ） A. 16 B. 13 C. 12 D. 23 【3 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】求出随机选了两项的情况，根据古典概型的概率公式即可求出. 【详解】由题可得该考生随机选了两项的情况有,AB AC AD BC BD CD共 6 种， 其中能得出的情况有,AB AC BC共 3种， 则其能得分的概率为3162=. 故选：C. 4. 若()()512xax+的展开式中3x的系数为 20，则 a=（ ） A. 14 B. 14 C. 12 D. 23 【4 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式进行分析，即可计算.
16、 【详解】()()()()555121212xaxxxax+=+ ()512x+展开式的通项公式为：()152rrrTCx+=， 因为()()512xax+的展开式中3x的系数为 20， 所以22335522408020CaCa=，解得：14a =. 故选：B 5. 已知四边形 ABCD满足14ADBC= ，点 M 满足DMMC= ，若 BMxAByAD=+ ，则 x+y= （ ） A. 3 B. 52 C. 2 D. 12 【5 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量线性运算，将BM 表示出来即可得出. 【详解】由题可得BMBAADDMBAADMCBAADBCBM=+=+=+ ,
17、24BMABADAD= + ，则1522BMABAD= + , 所以15,22xy= =，所以2xy+=. 故选：C. 6. 已知为第四象限角，且3sin()65+= ，则cos=（ ） A. 4 3310 B. 4 3310 C. 3 3410 D. 4 3310 【6 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】先求出4cos()65+=，利用两角差的余弦公式即可求出cos. 【详解】因为为第四象限角，且3sin()65+= ， 所以+=+=2234cos()1sin ()16655， 所以43314 33coscoscoscossinsin666666525210=+=+= 故选：A 7.
18、蹴鞠（如图所示） ，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点A、B、C、D，满足5ABCD=，6BDAC=，7ADBC=，则该鞠的表面积为 （ ） A. 55 B. 60 C. 63 D. 68 【7 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】 将三棱锥ABCD补成长方体， 使得三棱锥ABCD的各棱为长方体的面对角线， 计算出长方体的体对角线长，可得出该鞠的半径，利用球体的表
19、面积公式计算可得结果. 【详解】将三棱锥ABCD补成长方体AEBHGDHC，使得三棱锥ABCD的各棱为长方体AEBHGDHC的面对角线， 设EAx=，EBy=，EDz=，设该鞠的半径为R，则2222Rxyz=+， 由勾股定理可得22225ABxy=+=，22236ACyz=+=，22249ADxz=+=， 上述三个等式相加得()2222253649110 xyz+=+=，则222255Rxyz=+=， 因此，该鞠的表面积为()224255SRR=. 故选：A. 【点睛】本题考查球体表面积的计算，同时也考查了三棱锥的外接球问题，考查计算能力，属于中等题. 8. 已知函数( )xxxf xxee=
20、，且3(log),afe=3(log 0.5),bf=(ln3)cf=，则 a ， b ， c 大小为（ ） A. cab B. acb 的 C. bca D. cba 【8 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】 可判断( )f x为偶函数， 再根据( )f x的导数可判断( )f x在()0,+为增函数， 根据对数函数的单调性判断出33ln3loglog 2e即可得出大小. 【详解】( )f x的定义域为 R，且()( )xxxxxxfxxexef xee= =，( )f x为偶函数， 当0 x 时，( )()()21111 0 110 xxxxxxexxfxxeeee+=+=， 所以(
21、 )f x在()0,+为增函数， 又33330log 1log 2loglog 31e=， 所以33ln3loglog 2e，则()()()33ln3loglog 2ffef， 又()()()333log 2log 2log 0.5fff=，则cab. 故选：A. 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 在每小题给出的四个选项中，有多在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求项符合题目要求. 全部选对的得全部选对的得 5分，部分选对的对分，部分选对的对 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9. 函数( )()()s
