广东省惠州市2021-2022高二上学期数学期末试卷及答案.pdf

1、 惠州市惠州市 20212022 学年度第一学期期末质量检测学年度第一学期期末质量检测 高二数学试题高二数学试题 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题满分小题，每小题满分 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得只有一项符合题目要求，选对得 5 分，选错得分，选错得 0 分分 1. 过点()1,0且与直线220 xy=平行的直线方程是（ ） A. 210 xy = B. 210 xy+ = C. 220 xy+= D. 210 xy+ = 2. 已知椭圆的长轴长为 10，焦距为 8，则该椭圆的短轴长等

2、于（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 12 3. 已知()0,1,1a =，()0,1,0b =，则a在b上的投影向量为（ ） A. 1 B. 22 C. ()0,1,0 D. 1 10,2 2 4. 如图， 在四面体ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AC的中点， 则()12ABBCCD+ 化简的结果为（ ） A. BF B. EH C. HGuuu r D. FG 5. 中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为：有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天

3、起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地，请问第二天走了（ ） A. 192 里 B. 96 里 C. 48 里 D. 24 里 6. 如图， 在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中， M是1AA的中点， 则点1A到平面 MBD的距离是 （ ） A. 66 B. 36 C. 34 D. 63 7. 设村庄外围所在曲线的方程可用()()22234xy+=表示，村外一小路所在直线方程可用20 xy+=表示，则从村庄外围到小路的最短距离为（ ） A. 7 22 B. 7 222 C. 7 222+ D. 7 22+ 8. 已知 na为等差数列，d为公差，若124,a a

4、a成等比数列，36a =且0d ，则数列11nna a+的前n项和为（ ） A. 24(1)nn B. 14nn C. 4(1)nn+ D. 14(2)nn+ 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题满分小题，每小题满分 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求有多项符合题目要求.全部选对得全部选对得 5 分，部分，部分选对得分选对得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9. 已知双曲线C的一条渐近线方程为52yx=，则C的方程可以是（ ） A. 22145xy= B. 22154xy= C. 22154

5、yx= D. 22145yx= 10. 下面四个结论正确的是（ ） A. 空间向量a，()0,0b ab ，若ab，则0a b= B. 若对空间中任意一点 O，有111632OPOAOBOC=+ ，则 P、A、B、C四点共面 C. 已知, ,a b c 是空间的一组基底，若mac=+，则, ,a b m 也是空间的一组基底 D. 任意向量a，b，c满足()()a bcab c = 11. 已知数列 na中，13a =，且111nnaa+= +，则能使3na =的 n 可以是（ ） A. 4 B. 14 C. 21 D. 28 12. 设椭圆22:12xCy+=的左、右焦点分别为1F，2F，则下

6、列说法中正确的有（ ） A. 离心率32e = B. 过点1F的直线与椭圆交于A，B两点，则2ABF的周长为4 2 C. 若P是椭圆C上的一点，则12PFF面积的最大值为 1 D. 若P是椭圆C上的一点，且1260FPF=，则12PFF面积为33 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13. 已知()6,1, 1m =，()2, ,n =，若mn，则=_ 14. 圆()22:11Cxy+=关于直线:10l xy+ =对称的圆的方程为_ 15. 若1，m，7三个数成等差数列，则圆锥曲线221xmy+=的离心率为_ 16. 设 Sn是等差数

7、列an的前 n 项和，若数列an满足 anSnAn2BnC且 A0，则1ABC的最小值为_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6小题，共小题，共 70分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知数列 na是等差数列，nS为其前 n 项和，49a =，424S = （1）求 na的通项公式； （2）若3nnab =，求证： nb为等比数列 18. 如图，已知平行六面体1111ABCDABC D中，底面 ABCD是边长为 1的正方形，12AA =，1160A ABA AD= =，设ABa= ，ADb=，1AAc= （1）用a，b，c表示1A