22、in0,0,0f xAxA=+的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. ( )f x的最小正周期为2 B. ( )f x的最大值为 2 C. ( )f x在区间5,12 12 上单调递增 D. 6fx+为偶函数 【9 题答案】 【答案】BD 【解析】 【分析】由图象先求得，再求得，然后求得A得解析式，再根据正弦函数性质判断各选项 【详解】由已知1152 ()1212T=，所以22T=，A错； 由五点法得52,12kkZ+=，又0 D. 1.4a= 【10 题答案】 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据回归方程的斜率为正可判断 A；根据样本中心在回归直线上可判断 B；根据拟合效果可
23、判断C；可得剔除这两个数据点后，样本的中心还是()3,5，即可求出a，判断 D. 【详解】因为回归方程为1:1.0 55.lyx=+，1.50，所以变量 x 与 y 具有正相关关系，故 A 正确； 因为2011320iixx=，所以1.50.51.5 30.55yx=+= +=，故 B 正确； 由题可得剔除这两个数据点后的拟合效果更好，所以2212RR，故 C 错误； 因为1.24.82.27.83,522+=，所以剔除这两个数据点后，样本的中心还是()3,5，所以5 1.2 31.4a = =，故 D正确. 故选：ABD. 11. 设F是抛物线2:4C yx=的焦点，直线:1l xty=+与
24、抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. 4AB B. OA OB 可能大于0 C. 若()2,2P，则3PAAF+ D. 若在抛物线上存在唯一一点Q（异于A、B） ，使得QAQB，则3t = 【11 题答案】 【答案】ACD 【解析】 【分析】联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求出AB即可判断 A；可得3OA OB= 可判断 B；由PAAFPF+可判断 C；设点2,4mQm，分析可知关于m的二次方程24120mmt+=有唯一解， 由0 =可判断 D选项的正误. 【详解】对于 A选项，设()11,A x y、()22,B xy. 联立直线与抛物线241yxxty=+
25、可得2440yty=，则124yyt+=，124y y = ， 则22211616444ABttt=+=+，故 A 正确； 对于 B选项，()21212121213016OA OBx xy yy yy y=+=+= 可得0 xe，由( )0h x， 则( )h x在()0,e单调递增，在(), e +单调递减， ( )( )max1h xh ee=， 要使ln xax =无解，则1ae ，即1ae ，又( )10h=，此时0a =， 即若( )f x有唯一的零点，则0a =或1ae，易知10fe， 令( )0fx=可得2ln( )(ln1)xag xxx=+（0 x 且1xe） ， 则222(
26、ln )ln1( )2(ln1)xxg xxx=+，令( )0gx=可得121515ln,ln22xx +=， 所以( )g x在()10,x递增，在11,xe递减，在21,xe递减，在()2,x +， 又( )10g=，所以( )g xa=最多有 2个解，即( )f x最多有两个极值点，故 B正确； 当0a 时，( )g xa=只有一个解，即( )f x仅有一个极值点，故 C正确； 当a 时，( )g xa=有 2 个解，此时( )f x有 2 个极值点，故 D错误. 故选：BC. 第二部分非选择题（共第二部分非选择题（共 90 分）分） 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4小题，每小题
27、小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13. 已知、是两个不同的平面，mn、均为、外的两条不同直线，给出四个论断：mn;n;m. 请以其中三个为条件，余下的一个为结论，写出一个正确的命题_（示例：请将答案写成如下形式：“”） 【13 题答案】 【答案】（或）. 【解析】 【分析】根据平面垂直关系的相关性质即可判断. 【详解】若mn ; ;n成立，则m与可能平行也可能相交，即m不一定成立； 若mn;m成立，则n与可能平行也可能相交，即n不一定成立； 若mn;n;m成立，因为mn，n，所以/m或m，又m，所以，即； 若;n;m成立，因为，n，所以/n或n ，又m，所以 mn，即. 故答案为
28、：（或）. 14. 若直线:50(0)l axbyab+=恒过圆22:(3)(2)25Cxy+=的圆心，则32ab+的最小值为_ 【14 题答案】 【答案】5 【解析】 【分析】把圆心坐标代入直线方程得, a b的关系，然后由“1”的代换用基本不等式求得最小值 【详解】由题意3250ab+=，即325ab+=，因为0ab ，所以0,0ab， 所以32132166166(32 )()131325555abababababbaba+=+=+=，当且仅当66abba=，即1ab=时等号成立 因此所求最小值为 5 故答案为：5 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （
29、1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 15. 已知公差不为 0 的等差数列 na满足22225678aaaa+=+，则12S=_ . 【15 题答案】 【答案】0 【解析】 【分析】根据题意可化简得出670aa+=，再根据求和公式即可求出. 【详解】设数列公差为d（0d ） ， 由22225678aaaa+=+可得22225786
30、aaaa=，则()()()()57578686aaaaaaaa+=+， 则()672222adad =，则可得670aa+=， 的 所以()()112126712602aaSaa+=+=. 故答案：0. 16. 在三棱锥 P-ABC中，侧面 PAB，侧面 PAC，侧面 PBC 与底面所成的角均为3，若 AB=2，CA+CB=4，且ABC是锐角三角形，则三棱锥 P-ABC体积的取值范围为_ . 【16 题答案】 【答案】33,43 【解析】 【分析】 作PO 平面 ABC 于 O， 可得O为ABC的内心， 设ABCSt=， 可得239P ABCVt=， C 在以 A，B 为焦点的椭圆上，设(),
31、C x y，由ABC是锐角三角形可得3|, 32y，即可得出所求. 【详解】 作PO 平面 ABC 于 O， 作ODBC于 D，OEAC于 E，OFAB于 F， 连接 PD， PE， PF，则POBC， 又ODPOO=，所以BC 平面 POD，所以BCPD，所以PDO为二面角PBCA的平面角， 同理，,PEOPFO分别为二面角PACB，二面角PABC的平面角， 所以3PDOPEOPFO=，所以33OEODOFPO=， 所以O为ABC的内心，连接 AO，BO，CO， 设ABCSt=，则3AOBAOCBOCtSSSOD=+=， 为 所以3,333tODPOODt=，所以239P ABCVt=， 因
32、为4ACBC+=，所以 C 在以 A，B为焦点的椭圆上， 建立平面直角坐标系，( 1,0),(1,0)AB，1,2ca=，所以23b =， 所以椭圆方程为22143xy+=， 设(),C x y，要使,CABCBA为锐角，则11x ， 又(1, ),(1, )ACxy BCxy=+= ， 因为90ACB ，则3y ， 又|3y ，则可得3|, 32y， 所以3, 32ABCS，即3, 32t， 所以33,43P ABCV. 故答案为：33,43. 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6小题，共小题，共 70分分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
33、 17. 在122nnSS+=+；12nnnaa+=；12nnSa+=这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答. 已知数列 na的前 n 项和为nS，12a =，且满足 （1）求数列 na的通项公式; （2）记 12nnnb+=，求数列 nb的前 n项和为nT. 【17 题答案】 【答案】 （1）2nna =； （2）332nnnT+= 【解析】 【分析】 （1）若选，可判断 na是首项为 2，公比为 2 的等比数列，即可求出通项公式； 若选，利用累加法可求出； 若选，可判断 na是首项为 2，公比为 2的等比数列，即可求出通项公式； （2）利用错误相减法法可求出. 【详解】 （1）若选
34、，因为122nnSS+=+，当2n 时，122nnSS=+，两式相减得12nnaa+=， 当1n =时，2122SS=+，即12122aaa+=+，又12a =，所以24a =， 故212aa=也满足12nnaa+=， 所以 na是首项为 2，公比为 2 的等比数列，故2nna =； 若选，因为12nnnaa+=， 所以() ()()121321=+nnnaaaaaaaa ()1212 1 2222221 2nnn=+=， 故2nna =； 若选，因为12nnSa+=，当2n 时，12nnSa=，两式相减可得1nnnaaa+=，即12nnaa+=， 当1n =时，1112Saa=，所以24a
35、=，满足12nnaa+=， 所以 na是首项为 2，公比为 2 的等比数列，故2nna =； （2）()23111123412222nnTn=+ +， 则()234111111234122222nnTn+=+ +， 两式相减可得()231111111122222nnnTn+= + ()()1111122113111112222212nnnnnn+=+=+， 则332nnnT+=. 18. 智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检测.调查发现，使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用智能体温计测量体温可能会产生误差.对同一人而言，如果用智能体温计与水银体