8、C，并求1AC ； （2）求1AA BD 19. 1.圆C的圆心为()11，且与直线3490 xy+=相切，求： （1）求圆C的方程； （2）过()0 9，的直线l与圆C交于P，Q两点，如果2 3PQ =，求直线l的方程 20. 如图，在三棱柱111ABCABC中，1CC 平面 ABC，ACBC，2ACBC=，13CC =，点 D，E 分别在棱1AA和棱1CC上，且1AD =，2CE =，M为棱11AB的中点 （1）求证：11C MB D； （2）求直线 AB与平面1DB E所成角的正弦值 21. 在平面直角坐标系xOy中，点1,12A在抛物线2:2C ypx=上 （1）求p的值； （2）若直

9、线 l与抛物线 C交于()11,P x y，()22,Q xy两点，120y y ，则52ba=，2254ba=， 则当24a =时，25b =，可知22145xy=为满足题意的双曲线，A正确； 若双曲线焦点在y轴上，可设为()222210,0yxabab=，则52ab=，2254ab=， 则当24b =时，25a =，可知22154yx=为满足题意的双曲线，C正确. 故选：AC. 10. 下面四个结论正确的是（ ） A. 空间向量a，()0,0b ab ，若ab，则0a b= B. 若对空间中任意一点 O，有111632OPOAOBOC=+ ，则 P、A、B、C四点共面 C. 已知, ,a

10、b c 是空间的一组基底，若mac=+，则, ,a b m 也是空间的一组基底 D. 任意向量a，b，c满足()()a bcab c = 【答案】ABC 【解析】 【分析】空间向量垂直的数量积表示可判断 A；由向量四点共面的条件可判断 B；由空间向量基底的定义可判断 C； a b 是一个数值，c b 也是一个数值，说明a和c存在倍数关系，或者说共线，可判断 D. 【详解】空间向量a，()0,0b ab ，若ab，则0a b= ，故 A正确； 对空间中任意一点 O，有111632OPOAOBOC=+ ， 且1111632+=，则 P、A、B、C 四点共面，故 B正确； 因为, ,a b c 是空

11、间的一组基底，所以, ,a b c 不共面，mac=+，则, ,+ a b ac也不共面， 即, ,a b m 也是空间的一组基底，故 C 正确； 任意向量a，b，c满足()()a bcab c = ，由于a b 是一个数值，c b 也是一个数值， 则说明a和c存在倍数关系，或者说共线，不一定相等，故 D错误. 故选：ABC. 11. 已知数列 na中，13a =，且111nnaa+= +，则能使3na =的 n 可以是（ ） A. 4 B. 14 C. 21 D. 28 【答案】AD 【解析】 【分析】由已知条件计算可得数列 na是以 3 为周期的周期数列，从而可求得答案 【详解】因为13a

12、 =，且111nnaa+= +， 所以211114aa= = +，3211411314aa= = = +， 431134113aa= = =+， 所以数列 na是以 3 为周期的周期数列， 所以313,kakN+=， 所以 n 可以是 1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31， 故选：AD 12. 设椭圆22:12xCy+=的左、右焦点分别为1F，2F，则下列说法中正确的有（ ） A. 离心率32e = B. 过点1F的直线与椭圆交于A，B两点，则2ABF的周长为4 2 C. 若P是椭圆C上的一点，则12PFF面积的最大值为 1 D. 若P是椭圆C上的一点，且1260FPF=

13、，则12PFF面积为33 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件结合各选项中的问题，逐一分析计算即可判断作答. 【详解】由椭圆22:12xCy+=得：长半轴长2a =，短半轴长1b =，半焦距1c =， 对于 A，椭圆的离心率22e =，A错误； 对于 B，因弦 AB 过焦点 F1，则2ABF的周长为1212| 44 2AFAFBFBFa+=，B正确； 对于 C，令点 P的纵坐标为Py，于是得12PFF面积1211| |2|122PPSFFycyb=， 当且仅当点 P 为短轴端点时取“=”，C正确； 对于 D，由余弦定理得：222212121212|2|cos60(|)FFPFPFPF

14、PFPFPF=+ =+123|PFPF， 即()()2212223caPF PF=，解得124|3PFPF =， 因此，12PFF面积为1211433|sin232323SPFPF=，D 正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13. 已知()6,1, 1m =，()2, ,n =，若mn，则=_ 【答案】12 【解析】 【分析】根据空间向量垂直得到等量关系，求出答案. 【详解】由题意得：2 60 +=，解得：12= 故答案为：12 14. 圆()22:11Cxy+=关于直线:10l xy+ =对称的圆的方程为_ 【

15、答案】()()22121xy+= 【解析】 【分析】求出圆心()1,0关于直线的对称点，从而求出对称圆的方程. 【详解】()22:11Cxy+=圆心为()1,0，半径为 1，设()1,0关于:10l xy+ =对称点为(),m n，则1111022nmmn= + =， 解得：12mn= =， 故对称点为()1,2， 故圆()22:11Cxy+=关于直线:10l xy+ =对称的圆的方程为()()22121xy+=. 故答案为：()()22121xy+= 15. 若1，m，7三个数成等差数列，则圆锥曲线221xmy+=的离心率为_ 【答案】52 【解析】 【分析】由等差中项的性质求参数 m，即可

16、得曲线标准方程，进而求其离心率. 【详解】由题意，28m = ，可得4m = ， 所以圆锥曲线为22114yx =，则1a =，15142c =+=，故52e =. 故答案为：52. 16. 设 Sn是等差数列an的前 n 项和，若数列an满足 anSnAn2BnC且 A0，则1ABC的最小值为_ 【答案】23 【解析】 【详解】因为an为等差数列，设公差为 d，由 anSnAn2BnC， 得 a1(n1)dna112n(n1)danSnAn2BnC， 即12 (dA)n2(a12dB)n(a1dC)0 对任意正整数 n都成立 所以12(dA)0，a112dB0，a1dC0，所以 A12d，B

17、a112d，Ca1d，所以3ABC0.1ABC1A3A23. 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6小题，共小题，共 70分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知数列 na是等差数列，nS为其前 n 项和，49a =，424S = （1）求 na的通项公式； （2）若3nnab =，求证： nb为等比数列 【答案】 （1）21nan=+ （2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）由已知条件列出关于1,a d的方程组，解方程组求出1,a d，从而可求出 na的通项公式， （2）由（1）可得2133nannb+=，然后利用等比数列的定义

18、证明即可 【小问 1 详解】 设数列 na的公差为d，则由49a =，424S =， 得11394624adad+=+=，解得132ad=， 所以1(1)32(1)21naandnn=+=+=+ 【小问 2 详解】 证明：由（1）得2133nannb+=， 所以2(1) 121213393nnnnbb+=， （*nN） 所以数列 nb是以 9 为公比，27 为首项的等比数列 18. 如图，已知平行六面体1111ABCDABC D中，底面 ABCD是边长为 1的正方形，12AA =，1160A ABA AD= =，设ABa= ，ADb=，1AAc= （1）用a，b，c表示1AC，并求1AC ；

19、（2）求1AA BD 【答案】 （1）1ACabc=+ ，110AC = （2）0 【解析】 【分析】 （1）把a，b，c作为基底，利用空间向量基本定理表示1AC ，然后根据已知的数据求1AC ， （2）先把BD用基底表示，然后化简求解1AA BD 【小问 1 详解】 因为ABa= ，ADb=，1AAc=，11,BCAD CCAA= , 所以11ACABBCCC=+ 1ABADAA=+ abc=+， 因为底面 ABCD是边长为 1 的正方形，12AA =，1160A ABA AD= =， 所以()21ACabc=+ 222222abca bb ca c=+ + + 111 1402 1 22

20、1 222=+ + + 10= 【小问 2 详解】 因为BDADABba= ，底面 ABCD是边长为 1的正方形，12AA =，1160A ABA AD= =， 所以()1AA BDcba= 112 12 1022c bc a= = = 19. 1.圆C的圆心为()11，且与直线3490 xy+=相切，求： （1）求圆C的方程； （2）过()0 9，的直线l与圆C交于P，Q两点，如果2 3PQ =，求直线l的方程 【答案】 （1）22(1)(1)4xy+= （2）0 x =或99201800 xy+= 【解析】 【分析】1（）由点到直线的距离公式求得圆的半径，则圆的方程可求； 2（ ）当直线l