36、温计测温结果相同，我们认为智能体温计“测温准确”;否则，我们认为智能体温计“测温失误”.现在某社区随机抽取了 20 人用两种体温计进行体温检测，数据如下. 用频率估计概率，解答下列问题: 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 智能体温计测温 36.6 36.6 36.5 36.5 36.5 36.4 36.2 36.3 36.5 36.3 水银体温计测温 36.6 36.5 36.7 36.5 36.4 36.4 36.2 36.4 36.5 36.4 序号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 智能体温计测温 36.3 36.7 36.2 35.4 35.2
37、35.6 37.2 36.8 36.6 36.7 水银体温计测温 36.2 36.7 36.2 35.4 35.3 35.6 37 36.8 36.6 36.7 （1）从该社区中任意抽查 3人用智能体温计测量体温，设随机变量 X为使用智能体温计测温“测温准确”的人数，求 X的分布列与数学期望值； （2）医学上通常认为，人的体温不低于037.3C且不高于038C时处于“低热”状态. 该社区某一天用智能体温计测温的结果显示，有 3人的体温都是037.3C，能否由上表中的数据来认定这 3 个人中至少有 1人处于“低热”状态？说明理由. 【18 题答案】 【答案】 （1）分布列见解析，数学期望为95；
38、 （2）答案见解析 【解析】 【分析】 （1）估计用智能体温计测量该社区 1 人“测温准确”的概率，随机变量X的所有可能取值为 0，1，2，3，求出X取不同值的概率，即可得出分布列，求出期望； （2）估计出这 3人中至少有 1人处于“低热”状态的概率即可得出结论. 【详解】 （1）表中 20人的体温数据中，测温结果相同的有 12 种情况，即可估计用智能体温计测量该社区1 人“测温准确”的概率为123205=， 随机变量X的所有可能取值为 0，1，2，3，且33,5X， 则0303338(0)155125P XC = ，12133336(1)155125P XC = ， 21233354(2)1
39、55125P XC = ，30333327(3)155125P XC = ， 所以分布列为： X 0 1 2 3 P 8125 36125 54125 27125 ()39355E X = =； （2）设这 3人中至少有 1人处于“低热”状态为事件 N， 表中 20人的体温数据中，用智能体温计的测温结果高于其真实体温的序号为 02，05，11，17共计 4 种情况，由此估计从社区任意抽查 1 人，用智能体温计的测温结果高于其真实体温的概率为15， 由此估计，这 3 人中至少有 1人处于“低热”状态的概率为()1111241555125P N = =. 结论 1：因为()124125P N =接
40、近 1，由此可以认定这 3个人中至少有 1人处于“低热”状态； 结论 2：因为()1241125P N =，所以有可能这 3 人都不处于“低热”状态. 19. 在ABC中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且若222acacb+=. D为 BC 的中点，3AD =，记BAD= （1）若6=，求 AB的值; （2）求 a+2c 的取值范围. 【19 题答案】 【答案】 （1）1； （2）(2 3,4 【解析】 【分析】 （1）由余弦定理可得23B=，在ABD中利用正弦定理即可求出； （2）利用正弦定理可得4sin ,2sin3ac=，再化简利用三角函数的性质可求. 【详解】 （1）22
41、2acacb+=，即222acbac+= ， 由余弦定理可得2221cos22acbBac+= ，所以23B=， 又6=，则6ADB=， 在ABD中，由正弦定理可得sinsinADABBADB=， 所以13sin21sin32ADADBABB=； （2）在ABD中，由23B=可得0,3骣琪琪桫， 由正弦定理可得22sinsinsin33BDABAD=， 则4sin ,2sin3ac=， 24sin4sin2sin2 3cos4sin33ac +=+=+=+， 由0,3骣琪琪桫，可知2,333+，则3sin,132+， 所以2(2 3,4ac+. 20. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA
42、平面ABCD，ADC ,/ /,D ADBC2PAADCD,= 3BC =，E为 PD 中点，点 F 在线段 PC上，且 DF/平面 PAB. （1）求证：AE 平面PCD; （2）求二面角 F-AE-P 的正弦值. 【20 题答案】 【答案】 （1）证明见解析； （2）2 23 【解析】 【分析】 （1）由题可得PACD，结合ADCD可得CD 平面 PAD，由此得出CDAE，再结合AEPD即可证明； （2）以 D为原点建立如图所示空间直角坐标系，求出平面 AEF 和平面 PAE 的法向量，利用向量关系即可求出. 【详解】 （1）PA 平面 ABCD，CD 平面 ABCD，PACD， ,ADC
43、D PAADA=，CD平面 PAD， AE 平面 PAD，CDAE， 2PAAD=，E为 PD 中点，AEPD， PDCDD=，AE平面 PCD； （2）过点 D作/DG AB交 BC于 G，连接 FG， DG 平面 PAB，AB平面 PAB，DG/平面 PAB， DF/平面 PAB，DFDGD=，平面DFG/平面 PAB， 平面DFG平面PBCFG=，平面PAB平面PBCPB=，FGPB/，23PFBGPCGC=， 如图，以 D为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则()(0,0,0), (2,0,0),(0,2,0),(1,0,1),2,0,2DACEP， 由24 44,33 33PFPC=