21、的斜率不存在时，求得弦长为2 3，满足题意；当直线l的斜率不存在时，设出直线方程，求出圆心到直线的距离，再由垂径定理列式求k，则直线方程可求 【小问 1 详解】 由题意得： 圆C的半径为()223 1419234r + =+， 则圆的方程为22(1)(1)4xy+=； 【小问 2 详解】 当直线l的斜率不存在时，直线方程为0 x =，得2 3PQ =，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线方程为9ykx=+，即90kxy+= 圆心到直线的距离2101kdk+=+，则22210()( 3)41kk+=+， 解得9920k = 直线l的方程为99201800 xy+= 直线l的方程为0 x =或

22、99201800 xy+= 20. 如图，在三棱柱111ABCABC中，1CC 平面 ABC，ACBC，2ACBC=，13CC =，点 D，E 分别在棱1AA和棱1CC上，且1AD =，2CE =，M为棱11AB的中点 （1）求证：11C MB D； （2）求直线 AB与平面1DB E所成角的正弦值 【答案】 （1）证明见解析； （2）33. 【解析】 【分析】 （1）由线面垂直、等腰三角形的性质易得11C MBB、111C MAB，再根据线面垂直的判定及性质证明结论； （2）构建空间直角坐标系，确定相关点坐标，进而求AB的方向向量、面1DB E的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求直线AB与

23、平面1DB E所成角的正弦值. 【小问 1 详解】 在三棱柱111ABCABC中，1CC 平面ABC，则1BB 平面111ABC， 由1C M 平面111ABC，则11C MBB， ACBC=，则1111ACBC=，又M为11AB的中点，则111C MAB， 又1111BBABB=，则1C M 平面11AAB B， 由1B D 平面11AAB B，因此，11C MB D. 【小问 2 详解】 以C为原点，以CA ，CB ，1CC 为x轴y轴z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 可得：(2,0,0)A，(0,2,0)B，1(0,0,3)C，1(0,2,3)B，(2,0,1)D，(0,0,2

24、)E，(1,1,3)M. ( 2,2,0)= AB，1(1,1,0)C M =，1(0,2,1)EB =，(2,0, 1)ED = ， 设( , , )nx y z=为面1DB E的法向量，则12020n EByznxEDz=+= ，令1x =得(1, 1,2)n =， 设AB与平面1DB E所成角为，则3sin|cos,| |3| |AB nAB nABn= ， 直线AB与平面1DB E所成角的正弦值为33. 21. 在平面直角坐标系xOy中，点1,12A在抛物线2:2C ypx=上 （1）求p的值； （2）若直线 l与抛物线 C交于()11,P x y，()22,Q xy两点，120y y

25、 ，且3OP OQ= ，求122yy+的最小值 【答案】 （1）1 （2）4 3 【解析】 【分析】 （1）将点代入即可求解； （2）利用向量数量积为 3求出126y y = ，再对式子变形后使用基本不等式进行求解最小值. 【小问 1 详解】 将1,12A代入抛物线2:2C ypx=，解得：1p =. 【小问 2 详解】 ()11,P x y，()22,Q xy在抛物线 C 上，故21122222yxyx=， ()212121212134OP OQx xy yy yy y=+=+= ，解得：126y y = 或 2， 因为120y y ，故动点 P 的轨迹 E的方程为以点1F、2F为焦点的椭圆

26、方程，由24a =得：2a =，2431b =，所以动点 P 的轨迹 E的方程为2214xy+=； 【小问 2 详解】 存在，理由如下： 显然，直线 l的斜率存在，设为30 xmym， 联立椭圆方程得：()2242 310mymy+ =，设()11,A x y，()22,B xy，则1222 34myym+= +，12214y ym= +， 要想以 DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，则点 D为 AB垂直平分线上一点， 其中122324yymm+= +，()21212222 38 32 32 344mxxm yymm+=+= +=+，则1224 324xxm+=+，故 AB的中点坐标为224 33,44mmm+， 则 AB 的垂直平分线为：2234 344mym xmm+= +， 令0y = 得：23 34xm=+，且无论m为何值，23 33 30,44xm=+，点 D 在线段2OF上，满足题意.