44、 ，得2 4 2,3 3 3F， 4 4 2,( 1,0,1)3 3 3AFAE= = ， 设( , , )mx y z=为平面 AEF一个法向量， 则04420333m AExzm AFxyz= += += ，则可取(2,1,2)m =， (0,2,0)DC =为平面 PAE 的法向量， 设二面角FAEP的大小为，则|21|cos|3 23|m DCm DC=， 所以2 2sin3=，即二面角FAEP的正弦值为2 23. 21. （1） （i）证明：,1xxR ex +； （ii）证明：0 x 210 xxexee； （2）若关于 x的不等式1lnxaxxe+恒成立，求实数 a 的值. 【2
45、1 题答案】 【答案】 （1） （i）证明见解析； （ii）证明见解析； （2）0 【解析】 【分析】 （1） （i）构造函数( )1xf xex=，求出函数导数，根据导数判断函数单调性可证明； 的 （ii）构造函数( )21xxeg xxee=+，求出函数导数，利用（i）中恒等式判断函数单调性即可证明； （2）构造函数( )1lnxh xaxxe=+，讨论0a =，0a ，利用导数结合（1）中结论判断函数单调性即可求解. 【详解】 （1） （i）令( )1xf xex=，则( )1xfxe=， 令( )0fx可得0 x ，令( )0fx可得0 x ， ( )f x在(),0单调递减，在()0
46、,+单调递增， ( )( )00f xf=，即1xex+； （ii）令( )21xxeg xxee=+，0 x ， 则( )1122xxxexxexgxxeeexee+ =+=+， 由（i）可知1xexxeex+ +，故( )()20 xxgxxeexx+=， 即当0 x 210 xxexee； （2）令( )1lnxh xaxxe=+， 当0a =时，( )1xh xxe=，由（1）知()111xexx+ =，则( )0h x 恒成立，符合题意； 当0a ，与题意不符； 当0a 时，( )11xah xex=+ ，12( )0 xah xex= =+ + ，故( )h x在()01,x单调递
47、增，此时( )(1)0h xh=，与题意不符. 综上，0a =. 【点睛】关键点睛：本题考查不等式恒成立问题，解决本题的关键是构造函数，利用导数求函数的单调性，通过求出函数最值解决，且合理利用已知恒等式转化. 22. 已知双曲线 C:22221(0,0)xyabab=的左右顶点分别是12AA、且经过点()4, 6M，双曲线的右焦点2F到渐近线的距离是2，不与坐标轴平行的直线 l与双曲线交于 P、Q两点（异于12AA、） ，P关于原点 O的对称点为 S. （1）求双曲线 C的标准方程; （2）若直线1AS与直线2A Q相交于点 T，直线 OT与直线 PQ相交于点 R，证明：在双曲线上存在定点E，
48、使得RME面积为定值，并求出该定值. 【22 题答案】 【答案】 （1）22142xy=； （2）存在(4,6)E，定值为6 6. 【解析】 【分析】 （1）根据题意建立关系求出, a b即可得出方程； （2）设出直线方程，与双曲线联立，得出韦达定理，利用韦达定理表示出直线OT的斜率，即可得出点R在定直线2x = 上，即可求解. 【详解】 （1）设双曲线的右焦点2( ,0)F c，一条渐近线为0aybx+=， 则由题可得2216612abb=，解得22ab=， 所以双曲线的标准方程为22142xy=； （2）设()()()()11221100,P x yQ xySxyT xy， 设直线:,(0
49、)l ykxm k=+， 联立直线与双曲线22142xyykxm=+可得()()22221 24240,2kxkmxmk+= ， 由0 可得2242mk，所以0m ， 则()22212121212222224424,1 21 21 21 2mkmmmkxxx xyyy ykkkk+=+=， 1221281 2kx yx yk+=， 由题12( 2,0),(2,0)AA， 由1, ,T S A三点共线可得010122yyxx=+，即010122xxyy+=， 的 由2,T Q A三点共线可得020222yyxx=，即020222xxyy=， 相加可得()12211201201212222242x
50、 yx yyyxxxyyyy ykm+=+=， 所以直线00:22ykmyxxOxT=， 联立直线,OT PQ可得22kmyxykxm=+可得2x = ， 因此点R在定直线2x = 上， 则使得RME的面积为定值的点E一定为过点 M且与直线2x = 平行的直线与双曲线的交点，此时(4,6)E，则12 666 62RMES=. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A xy，()22B xy，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程； （3）写出韦达定理； （4）将所求问题或题中关系转化为1212,xx x x+形式；
